2.1偏导数与全微分ppt课件

1、7.2偏导数与全微分一偏导数一偏导数1. 一元函数变化率与多元函数变化率 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率， 即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率变化快慢）oxyPx 二元函数二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)存在存在z z随随x x变化的变化率变化的变化率随随y y变化的变化率随变化的变化率随x xy y同时变化的变化率。同时变化的变化率。 即点即点P(x,y)P(x,y)在域在域D D内可沿内可沿x x轴沿轴沿y y轴沿其轴沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪而研究二元函数的变化率问题，需区

2、别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。o oxyzMPD D2 2偏导数定义偏导数定义( , )zf x y00(,)xy00000(,)(,)limxf xx yf xyAx 00 x xy yzx00 xxyyfx00 xxxyyz00(,)xfxy定义定义8.4 设函数设函数 在点在点 的某个邻域内的某个邻域内有定义，如果固定有定义，如果固定 后，一元函数后，一元函数 在在点点 处可导，即极限处可导，即极限0( ,)f x y0 xx0yy存在，则称A为函数 在点 处关于自变量 的偏导数，记为 或( , )zf x y00(,)xyx记为记为

3、或或( , )zf x y00000(,)(,)limyf xyyf xyBy 00 x xy yzy00 xxyyfy00yx xyyz00(,)yfxy0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy 类似地，类似地， 在点在点 处对处对y的偏导数定的偏导数定义为义为00(,)xy3 3偏导函数概念偏导函数概念 偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点 (x,y)处对 x（ y ）的偏导数都存在， 则它就是x,y的函数，称为偏导函数。 记号：zyfyyz( ,)yfx yzxfxxz( ,)xfx y或或或或 在不至混淆时常称偏导函数为偏导数。 z=f(x,y)在(x0

4、,y0)处的偏导数是偏导函数在(x0,y0)处的函数值.4. 4. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义切线切线M0TyM0Ty对对y y轴的斜率轴的斜率oxyzM0P0 x0y0TyTxz=f(x0,y)z=f(x,y0)00 xxyyzx00 xxyyzy 切线M0Tx对x轴的斜率 5 5偏导数的计算法偏导数的计算法 对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算：变量视为常数，按一元函数求导法则计算：求求 时，只要把时，只要把y暂时看作常量而对暂时看作常量而对x求导数；求导数；求求 时，只要把时，只要把x暂时看作常量而对暂时看作

5、常量而对y求导数。求导数。zxzy例例 1 1求求 在点在点(1,2)(1,2)处的偏导数。处的偏导数。12(1,2)(23 )8xxyfxy12(1,2)(32 )7yxyfxy( ,)23xfx yxy( ,)32yfx yxy解解22( , )3f x yxxyy例例2 2 求求 的偏导数。的偏导数。2()2xzxx(sin2 )cos2(2 )yzyyy解：解：2sin2zxy2cos2y1yzy xxlnyzxxy111lnlnlnyyxzzxy xxxyxxyyx解解:(0,1)yzx xx 12lnxzzzy xx y例例3 设设 求证：求证：2yyxxz例例4 4 求求 的偏导

6、数。的偏导数。222122rxxxyz222ryyyrxyz222rzzzrxyz解解:222rxyz222xxrxyz6.6.高阶偏导数高阶偏导数二阶偏导数：二阶偏导数： 设设 为为D上的二元函数上的二元函数 ，则，则其在其在 D上的偏导数为上的偏导数为 若二元函数若二元函数 的偏导数也存在，的偏导数也存在， 则称其是函数则称其是函数 的二阶偏导数。的二阶偏导数。( ,)xzfx yx( ,)yzfx yy( , )zf x y,zzxy( , )zf x yz=f(x,y)z=f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数记号：记号：2112( , )( , )xxzzfx yfx yxxx2222

7、( , )( , )yyzzfx yfx yyyy212( , )( , )xyzzfx yfx yyxx y 221( , )( , )yxzzfx yfx yxyy x 例例5 5 求二阶偏导数求二阶偏导数3223(1)zx yx yxy22332zx yxyyx32223zx yx yxy223262zxyyx222661zx yxyx y 222661zx yxyy x 232226zxx yy解：2221yzxyxx 222211zxxyyxyx222222()zxyxxy 222222()2()zxyyyx yxy 222222()2()zxyxxy xxy 222222()zxy

