数列真题与预赛典型例题集答案

1、数列真题汇编与预赛典型例题1 .【2018年全国联赛】设整数数列1az严o%。满足。二+tlg=2爬J,且%+L巨l+%,2+%,G=12,9,则这样的数列的个数为.2 .【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列(/1%)满足q=h加2017,对任意正整数n,有的14父=心抬+%小=24。则,+句的所有可能值为。3 .【2016年全国联赛】设的.叱.口*、%为1,2,，100中的四个互不相同的数，满足(起+呜+瑞/岐一值抖磴)=(4%+%,+%oJ.则这样的有序数组应也*%,的个数为.4 .【2014年全国联赛】已知数列值满足5之公/你二把也/缶f片+则一等冲一三工TlTinA-t.丁

2、fld+,a=+ilaBis5 .【2013年全国联赛】已知数列4共有九项，其中，%=%=1，且对每个f.哥，均有警三21一：.则这样的数列的个数为.6 .【2011年全国联赛】已知an二词痣)%.则数列4中整数项的个数为.7 .【2010年全国联赛】已知K是公差不为0的等差数列，0总是等比数列，其中，8 =3jb=i优0=舐5=b%且存在常数位*d使得对每一个正整数熊都有%=1口%&利+£.则9 +6=.8 .【2019年全国联赛】设整数邛满足1二4式出式三，口”二99.记一_-一_.求f的最小值片.并确定使f=f0成立的数组31.产、电。的个数.9 .【2018年全国联赛

3、】已知实数列位1，%的，满足：对任意正整数n,有口/盘一%)=1,其中$表示数列的前n项和，证明：(1)对任意正整数n,有$2诉;(2)对任意正整数n,有.口叶<1>.10 .【2018年全国联赛】数列他力定义如下：ai是任意正整数，对整数n>1,an+i是与胃工工心互素，且不等于rli时1的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.11 .【2017年全国联赛】设数列定义为/二1,j二小十小小乎(诜=12川)求满足0T<rE3蜚3工的正整数r的个数。12 .【2016年全国联赛】设p与p+2均为素数，p>3.定义数列%8n二+5=X3-),其中，国表示不小于实

4、数x的最小整数.证明对二3%.i,均有加<P%t+1).13 .【2014年全国联赛】已知数列佃J满足二子匕但二arctan(*mQS己.求正整数m使得B.一14 .【2013年全国联赛】给定正数数列满足，臬225ml(卷=23)，其中，5也二向一航+，+/.证明：存在常数。A0,使得/2炉«=1,2/-).15 .【2013年全国联赛】给定正整数%冲.数列3J定义如下：&工=u+m,对整数闭之1,口77n,二am_4&WETL+1-1HI+以记。=3+附小,=+%(加=12产,).证明：数列£中有无穷多项是完全平方数.16 .【2012年全国联赛】已

5、知数列加/的各项均为非零实数，且对于任意的正整数日都有%+的+4尸=若+碍+,”+.(1)当办=3时，求所有满足条件的三项组成的数列”曰工，%.(2)是否存在满足条件的无穷数列%,使得5u=-2M2?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由17.【2011年全国联赛】已知数列an满足：a12t3tR,t1an12tn13an2t1tn1an2tn1(1)求数列an的通项公式;(2)若t0,试比较an1与an的大小.18.【2011年全国联赛】证明：对任意整数就把>4),存在一个沌次多项式/(力=/+an_2工*+45X+江口具体如下性质：(1)口酎由声、0rt均为正整

6、数；(2)对任意的正整数面.及任意Hk芝2)个互不相同的正整数均笳小*/理，均有用口】®)/仇).19 .【2011年全国联赛】设网，叫、口£卸工4)是给定的正实数，ELj<aa<-<.对任意正实数r,满足选的三元数组居的个数记为(力.证明：fl1g吱y.“J20 .【2010年全国联赛】证明：方程2必十5基一2二。恰有一个实数根r,且存在唯一的严格递增正整数数列的使得：二=叼+1工+”.21.【2010年全国联赛】给定整数底器>2),设正实数的15J,小满足阳；弓1小=12，记人二强=1Z,，.求证：-戈=i&l<V.22 .【200

