第4章静定刚架

1、1 基本要求：掌握结构的支座反力的计算，结构的 剪力和轴力计算的两种方法，内 力图的形状特征和绘制内力图的 叠加法。熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅 速绘制弯矩图。理解恰当选取分离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法与技巧。会 根据几何组成寻找求解途径。Statically Plane Frame2一、刚架的特点刚架的内部空间大，便于使用。刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。几何可变体系桁架刚架ql2/8ql2/8 刚结点 刚结点 刚架示意图 刚架计算简图 刚架弯矩图 刚架变形图 返回返回4常见的静定刚架类型：1、悬臂刚架2、简支刚架3、三铰刚

2、架4、主从刚架5二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成）1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。2、三铰刚架的反力计算402202qaYqaaYMAAB20kNXXXBA943kNqaYB+0qaYYYBA6)(2 kNqaXA405 . 1 aXaqaMAC整体平衡左半边平衡整体平衡=3kN反力校核aaq1.5aABq=4kN/ma=3mCYAYBXAXB02395 . 42325 . 42332+22+aYaXqaaXaYMBBAACv 如三铰结构是由三如三铰结构是由三个单铰组成的，用个单铰组成的，用整体、半边、整体整体、半边、整体的思路求其反力。的思路求其反力。v 如

3、三铰结构中有虚如三铰结构中有虚铰时，就要具体问铰时，就要具体问题具体分析。不能题具体分析。不能使用这种方法。使用这种方法。6aaaa aqX1Y1O1Y1X1O2-qaX 1qaY 120qaaXaYMO211122Y X 11-2aXaYMO+11202q 三铰刚架的反力计算方法二（双截面法）7 aaABCqllqlXAYAYBMB整体X=0，XA=ql，左半边Y=0， YA=0YAXAXBYBAaaaqB右半边Y=0， YB=0整体Y=0 ，YA=0整体：MA03qaa/2XBa0，XB=1.5qa83、主从刚架求反力：需要分析其几何组成顺序，确定基本部分和附属部分。4m2m2m2m2m2

4、kN4kN/m2kNABCDEFGHKkNYYkNYMKGK20300kNXXK10 kNXA3 XMAD0124224由附属部分ACD由整体校核：+04442222KKAEYXXMXAXKYKYG9三、静定刚架内力计算及内力图绘制三、静定刚架内力计算及内力图绘制 求支座反力。求支座反力。 求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、集中荷载作用点、分布荷载不连续点。控制截面把刚架划分成集中荷载作用点、分布荷载不连续点。控制截面把刚架划分成受力简单的区段。受力简单的区段。 求出各控制截面的内力值，根据每区段内的荷载情况，求出各控制截面的内力值

5、，根据每区段内的荷载情况，利用利用“零平斜弯零平斜弯”及叠加法作出内力图。及叠加法作出内力图。 求截面的求截面的Q Q、N N图有两种方法，一是由截面一边的外力来求；图有两种方法，一是由截面一边的外力来求；另一种方法是首先作出另一种方法是首先作出M M 图；然后取杆件为分离体，建立矩平图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂（如有斜杆）或者是外力较多时，计算内力较麻烦时，采用第（如有斜杆）或者是外力较多时

6、，计算内力较麻烦时，采用第二种方法。二种方法。 结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。 注意结点的平衡条件。注意结点的平衡条件。8kN1m 2m4mABCDMDA、QDCY=0Y=0MA0108kN1m 2m4mABCDQDBNDBMDB8kN6kNDB6kNQDCNDCMDC8kNQDANDAMDA8kN6kN6kNQDC=6kN NDC=0MDC=24kN.m（下拉） QDB=8kNNDB=6kNMDB=16kN.m（右拉）08kN8kN.m6kN0

7、24kN.m 8kN 6kN16kN.mX = 88 = 0Y = 6（6） = 0M = 248 16 = 0QDA=8kNNDA=0MDC=8kN.m（左拉）118kN1m 2m4m8kN6kN6kN81624M kN.m86Q kNN kN6作内力图QDC=6kN NDC=0MDC=24kN.m（下拉） QDB=8kNNDB=6kNMDB=16kN.m（右拉）QDA=8kNNDA=0MDA=8kN.m（左拉）BACD12 刚架内力图绘制要点：分段。定形。求值。画图。aaqABC1、整体平衡求反力如图qaqa/2qa/22、定形：3、求值：NCA=qa/2，QCA=qaqa=0，MCA=q

