第九章 行列式与矩阵

1、高等数学第七章：行列式高等数学第七章：行列式唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式n阶行列式阶行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列对于一个二元一次方程组对于一个二元一次方程组11 1122121 12222a xa xba xa xb当当a11a22- -a12a21 0时时, 用消元法求解用消元法求解, 得其解为得其解为1 2212 211 21

2、211211 22122111 221221,baa ba bbaxxa aa aa aa a-(1.1)(1.2)一、二阶行列式与三阶行列式一、二阶行列式与三阶行列式1. 二阶行列式二阶行列式计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具定义1虽然用消元法可以求得二虽然用消元法可以求得二元一次方程组解的公式，但是元一次方程组解的公式，但是随着未知数的增多这个公式越随着未知数的增多这个公式越来越复杂，其规律也不易掌握。来越复杂，其规律也不易掌握。7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列用用22个数组成的记号个数组成的记号称为称为二阶行列

3、式二阶行列式，记为横排称，记为横排称行行，竖排称，竖排称列列称为行列式的称为行列式的元素元素，表示行，表，表示行，表示列示列 D( ,1,2)ija i j ij22211211aaaa计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列11a22a21a12a主对角线主对角线 -次对角线次对角线 二阶行列式的展开式二阶行列式的展开式 ：D111211 2212 212122aaDa aa aaa-它的展开式是主对角线上的两个元素之积减去它的展开式是主对角线上的两个元素之积减去次对角线上的两个元素之积次

4、对角线上的两个元素之积计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列二元线性方程组的解可以写成二元线性方程组的解可以写成 112111222212121112111221222122,baabbaabxxaaaaaaaa如果如果022211211 aaaaD计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列例例1计算下列二阶行列式计算下列二阶行列式 sincos(2)cossinaaDaa-2 3(1)1

5、 4D ;531421 - - D 1coscossin22 - - - D解：解：计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列2. 三阶行列式三阶行列式用用33个数组成的记号个数组成的记号111213212223313233aaaaaaaaa称为称为三阶行列式三阶行列式，记为，记为D定义2计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具12a11a13a21a22a23a31a32a33a-将三阶行列式展开（将三阶行列式展开（对角线展开法对角线展开法） D11 22 331223 3113 2

6、1 3211 23 321221 3313 22 31Da a aa a aa a aa a aa a aa a a-7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列 1113511421- - - - D例例2计算下列三阶行列式计算下列三阶行列式 )4(112)1(31)5(1)4(311)1(11)5(2- - - - - - - - - - - - - - - - - D46512110 - - -

7、 - 解：解：(1)(1)由对角线法则，得由对角线法则，得： 8- - 计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列 22232321112xxxxxxD )3(12)3(12)3(1)2(1)3(13)2(1222222xxxxxxxxxxxxD - - - - - - 3333332236xxxxx- - - 解：解：(2)(2)由对角线法则，得：由对角线法则，得：= 0= 0计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列

8、唐山职业技术学院数学课件系列 5473222013- - D5) 2(0341730) 2(42521 - - - - - - - - D0122801610- - - - - - 解解：（：（3 3）由对角线法则，由对角线法则，46- - 本例也可将三阶行列式可转化为二阶行列式计算本例也可将三阶行列式可转化为二阶行列式计算计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231a

9、a aa a aa a aa a aa a aa a a-1122332332()a a aa a-1221 3323 31()a a aa a-1321 3231 22()a a aa a-22231 1113233( 1)aaaaa -2223113233aaaaa2122133132aaaaa2123123133aaaaa-21221 3133132( 1)aaaaa -21231 2123133( 1)aaaaa -计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列例例2 2也可按下列方法计算

10、也可按下列方法计算 ，如如 1113511421- - - - D11511131)4(11352- - - - - - - - D 1)5(1113114131)5(2 - - - - - - - - - - - - 8- - 计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列二、二、n阶行列式阶行列式用个元素用个元素 组成的记号组成的记号2ni ja111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa称为称为阶行列式阶行列式n1.n1.n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义3 3计算器计算器函

11、数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列表示数值表示数值 222322123232333313331 11 211122313( 1)( 1)nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa- -21222131323111121( 1)nnnnnnnnaaaaaaaaaa- -计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列在阶行列式中划去所在的第在阶行列式中划去所在的第 行和第行和第列元素后

12、，剩下的元素按原来的相对位置所组成列元素后，剩下的元素按原来的相对位置所组成的阶行列式，称为的的阶行列式，称为的余子式余子式，记为，记为 ，称称 为的为的代数余子式代数余子式，记为故，记为故称为阶行列式称为阶行列式按第一行元素展开按第一行元素展开nDijaji1n-ijaijMijA( 1)i jijM-nija11 11121211nnD a Aa Aa A2、余子式及代数余子式、余子式及代数余子式定义定义4:4:计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列(1)代数余子式代数余子式A21 (

13、2) 行列式的值行列式的值341253247D -例例3设三阶行列式设三阶行列式 求：求： 2 1214114 74 12447A - - - -解解：（1）计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列（2）行列式按第一行元素展开：）行列式按第一行元素展开：111112121313Da Aa Aa A1 11 21 3532325314111472724- - - -335 12414618 10 - - - -6980 18131-计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1

14、 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列三、几种特殊的行列式三、几种特殊的行列式1、对角线型行列式：、对角线型行列式： 对角线型行列式是对角线上的元素至少有一个不为对角线型行列式是对角线上的元素至少有一个不为0，其余元素都为其余元素都为0的行列式。这样的行列式的值为对角线上各的行列式。这样的行列式的值为对角线上各个元素的乘积。个元素的乘积。 计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列解行列式按第一行元素展开解行列式按第一行元素展开：1122223311

15、3311 2211 22 33 443344444400000000000000000000aaaaaaa aa a a aaaaa11223344000000000000aaaa例例4计算行列式计算行列式 计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列2、三角型行列式：、三角型行列式：三角型行列式有以下两种三角型行列式有以下两种下三角型行列式下三角型行列式主对角线上方元素都为主对角线上方元素都为0，这样的行列式的值为对角线上，这样的行列式的值为对角线上各个元素的乘积。各个元素的乘积。 11212

16、2112212000nnnnnnaaaDa aaaaa计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列上三角型行列式上三角型行列式主对角线下上方元素都为主对角线下上方元素都为0，这样的行列式的值为对角线上，这样的行列式的值为对角线上各个元素的乘积。各个元素的乘积。111212221122000nnnnnnaaaaaDa aaa计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列例例5计算行列式计算行列式 45

17、4031002解：该行列式为下三角行列式，则行列式的值为对角线解：该行列式为下三角行列式，则行列式的值为对角线上各个元素的乘积。上各个元素的乘积。454031002432 24 计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列3、方块型行列式、方块型行列式计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义1行列式的定义行列式的定义2二阶行列式与三阶行列式的计算二阶行列式与三阶行列式的计算 3. 几种特殊的行列式几种特殊的行列式小结计算器计算器函数大全与绘图工具函数大全与绘图工具唐山职业技术学院数学课件系列唐山职业技术学院数学课件系列7.1 7.1 行列式的定义行列式的定义201141183D -abcDbcacba1 1、计算下列三阶行列式、