7、9年全国联赛】已知P，qq手0是实数，方程好一声#+q=0有两个实根匹白，数列%J满足%二四的二/一q，/=(抑=工).(1)求数列4_的通项公式(用以区表示)；(2)若口=工。=；,求叼J的前氾项和.23 .【2009年全国联赛】在非负数构成的于乂勺数表p=f，S廿震北为,1,中，每行的数互不相同，前六列中每-mJ(k=112T)均存在某个iEg12ml列的三数之和为1,=国2口=耳皿=5必中rp孙下与工#方."却均大于1.如果P的前三列构成的数表出35/靠满足下面的性质（0）对于数表P中的任意一列毒，雹jJC使得舞女三鼻£=叫比黑.英中不的）.求证：（1）最小值叫=血膻

8、（再1，修如本因）C"L23）一定去自数表5的不同歹U;（2）存在数表P中唯一的一列啊比，（肥炉123）使得yx3数表5'=啊n/建nT仍然具有性质（0）.2132-31 .【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，A工是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为第一次2 .【2016年吉林预赛】在公

9、差不为0的等差数列值/中，.=10，且与、鼻、叫口成等比数列.则数列4的通项公式为r3 .【2016年上海预赛】数列工，定义如下网二=二二计入;“5后4），则。+3工4"+工工俣=4 .【2016年上海预赛】设，总金,七%仃14为正整数1,2,一，2014的一个排列。记5文=卬口*=12j20!A）。则口山的+0：1clM中奇数个数的最大值为。5 .【2016年浙江预赛】已知数列4,、瓦J满足/二一1,从二3小根二一瓦，二2an-3bn（nZ¥）。贝U一°6 .【2018年甘肃预赛】已知数列&J满足/+二二三与,%二3,则数列%的通项公式是.7 .【201

10、8年吉林预赛】在数列/中，若片一碎一“完工2泮巨炉印为营船，则称值为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：数列（-1严是等方差数列；若小混等方差数列，则*是等差数列；若四，龙等方差数列，则也如k为常数）也是等方差数列；若%J既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确的命题序号为.（将所有正确的命题序号填在横线上）8 .【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有种上楼梯的方法.9 .【2018年浙江预赛】设数列$,满足叼=1,=S0Tl41（n=1,2,），则底=.10 .【2018年江西预赛】正整数数列%满足7I=3冗+3

11、勒总满足膈=5+3；nW.在M=制中两数列的公共项的个数是.11 .【2018年浙江预赛】设实数X1,X2,，X2018满足W+iE/g（n=1,2,，2016）和，氏。汽二1,证明：.12 .【2018年山西预赛】已知在正整数n的各位数字中，共含有的个1,剪个2,?，小个n.证明：2叱M3TK-Xio£月+I并确定使等号成立的条件.13 .【2018年浙江预赛】将2n（犯之之）个不同整数分成两组a,82,，an；皿b2,，bn.证明：£困4一同一.(%一明什出厂瓦d工重。14 .【2018年贵州预赛】证明：(1)3+=_+-_+，+-2亡1(k>2,kCN);”叫&

12、quot;1l*+2*J(2)分别以1,I,，1,为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为三的正方形内.23ft215 .【2018年广西预赛】设七二型M自割'数列位/满足九/+%/_+,+再5=产一2一1,求数,-列4,鼠的前n项和.16 .【2016年河南预赛】定义数列4)：%=4,J=也二+工+1(22).证明：(1)%为整数数列；(2)2期(.卡1+M*之L)为完全平方数。17.【2016年甘肃预赛】设数列4MnwEJ的前n项和为果，点(明(/5G在F一:工的图像上.(1)求数列*J的通项公式；(2)求q=(J,且对任意的正整数n,均有.和一G二logi,.证明：对任意又R