8、a2/2（里拉）NCB=0，QCB=qa/2，MCB=qa2/2（下拉）13aaqABCqa2/2qa2/2qa2/8qa/2qa qa/2M图N图Q图NCA=qa/2，QCA=qaqa=0，MCA=qa2/2（里拉）NCB=0，QCB=qa/2，MCB=qa2/2（下拉）qa/20qa2/2 0 qa/2qa2/2校核：满足：X0Y0M0qaqa/2qa/2 在刚结点上在刚结点上, ,各杆端弯矩和结点集中各杆端弯矩和结点集中力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用时，两杆端弯矩应等值，同侧受拉。时

9、，两杆端弯矩应等值，同侧受拉。14例: 试绘制下图所示刚架的弯矩图。YAYAXAXB30kN20kNmABCDE2m2m4mRBO2030 280,10,10OAABMXXkNXkN+YAYA101030kN20kNmABCDE4040D204020E404015a 作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。aqABCqa2/2qa2/8M图qa2/2QCBQBCCBqa2/2MCqa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=qa/2QCAQACqa2/2qMCqa2/2+ qa2/2

10、 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qaMA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a =0qa/20NCBNCA X0，NCB 0Y0，NCAqa/2qa166QDCQ CDDC3.35m3kN9kN2kN2kN664.5N图（kN）M图（kN.m）2 33m3m 3mABq=4kN/m1.5mCDEmllECDC35. 352cos51sin2 1.79 Q图（kN）MD=6QCD3.350QCD=1.79(kN)=QDCMC=6+3 41.5+3.35QEC0QEC= 7.16kNME=6 3 4 1.5+3.35QCE0QCE= 3.58kNQCEQ EC

11、4kN/mCE3.35m3.58 7.16 9321.79NDCkNNNXDCDC13. 302sin79. 1cos+3.13927.16NECkNNNXECEC82. 505116. 7522+5.8205279. 1558. 345. 0kNNCE0sin)79. 158. 3(cos)13. 3(+NXCEcos)58. 379. 1 (sin)45. 013. 3(+Y校核NCE3.583.131.790.4517aaaaaaaa求图示联合刚架的弯矩图。解：1、求反力6P18P6P9P9PBCA6P18P9P2、求内部约束力YBXBYAXA取ABC 03020+PYXMAAB取BC

12、01820+PYXMAAC解得： PYPXAA214取ABC PYYPXXBB4050=5P=4P=14P=2PBCA6P18P9PYBXBYAXA=5P=4P=14P=2P6P9P5P4P4P2P同理可得右半部分的约束内力：8Pa8Pa2Pa2Pa16Pa4Pa8Pa8Pa2Pa2Pa16Pa4Pa18可以不求反力，由自由端开始作内力图。qlql2/22q2m2mq2q6q四、不求或少求反力绘制弯矩图 根据结构特点和荷载特点，利用弯矩图与荷载、支承、联结之间的对应关系，可以不求或少求支座反力，迅速绘制出弯矩图。下面结合具体例子，说明快速绘制弯矩图的方法。 1、悬臂刚架llqql192、简支型

13、刚架弯矩图 简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起ql2/2qaqa2/2qa2/2ql注意:BC杆CD杆的剪力等于零,弯矩图于轴线平行ql2/2qlqll/2l/2DqABCaaaqa2/8203、三铰刚架弯矩图1 反力计算 整体 MA= qa2+2qa22aYB=0 (1) 右半边 MC=0.5qa2+2aXB aYB=0 (2)解方程(1).(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 在由整体平衡 X=0 解得 XA=0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa2 绘制弯矩图qa2注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！qa2/20q

14、aXAYAYBXBACBaaaaqa2/2qa/2qa/221YBXBRAOM/2MM/2画三铰刚架弯矩图注注: : 1：三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始作弯矩图。 2：集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。 3：三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！ Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/(2a)aaaMABCAB22三铰刚架弯矩图整体对O点建立平衡方程得MO=ql1.5l+2lXA=0得 XA=3ql/4lllABCqOXAYARBRBql2/4ql2/423qaaaa2aaaaqqaqaqqaqa2qa

