双曲线的简单几何性质

1、2.2.2 双曲线双曲线的简单几何性质的简单几何性质( (一一) )复习引入复习引入这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的焦点焦点.两焦点的距离叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的焦距焦距.1. 双曲线的定义：双曲线的定义： 我们把平面内与两个我们把平面内与两个定点定点F1、F2的的距离的距离的差差的绝对值等于常数的绝对值等于常数(小于小于| F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线.湖南省长沙市一中卫星远程学校新课讲授新课讲授2. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程：xyF1F2Oc2a2b2F2yF1xO是是F1(c, 0)、F2(c, 0).焦点在焦点在x轴上，焦点轴

2、上，焦点是是F1(0, c)、F2(0, c).焦点在焦点在y轴上，焦点轴上，焦点(a0,b0)12222 byax(a0,b0)12222 bxay复习引入复习引入10 eace(a, 0)(0, b)图形关于图形关于x轴、轴、y轴、轴、原点对称原点对称byax 范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率(ab0)12222 byax3. 椭圆的简单几何性质：椭圆的简单几何性质：xaA1yB2F2OF1A2-abB1-b新课讲授新课讲授利用利用双曲线的标准方程双曲线的标准方程研究研究双曲线双曲线的的几何性质几何性质12222 byax以以为例为例(a0，b0)新课讲授新课讲授1范围范围, 12

3、2 ax双曲线上点双曲线上点 (x, y)都满足都满足即即 x2a2，aaxa与与xa所表示的区域内所表示的区域内 |x|a (a0)双曲线在不等式双曲线在不等式yOxF1F2222210 xyab 新课讲授新课讲授yOxF1F22对称性对称性双曲线关于双曲线关于y轴、轴、x轴、原点轴、原点都是对称的都是对称的坐标轴坐标轴是双曲线的对称轴是双曲线的对称轴原点原点是双曲线的对称中心是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的对称中心叫做双曲线的中心双曲线的中心新课讲授新课讲授3顶点顶点 令令y0，得，得xa，双曲线和双曲线和x轴轴有两个交点有两个交点A1(a, 0)、A2(a, 0) . 令令

4、x0，得，得y2b2，这个方程没有实数根，这个方程没有实数根，则双曲线和则双曲线和y轴无交点轴无交点. 双曲线和它的对称轴双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做有两个交点，它们叫做双双曲线的顶点曲线的顶点特殊点特殊点B1(0,b)、B2(0, b). yOxA1A2F1F2y=by=-bB2B1新课讲授新课讲授3顶点顶点a叫做双曲线的叫做双曲线的实半轴长实半轴长b叫做双曲线的叫做双曲线的虚半轴长虚半轴长实轴实轴的长等于的长等于2a线段线段A1A2 叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴线段线段B1B2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴.虚轴虚轴的长等于的长等于2b实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的

5、双曲线叫叫等轴双曲线等轴双曲线.yOxA1A2F1F2B2B1新课讲授新课讲授4渐近线渐近线 经过经过A2、A1作作y轴的平行线轴的平行线 xa，经过经过B2、B1作作x 轴的平行线轴的平行线yb，四，四条直线围成一个矩形条直线围成一个矩形 (如图如图)yOxA1A2B2B1F1F2ab12222 byax的的渐近线渐近线.xaby 叫做双曲线叫做双曲线 0byax两条直线两条直线新课讲授新课讲授4渐近线渐近线12222 bxayyabx .0 bxay (a0, b0)的的渐近线渐近线为为yOxA1A2B2B1ab新课讲授新课讲授4渐近线渐近线 这时双曲线方程为这时双曲线方程为x2y2a2，

6、渐，渐近线方程为近线方程为xy，它们互相垂直，并，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角且平分双曲线实轴和虚轴所成的角 ab时，实轴和虚轴等长，这样的时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线.新课讲授新课讲授4渐近线渐近线利用渐近线画双曲线草图利用渐近线画双曲线草图 画出双曲线的渐近线；画出双曲线的渐近线； 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲画出双曲线的顶点、第一象限内双曲 线的大致图象；线的大致图象； 利用双曲线的对称性画出完整双曲线利用双曲线的对称性画出完整双曲线.新课讲授新课讲授5离心率离心率（刻画双曲线的开口程度）刻画双曲线的开口程度）双曲线的焦距与实轴

7、长的比双曲线的焦距与实轴长的比ace 叫做双曲线的离心率叫做双曲线的离心率， c a0，aacab22 122 ac.12 ee1新课讲授新课讲授5离心率离心率也越大，即渐近线也越大，即渐近线越大，越大，因此因此abe双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的由此可知，双曲线的离心率越大离心率越大，它，它的的开口就越阔开口就越阔，这这时时的的斜斜率率的的绝绝对对值值也也越越大大xaby 例题讲解例题讲解例例1. 求双曲线求双曲线9y216x2144的实半的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程渐近线方程.例题

8、讲解例题讲解例例1. 求双曲线求双曲线9y216x2144的实半的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程渐近线方程.练习练习.教科书教科书P53练习第练习第1、2、3题题.湖南省长沙市一中卫星远程学校12222byax的方程为解：依题意可设双曲线8162aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx双曲线的方程为xy43渐近线方程为)0 ,10(),0 ,10(21FF 焦点.4516线和焦点坐标程，并且求出它的渐近出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在，离心率离是已知双曲线顶点间的距xe 例例2:例题讲解例题讲解. 2 )31( 线标准方程线标准方程的双曲的双曲且离心率为且离心率为，经过点经过点为坐标轴，为坐标轴，求中心在原点，对称轴求中心在原点，对称轴 P例例2.课堂小结课堂小结范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、范