13、2,总有工工二十工十皿十人工工3Q后/事.18 .【2016年福建预赛】已知数列an的前n项和S=2an-2(nCZ+).(1)求通项公式an；(2)设鼻二十一嬴土，为数列bn的前n项和，求正整数k,使得对任意的nC乙均有T，>口；WE十(3)设方=匕十.二a-；，R为数列Cn的前n项和，若对任意的nCZ+,均有R<入，求入的最小值.19 .【2016年山东预赛】已知数列白马满足肛>以/44=5/+2J碌步1(孤EZ+).证明：在工,均产,"皿后中，最少可以找到672个无理数.20 .【2016年安徽预赛】已知数列8J满足%=叼=巴三匚吧士g二分用数学归纳法证明：,

14、&二*3一3.数列真题汇编与预赛典型例题答案1.【2018年全国联赛】设整数数列血加型”,口a.口满足叼。=舐u%+口日=2%,且曲国l已1+四，2+%)=12、9,则这样的数列的个数为.【答案】80【解析】设为二叼也一%w=12”9),则有叱=/口一口二=：&+力工一一瓦/仁%+J>4=/一七二Q-R=%+%+尾.用t表示卜口/1瓦中值为2的项数.由知t也是证53加中值为2的项数，其中tC0,1,2,3).因此.力a的取法数为取定尾岛岛后，任意指定%的值，有22=4种方式.最后由知，应取外立1,工使得外4比#+配为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a的值，进

15、而数列名也唯一对应一个满足条件的数列叼值谓“&3.综上可知，满足条件的数列的个数为20X4=80.2.【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列值、1%满足d=5皿<2017,对任意正整数n,有%+*二任江+i+江附，*?1+1=2卜七。贝U底i+瓦的所有可能值为。【答案】13、20【解析】由条件，知药.瓦均为正整数，且的鼻。由于2017Abm=印乂瓦=5建>，故工三123L反复运用数列入；的递推关系知，a±£)=a#+®a=工事+啊=当的+羽&=S%+3地=8啊+55=1加山+打狎=21%+1313=34+21a2则21期=期用

16、=瓦<=5125：=25二Q?wd34)O而1三3Kzi=34x8+1,故X三13x21.三13工=26%的时3%注意到，则55%<34的-21ali=5建电n如当2:1时，式分别化为512亚=26(fftdd34)r3I1<-=-f33无解。当&二;时，式分别化为1024at=52ffwd34h、得到唯一的正整数均二1E,此时L+卜1二期建当为二三时，式分别化为：九三阳1相"？a1春，£5得到唯一的正整数n二心此时与+瓦二13,综上，*区的所有可能值为13、20。故答案为：13、203.【2016年全国联赛】设向'k%为1,2,，100中

17、的四个互不相同的数，满足（居+编+仪以底十Qb+畸）=风口工+七零+口通。二.则这样的有序数组（口,吃川军网）的个数为【答案】40【解析】由柯西不等式知（畸+期4-fXoa十成+原）E/向+知明十口3g工，等号成立的充分必要条件为：当三归三受，即口口小柱覆.必成等比数列.山修R于是，问题等价于计算满足也山西，叫,$,匚L乙,100的等比数列农印ajp珥-的个数.设等比数列的公比弓字i,且qEQ.记刁二春,其中，mn为互素的正整数，且慎丰配.先考虑花>海的情形.此时，.注意到，丽，与八互素，故2=詈上1十.相应地，13%心分别等于田上m里曜心mnsL匏4,它们均为正整数.这表明，对任意给定