15、2qa2/2qa2/2qa2/2M图（kN.m）ABHCDEFG 绘制弯矩图时，可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。4、主从结构2480kN20kN120901206018062.5M图kM.m仅绘M图,并不需要求出全部反力. 然后先由A.B支座开始作弯矩图.先由AD Y=0 得 YA=80kN再由整体 X=0 得 XB=20kN12060180q=20kN/m2m2m3m4m2m5m绘制图示刚架的弯矩图ABCDEF20kNMEA=806206/2=12025 llABCqllql5、定向支座处、定向连接处剪力等零，剪力等零杆段弯矩图平行轴线。注意这些特点可以

16、简化支座反力计算和弯矩图绘制。XAYAYBMBXA=ql， YA=0 llABCqllqlql0ql2ql2/2M26AaaaaaaqBYB=0YA=0XA=4.5qaXB=1.5qa4.5qa2 5qa2M图 P2P2Phaaa2aPh2Ph2PhPhPhPh2Ph右半边Y=0 YB=0YA=0整体：MA03qaa/2XBa0XB=1.5qa27求绘图示结构的弯矩图。2qlllll1.5lqlq22ql2qlllqlql222ql1.5ql21.5ql20.9ql20.6ql20.9ql20.6ql2ql2ql2286、对称性的利用对称结构对称结构(symmetrical structure

17、)： 几何形状、支撑和刚度都关于某轴对称的结构。但是，几何形状、支撑和刚度都关于某轴对称的结构。但是，由于静定结构的内力与刚度无关，所以，只要静定结构的形由于静定结构的内力与刚度无关，所以，只要静定结构的形状、支撑对称，就可利用对称性进行内力计算。状、支撑对称，就可利用对称性进行内力计算。荷载的对称性荷载的对称性： 对称荷载对称荷载(symmetrical load) ：绕对称轴对折后，对称轴：绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点重合、值相等、方向相同。所以，在大小两边的荷载作用点重合、值相等、方向相同。所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置、与对相等、作用点对称的前提下

18、，与对称轴垂直反向布置、与对称轴平行同向布置、与对称轴重合的荷载是对称荷载。称轴平行同向布置、与对称轴重合的荷载是对称荷载。 反对称荷载反对称荷载(antisymmetrical load) ：绕对称轴对折后，：绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点重合、值相等、方向相反。所以，对称轴两边的荷载作用点重合、值相等、方向相反。所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载；与对称轴平行反向布置的荷载；垂直作用在对称的荷载；与对称轴平行反向布置的荷载；垂直作用在对称轴上的荷载；位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。轴上的荷载；位于

19、对称轴上的集中力偶是反对称荷载。 P P 图 2-15 W W P P m q q (a) (b) (a) FP1 FP1 FP1 FP1 (b) 29与对称有关的重要结论与对称有关的重要结论 对称结构在对称荷载的作用下，反力、内力都成对称分对称结构在对称荷载的作用下，反力、内力都成对称分布，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的。作出对布，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的。作出对称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：对称称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：对称轴上的截面剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零。轴上的截面剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零

20、。 N N Q M M Q N N Q M M Q N1 M1 Q1 对称轴上的微段受力图 (a) 对称轴上的结点受力图 (b) 对称结构在反对称荷载的作用下，反力、内力都成反对对称结构在反对称荷载的作用下，反力、内力都成反对称分布，弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。作称分布，弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。作出对称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：出对称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：对称轴上的截面弯矩、轴力为零；与对称轴重合的杆轴力为对称轴上的截面弯矩、轴力为零；与对称轴重合的杆轴力为零。零。 N N Q M M Q N N Q M M Q N1 M1 Q1 对称轴上的微段受力图 (a) 对称轴上的结点受力图 (b) 30hl/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8314m2m4m2m2m2m24kN.mX绘制图示结构的弯矩图okNXXMO604243kN3kN126612对称结构在反对成荷载作用下，弯矩图呈反对称分布。124m2m4m2m2m2m24kN.mX=612121224kN.m12666632 四、不求或少求反力绘