8、yxy(2)arctanyzx解：22yxy 2222()xyxy22222()yxxy22222()yxxy注记： 假设假设 在在D内连续，则在内连续，则在D内内 （二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）（二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）22zzx yy x 22zzx yy x 类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、n阶阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数；偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数； 二元函数的二阶偏导数有二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有个，三阶有8个，个， n阶有阶有2n个；三元函数的个；三元函数的n阶偏导数有阶偏导数有3n个

9、；个； 等等。等等。7. 7. 偏导数的经济意义偏导数的经济意义1p2p112(,)Q p p边际需求边际需求:偏弹性偏弹性:两种商品，价格分别为 和需求函数： 212(,)Qp p11221212,QQQQpppp称为边际需求111111011/lim/pQQEpp112221011/lim/pQQEpp1p发生变化，而 不变时2p111112112(,)(,)QQ pp pQ p p其中：1111p QQ p1221p QQ p1p发生变化，而 不变时2p221121112022122/lnlim/lnpQQp QQEppQ pp122222222022222/lnlim/lnpQQp Q

10、QEppQ pp其中：211122112(,)(,)QQ p ppQ p p 称为1商品需求量 对自身价格 的直接价格偏 弹性； 称为1商品需求量 对相关价格 的交叉价格偏弹性。11E1Q1p12E1Q2p二全微分二全微分 1全增量偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量。如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加 x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。000000(,)(,)(,)xf xx yf xyfxyx000000(,)(,)(,)yf xyyf xyfxyy如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变，如：矩形金属板受热喷膨胀时，长

11、和宽都要发生改变，这时面积的改变量增量就是全增量。这时面积的改变量增量就是全增量。()()Sxx yyxy全增量：对于全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变，若两个自变量都取得增量时，函数量都取得增量时，函数z的增量称为全的增量称为全增量。增量。y xx yx y oxyx0 x0y0y0y0+y0+y yx0+x0+x xx0 x0y yy0y0 x xx xy y2 2全微分全微分( , )zf x y00(,)xyz22()()xy 定义定义8.5 如果函数如果函数 在点在点 处的改变处的改变量量 可表示为可表示为其中其中 与与 无关，无关， 为为 时的无穷小量，即时的无穷小量，即 则

12、称表达式中的线性主部则称表达式中的线性主部 为函数为函数 在点在点 处的全微分，记为处的全微分，记为 即即并称函数并称函数 在点在点 处可微分或可微。处可微分或可微。0000(,)(,)zf xx yyf xy A xB y , A B, xy( ) 00lim( )0 A xB y ( , )zf x y00(,)xydzdzA xB y ( , )zf x y00(,)xy0000(,)(,),xyxyzzxyzzdzdxdyxy定理定理8.1：若：若z=f(x,y)在点在点 可微分，那么可微分，那么 z=f(x,y)在在 的偏导数的偏导数 必定存在，且必定存在，且00(,)xy00(,)

13、xy例例6 6 求求 的全微分的全微分 解：解： xyzuxyze1xyzuyzex1xyzuxzey1xyzuxyez1()xyzuuududxdydzxyzeyzdxxzdyxydz定理定理8.3： 若函数若函数 在点在点 的某的某 邻域内偏导数存在且偏导数连续，则该函邻域内偏导数存在且偏导数连续，则该函 数在点处可微。数在点处可微。( , )zf x y定理定理8.2 若函数若函数 在点在点 处可微，处可微， 则该函数在点则该函数在点 处连续。处连续。00(,)xy00(,)xy( , )zf x y00(,)xy多元函数连续、偏导数存在、可微的关系多元函数连续、偏导数存在、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数偏导数存在函数偏导数存在3全微分在近似计算中的应用 00(,)0000(,)(,)xyxyzdzfxyxfxyy 00000000(,)( ,)( ,)( ,)xyf