18、的g=1>1,满足条件并以q为公比的等比数列1%.-%,%）的个数，即为满足不等式谓010。的正整数i的个数，即畏.由于故仅需考虑Q二2334的情形，相应的等比数列的个数之和为吃+署+等+匿吃-.:.当郭时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列也1a3t1ssf4.综上，共有40个满足条件的有序数组4.【2014年全国联赛】已知数列1满足4三五誓/8=十）.则晨二【答案】【解析】_Jfc+13aw_由题意知J：二一*:F匚:*-2fc+1）Zr2X3='T.*优'触电一12r=2时支金#1）.记数列狙J的前n项和为国.则一：.一一.=-=；一.一一.上面两式相减得工二

19、乃也+1)(2+2"-=/+2+2>=2+1)-2n=3a-aiX2il330U>-:,-3:,-1.5 .【2013年全国联赛】已知数列入共有九项，其中，=09=1，且对每个IE口却,，均有匕卜工一寺.则这样的数列的个数为.【答案】491【解析】令网三黑（1<1S3）.则对每个符合条件的数列%,满足条件忆尸口二黄三六二1，且与名上工_永1巨Y8).反之，由符合上述条件的八项数列%/可唯一确定一个符合题设条件的九项数列的J.记符合条件的数列1的个数为却.显然，瓦(1<1三碧：中有编个一：；从而，有盘个2,8装个1.当给定占时，12rli的取法有片倬燕种，易见总

20、的可能值只有0、1、2,故因此，由对应原理，知符合条件的数列叫J的个数为491.6 .2011年全国联赛】已知/=。郑浮"+".-二”则数列4中整数项的个数为.【答案】15【解析】SflU-TC.注意到要使力门三门£95；为整数，必有在宁、生处均为整数，即£|(n+4).w"fe当独二川+2值二口山“，J制时，牛吟星均为非负整数.所以，0n,为整数,共有14个.当工=36时，=C疆口343aBx2一,在备>%=5s嬴石中，领。I中因数2的个数为_.同理，可计算得8电中因数2的个数为82,U案中因数2的个数为110.故学高中因数2的个数为1

21、97-82-Tim二工从而，0a看是整数.当配=92时，®-gj=X3cz'口.同理，值口中因数2的个数小于10.从而，。工不是整数.因此，整数项的个数为1m+1=15.故答案为：157.【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中,.二31月二11优2二，坛J免5二星，且存在常数珥、P使得对每一个正整数K都有d片二log4rBlt+£.则【答案】海+3【解析】设k的公差为%噩，的公比为楂则J：一解得壮=鲤=9从而3+6fn-1）=1鸣口9所1+3对一切正整数H都成立.是，.解得.8.【2019年全国联赛】设整数句.%*,。/亶甘满足1口工&#

22、163;$££/口门二99.记.一一一一一.一一一一-.求f的最小值工.并确定使f=f0成立的数组（。1心L通加3的个数.【答案】答案见解析【解析】2r=（5al心产+出一尸+“，+（0M如一0Ml鼻尸+&+fl?+«2«1»+±（为1&思）"+f年1也4）*+*+Cjflis1值工口七甲产+t®301£1+（也加晒11r-1+龙鼻+3017+>Aim?-1*%。力一看+（叱口s-99尸+R+电+码口官+9歹>2flau-好&%M7+2岁炉上1480口取最小值时每个%+

23、逐一%二0或1,»=L2lZ016.设7%口珏中，n有工值.个（国=超2门&等.则任意.令&二%-i,则/+”+此=即B-妁=196g.由隔板法当工网，小的解数为IMB.因此所求值A小皿:有滥取个，最小值/口=7400.9.【2018年全国联赛】已知实数列位满足：对任意正整数n,有时（编一灯风）二i,其中S表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n,有/<工而;（2）对任意正整数n,有/册/L<1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）约定为=0.由条件知，对任意正整数n,有“一二一.一：-：-.从而S：=&+Sq=71,即

