(整理)21变量分离及可化为变量分离的求解.

1、精品文档第二章、一阶微分方程的初等解法教学目标1 .理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程） ，熟练掌握变量分离方程的解法。2 .理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3 .理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4 .理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。教学重难点重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。教学方法讲授，实践。教学时间14学时教学内容变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易 法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。考核目

2、标1 .一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、 一阶隐方程的参数解法。2 .会建立一阶微分方程并能求解。§ 2.1 变量分离方程与变量变换1、变量分离方程1）变量分离方程形如dy = f（x）g（y）（或 M（x）N1（y）dx+M2（x）N2（y）dy =0）（2.1）dx的方程，称为 变量分离方程，其中函数f（x）和g（y）分别是x, y的连续函数.2）求解方法如果g（y） #0 ,方程（2.1）可化为，-dy- = f (x)dx g(y)这样变量就分离开了，两边积分得到dyg(y).f (x)dx c(2.2)精品文档,f （

3、x）的某一个原函数.把生，H （x）dx分别理解为 4 g（y）（y）容易验证由（2.2）所确定的隐函数y=%x,c）满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在y0使g（y0）=0,可知y = y0也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中,必须予以补上3）例题例1求解方程dy = dx y解将变量分离，得到两边积分，即得因而，通解为 22x y = c或解出显式形式y - - . c - x2例2解方程ydy = -xdx2222 2这里的c是任意的正常数dydx2=y cos x并求满足初始条件：当x = 0时.y = 1的特解.解将变量分离，得到普=co

4、sxdx y两边积分，即得1 =sin x c y因而，通解为y 二一sin x c这里的c是任意的常数.此外，方程还有解 y=0.为确定所求的特解，以x=0. y =1代入通解中确定常数 c,得到 c=-1因而，所求的特解为1y 二1 -sin x例3求方程dy=P(x)y(2.3)dx的通解，其中P(x)是x的连续函数.解将变量分离，得到两边积分，即得dy=P(x)dx yln y = jP(x)dx+C这里的c是任意常数.由对数的定义，即有P(x)dx cy 二ey 二 一eU P(x)dxP(x)dx(2.4)y = ce此外，y =0也是(2.3)的解.如果在(2.4)中允许c=0

5、,则y =0也就包括在(2.4)中，因而,(2.(3) 解为(2.4),其中c是任意常数.注：1.常数c的选取保证(2.2)式有意义.2 .方程的通解不一定是方程的全部解，有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解，即将遗漏的解要弥补上.3 .微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件y(xo) = yo的一个解，表示的是一条过点(x0,y0)的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1).形如(2.5)的方程，称为齐次方程，这里的g(u)是u的连续函数.另外，i )对于方程dy _ M (x, y) dx N (x, y)其中函数M

6、 (x, y)和N(x, y)都是x和y的m次齐次函数，即对t>0有M (tx,ty)三 tmM (x, y)N(txt)Fmt N ,x )y1 事实上，取t ='，则方程可改写成形如(2.5)的方程.精品文档sin u =cx(2.10)精品文档ii）对方程,xmM(12) dy _i 室dx xmN(1，)M (1,-) xN(1，) xrf(x'y)其中右端函数f（x,y）是x和y的零次齐次函数，即对 t>0有f (tx,ty) = f (x, y)则方程也可改写成形如（2.5）的方程）f"）dx x对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方

7、程再求解令u =-x即y =ux ,于是d y d u-二 xudxdx将（2.6）、（2.7）代入（2.5）,则原方程变为dux u = g（u） dx整理后，得到du g（u）-udx x方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.(2.6)(2.7)(2.8)例4求解方程dy=+tgY dx x x解 这是齐次方程，以 丫 = 5曳=*型+口代入，则原方程变为x dx dxxdu u = u tgudx即du tgudx x分离变量，即有F H dxctgudu = x两边积分，得到In sinu| =ln x +C

8、(2.9)这里的c是任意的常数，整理后，得到精品文档此外，方程（2.9）还有解tgu =0,即sinu =0.如果（2.10）中允许c=0 ,则in u0 就包含在（2.10） 中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为sin = cxx例5求解方程x曳+2jxy = y（x < 0）.dx解将方程改写为这是齐次方程，以分离变量，得到叽2 dx(x :二 0)dxdux - dxdu=x udx代入，则原方程变为(2.11)dudx=2 . ux两边积分，得到(2.11)的通解，ju = ln( -x) c即2_u =ln( -x) c (ln(

9、 -x) c 0)(2.12)这里的c是任意常数.此外，（2.11）还有解u=0注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解2 .y=xin（x 户 c （lx +c > 及角幻y = 0.原方程的通解还可表为xln( -x)c2, ln(-x) c 0,y =0，它定义于整个负半轴上注：1.对于齐次方程 或=g ' Y i的求解方法关键的一步是令dx a xy 一u = 后，解出y = ux ,再对两边求关于x的导数得dy=u +xdu,再将其代入齐次方程使方程变为关于 dx dxu, x的可分离方程x2.齐次万程也可以通过变换v =而化为变量分离万程

10、.这时x = vy ,再对两边求关于 y的导数彳# dx = v + y dv ,将其代入齐次方程dx = fdy dydy使方程变为v,y的可分离方程yyj小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的包=gi形状的解法.dx x而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法 2）形如dy ax D y gdx a2x dy c2(2.13)的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的a1，a2,b,b2,G,c2均为常数.分三种情况来讨论(1) c1 = c2 = 0 情形.这时方程（2.13）属齐次方程，有dy 二 ax 6y = g

11、_ydx a2x b2yx此时，令u = y ,即可化为变量可分离方程 x(2)aba2b2=0 ,即亘=包的情形.a?b2设曳=5=卜，则方程可写成 a2b2dyk(a2x b2y) gdx(a2x 2y) c2f(a2x b2y)令a2x +b2y =u ,则方程化为du二 a2 b2 f （u） dx这是一变量分离方程.(3)aha2b2#0及G,Q不全为零的情形.这时方程（2.13）右端的分子、分母都是 x,y的一次式，因此(2.14)ax by g = 0a2x b2y q =0代表xy平面上两条相交的直线，设交点为（"，P）.精品文档精品文档显然，a #0或P #0 ,否

12、则必有g =c2 =0,这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点（0,0）移至 P）就行了，若令则（2.14）化为从而（2.13）变为X X = x - 二y = y&X b1Y =0a2X b2 y =0dYa1X IYY=g dXa2X b2YX(2.(15)(2.(16)精品文档因此，得到这种情形求解的一般步骤如下:（1）解联立代数方程（2.14）,设其解为x=s,y = P ；（2）作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）;（3）再经变换U 将（2.16）化为变量分离万程；（4）求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也

13、适用于比方程（2.13）更一般的方程类型dy % x+ b y C二f dxpx+bw+cz，此外，诸如dy f （ax by c）dxy（xy）dx xg（xy）dy =02 dyx f(xy)dx以及M (x, y)(xdx ydy) N (x, y)(xdy - ydx) = 0（其中M ,N为x, y的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6 求解方程x -y 1=0解解方程组W得 x=1,y=2.x y一3=0x = X 1令y =Y 2代入方程（2.17）,则有再令则（2.18）化为两边积分，得dY X -YdX - X YdX1 u二21