24、又=|而（当n=0时亦成立）显然，（2）仅需考虑3同号的情况.不失一般性，可设/内花工均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则%>其-1>痴，故必有而十1,此时，从而10 .【2018年全国联赛】数列4定义如下：a1是任意正整数，对整数n>1,an+1是与，器二互素，且不等于的、小的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.【答案】证明见解析【解析】显然a1或a2=1.下面考虑整数n>1,设m有k个不同素因子，我们对k归纳证明m在，中出现.记k=1时，m是素数方哥，设说二部其中比>0,p是素数.假设m不在!中出现.由于加晨各项互不相同，因此存在正整

25、数N,当n>N时，都有心.若对某个n>N,PlZi,那么丁-与Sn互素，又11aJ1f/中无一项是鬻口,故由数列定义知鼻W解"，但是®HUMA，矛盾！因此对每个n>N,都有而'.但由p|S"一及p|5.知词/相，从而an+1与&不互素，这与an+i的定义矛盾.假设k>2,且结论对k-1成立.设m的标准分解为皿=中广点*,求士.假设m不在/中出现，于是存在正整数N,当n>N时，者B有%>m.取充分大的正整数尚”第诃_立,使得K=乎?4.堂*>max.我们证明，对n>NF,有氏附l±M.对任意n

26、>NI,若S与1”了工“p、.互素，则m与S互素，又m在.a二中均未出现，而相>隔，这与数列的定义矛盾.因此我们推出：对任意n>NI,&与内地丸不互素.（*）情形1.若存在tjT至t5&使得问图，因（4+）=,故囱H函计从而思z二手M（因物|M）.情形2.若对每个i（lik-1）,均有问卜冬，则由（*）知必有隹属.于是再“叫L+i，进而叱#0+叫计一即学/品a故由（*）知，存在-D,使得FiJ5m,再由鼠+力=储斗小+n及前面的假设Pit鼻口三，三k-1）,可知/f%+n,故4+i丰时.因此对n>NI+1,均有%丰赭，而用盘整明，故M不在小中出现，这与归

27、纳假设矛盾.因此，若m有k个不同素因子，则m一定在鼻中出现.由数学归纳法知，所有正整数均在J中出现.11 .【2017年全国联赛】设数列小：定义为口1=L4+”微量£黑S二L）求满足出.<rg32017的正整数r的个数。【解析】由数列的定义，知肛=1%=2,假设对某个整数工五九有降二"只需证明对£=&-、：！，有Ictjf=r-t<r对t归纳证明。当t=1时，由于/=r>r,结合定义得%工=tir4-T=r4r=2r>T+i0rti1a二4加一（丁+i）=2r（r+1）=r1<t+2结论成立。设对某个1结论成立，则由定义Saw

28、=flrfrk+6r+2上=7一重+算+24=工丁+£>y+Nt+L4受=+如.（干+ZK+1=2rr#2t4-l）=r1l*xr+Zt+2即结论对t+1也成立。由数学归纳法，知结论对所有£=«2中一：成立，特别的，当£=一1时，有3”喜=；1。从而，若将所有满足耳=彳的正整数r从小到大记为与丐，则由上面的结论知*i=L/=2,+止=3丁亡_二（文=2工,1）故%l3（/一L2,一融1）,从而，注意到于是，在L2“第口"中满足%二节的数r共有2018个:%，物口"由结论，知对每个k=lf2f-201770*L2+一2中恰有一半满

29、足3r<*。一力均为奇数,而在电，3闻二？中，奇数均满足斯，偶数均满足如Vn其中的偶数比奇数少1个.因此，满足%,三3攻"的正整数r的个数为；1017-2918-1)=12.【2016年全国联赛】设p与p+2均为素数，p>3.定义数列4上八,二7_1+巴尸也二工？“)，其中，国表示不小于实数x的最小整数.证明对外=3,4''.p-i,均有一(p/1t+i).【答案】见解析【解析】首先注意，小；为整数数列.对n用数学归纳法.当耗=1时，由条件知:一一：，二一-'-.因为p与p+2均为素数，且p>3,所以3心,中“。.因此，3也明+1),即德=3

30、时结论成立.当34第三/一：时，设对=3“愚-1,均有%_二十1),此时，m_吧上l".故从而，对3<msp-1,有f味二室二号,十回7”),二天,十一誓卬M又？品为整数，故血|防十痼（p+2）（鲍匿_土-因为用<p（p为素数），所以，_.又p+2为大于n的素数，故（p+啕3+2）=1,从而，n与手+n）p+2）互素.于是，由式知由数学归纳法知本题得证.13.【2014年全国联赛】已知数列女满足的二*在*=&7<t打1（昵Cd/GlEZQ.求正整数m使得一一【答案】3333【解析】由题意，知对任意正整数n有叫（-?,3且：取1%二=品曰06.由于隈%>

31、口，则F（咤）.由式得百？值江+=近困&鼻=1+tan工咻.*.137t-2观一1+丁丁=%区.我也.二吗（利用式）tin叫t-由中gHLflCD14 .【2013年全国联赛】给定正数数列/；满足，225fl_L（m=%支）,其中，5曰二巧十工；j+十%.证明：存在常数00,使得标三2yS=L&）.【答案】见解析【解析】当望之2时，/22sxN与+/+,+。一二.对常数C二注,接下来用数学归纳法证明：11sz2flgi=12产,）当况=:时，结论显然成立.又.对注>3,假设以之1fctek=1）.则由式知天用3巧.（三+当+-+比aJ之+2，£74皿+2谊一二（

32、23+23+2a+2"T.于是，由数学归纳法，知式成立.15 .【2013年全国联赛】给定正整数以V.数列1&J定义如下：口=优+审，对整数m之1,=Re+地的wt+i=am+r.记。=见十的十一十a.优（质=L2l）.证明：数列国（中有无穷多项是完全平方数.【答案】见解析【解析】对正整数看行17=在立+（a2+ce5+也&+a5）+,+（0.271*1._2+日语*-i）=m+重+仁+ii+fi.+1?）+（打工+ti-附+旬+*+（&*_+it+&广+叫-.-'_.故=并-"3+时）+2器t也+期）+250»-i_l=2

33、K即T的+整）+警2*(-1乂/+H)+即Y(1L+V)=2n-I(K+访乳设叽4右=2徇kwNq为削的.取工二铲，其中，！为满足;北一1fm斓2的任意正整数.此时，3；j一合二;尸”注意到，q为奇数.故于是，亍父.是完全平方数.由于，:有无穷多个，从而，数列显中有无穷多项是完全平方数.16.【2012年全国联赛】已知数列加的各项均为非零实数，且对于任意的正整数日都有(%+电工4-«用J)3=吗+吗+,+aj.(1)当m=3时，求所有满足条件的三项组成的数列在ij国工？%.(2)是否存在满足条件的无穷数列%,使得51m=-2”却若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在，说明

34、理由.“，、_/八4一.一/2012;【答案】(1)1,2,3或1,2,1或1,-,1./i(一lA2Dl工？!A2C113L【解析】（1）当月=1时，逑=感.由与#（，得，=i.当'L二；时，（i+尸=i+吗.由叼左0,得叼=2或-1.当m=定时，（1+，&+Q?）“=1+用.若=2,得看二3或一2;若吃二一1,得啊二i.综上，满足条件的三项数列有三个：1,2,3或1,2,-2或1,-1,1.（2）令又=%斗夜工+/优.贝USJ=成十吗4fli3e、+）.故区+/+11r=af+式+”,+/w.两式相减并结合力+L丰0,得2%35Kl一°TO+1.当靶:.时，由（1

35、）知向二1；当里主爰时,2叫=-7）=（瓯+a-也工+J-（醴-值ru）,即+%D=0.所以，g-r+1=-%或%+Lfl=snaa=-2012,则。二寓tin<2012;Ic-ljsaizw>2013.17.【2011年全国联赛】已知数列an满足：a12t3tR,t1an12tn13an2t1tn1an2tn1（1）求数列an的通项公式;（2）若t0,试比较an1与an的大小.2tn1【答案】（1）an1；（2）an1an.n【解析】试题分析：（1）通过对an12tn11an11合理变形，可得数列bnan2tn1a1-n一，求得数列bn的通t1项公式，即可求解数列的通项公式；（2

36、）通过（1）作差可知an1an-tn1,利用等比数列求和，即可计算，得到结论.试题解析:(1)原式可变形得：an12tn11an2tannan11tn则bn所以ananntn12an12a1tnan2tn1aT-1an1tn12bnK,bbn22tn1tt2tn1bnnnttt2tn1,易知，当t0且t1时，t1与同号，所以an考点：等比数列的定义及数列的递推式的应用.18.12011年全国联赛】证明：对任意整数或性纣,存在一个注次多项式F(力二F+Qut/t4'4%工+%具体如下性质:(1)口均为正整数;(2)对任意的正整数面及任意芝2)个互不相同的正整数.节约./性，均有/0。.【

37、答案】见解析【解析】令8=fe+D(x+方=+唠+N.将式的右边展开即知，(喇是一个首项系数为1的正整数系数的瞠次多项式.卜面证明：£满足性质2.对任意的整数由于附N4,故连续的个整数f+云皿工+杀中必有一个为4的倍数.从而，由式知f三纯口鼠4).因此，对任意其舐壬2；：个正整数%再产1”,有f&0外%)/(九)三淮三0(moM).但对任意的正整数故ffgH/GrJf也”孔上).因此，八二)符合题设要求.19.【2011年全国联赛】设4)是给定的正实数，$</.对任意正实数r,满足工艺=r(l<E</<A<n)的三元数组(tjk)的个数记为启(r

38、).证明：£(r)<.强一町4【答案】见解析【解析】对给定的j(i满足i<i</<且呼f=r犯一审的三元数组的个数记为盯0.注意到，若1/固定，则显然至多有一个口.使得式成立.因；<上即清/一二种选法，所以，町斓Mj1.同样地，若八*固定，则至多有一个$使得式成立.因史:>1，即心有北一丁种选法，所以，盼)生低一/.从而，因此，当前为偶数时，设花二工现则<V迎一<8曹J1t工印匚£_*第<r)=£卸任)=£的叱工即工头0-甘一工不写二值瓶-D=*=+次洵一-血"m34.当孔为奇数时，设几二*

39、+1.则C(耳一1量二.-二；-一，：-=-.-.j町fc+120 .【2010年全国联赛】证明：方程2炉+5/一2二口恰有一个实数根r且存在唯一的严格递增正整数数列D使得±=i+T屯+.J【答案】见解析【解析】令f（工）三2r居+5工一2.则,F（x）=61Ts+5xfl.所以，f是严格递增的.又Ho）=su,咫故有唯一实数根1fe（口|）.于是因此，数列/=3n-2（ii=127是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列时的*,Y0V*和aW%»满足*rai+75+=户+旷/+«=3，去掉上面等式两边相同的项有产+21=十七+rtj+*“，其中，与%Vi

40、1tlM。,且所有的取与芍都是不同的.不妨设与巳.则广附Ct*1+7生+”=7均+¥施+，+丁为T=+工犷+f工十一二七-14二一1=1,矛盾.因此，满足题设的数列是唯一的.21 .【2010年全国联赛】给定整数H靠2）,设正实数%*的满足“1（=LZm）,记金二华S二LZ，,，.求证：|工1%-工屋&胃.【答案】见解析【解析】由。%互1,知对1工意三也一i,有。£匕叫工上j0=+立中生注一比.注意到当瑞3rA。时，有|My|«max值y.于是，对有4一/二巨鼠.Q3型”J一二二；二一：一:-二二二一.；：，二二一.故一二.一=二.22.【2009年全国联

41、赛】已知p'qq土。是实数，方程尤"一pt+q=0有两个实根由户，数列4满足%=pg=dq，%=一q4T（几=3人，）.（1）求数列%的通项公式（用风口表示）；（2）若p=Lq=：,求（5的前"项和.【答案】【解析】方法一：（I）由韦达定理知在#=去。，又or+f=中，所以/-2£寡虫-胃'7=（江+为4-1-江.-71g=3，4,5，->整理得令1=e114t一四/，则口+口=油式伽=1J2/）.所以他/是公比为厘的等比数列.数列出的首项为：九二%T町二丁即=（口+町即-3g+产）二公”.所以l二d土二厘性"，即j叙三丘侬二，2,

42、）.所以*=做”E值=，2-7当0=©时，K=p#O,t=p=aa=la""（n=lf2t川）变为=2rT整理得，*一言2,).所以，数列在成公差为i的等差数列，其首项为密=四=2所以a#于是数列佃.的通项公式为4=m+i)q；5分当一如。时，度46,4广网4&用a=#叁子度典十二尸怅$£X整理得(71=1/2,jkdN口工所以，数列出隹十丁；:成公比为f的等比数列，其首项为“+"；=覆+/+丁：=57.所以.JB-J*jB-Mff一父于是数列a牝的通项公式为10分(H)若芦=1，q=,则4=；»'-"=&#

43、169;,此时=#=,.由第(I)步的结果得，数列oQ的通项公式为%=。+工中所以，%的前三项和为%=2十万十十”.十/十烹1234Jih+1-s11-斗J2a2a2=2d2nZ11以上两式相减，整理得2,LJrk+H所以=主一方15分方法二：（I）由韦达定理知户=g=0,又工+£二p,所以（LL-a¥fif/二胪+V+2.特征方程产-p九十邛=0的两个根为叫区.当出二/左（时，通项%=（4+盘鼻他）球11值=112f）由色=&=得（员工十£集）口三2。&4+2A泪=3a3解得Aj1.故Ctf=（1+胃）需，5分当您手旧时，通项啾=2f）.由由=在

44、十#,R|=q33+4”+瞰得L金立口子A£=a+§二陵+4优+£解得见，网注二言.故10分?-a_小7+f_沪J-riF（n）同方法23.【2009年全国联赛】在非负数构成的数表尸=xiax13r»*z19“工述工2义工节，如p重茁7%中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1,仃=向口=/9=口，孙7,如丁，为1中天“，必中离却均大于1.如果P的前三列构成的数表尸也治产【叫尸口、5=1%1!七#方满足下面的性质（0）对于数表P中的任意一列1KMi（*=12,9）均存在某个i七1,2,3V对通碎器/xai7使得工孰匕/=mini“亶T有J.求证：

45、（1）最小值%=10也（均1占匕/篇）（=123）一定去自数表5的不同列；尸it抬心仆（2）存在数表P中唯一的一列卜欧，（P$I23）使得3x3数表51=%&/址，）仍然具有性质（0）.【答案】见解析【解析】（1）假设最小值福&=豌建弱J（i=12%）不是取自数表的不同列.则存在一列不含任何逼不妨设乜产飞（工=L七3）.由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是，叫<飞（i=L2察）.使得工*矛盾（2）由抽屉原理知minfcjL&glmiTiDrMjrLminli.叫中至少有两个值取在同一列.不妨设minfciL4器B=屈蜘山小=也£.由（1）知数表

46、$的第一列一定含有某个的，则只能是的同理，第二列中也必含某个%=1X3）.不妨设工工m=%.于是，/二万却，即上是数表§中的对角线上数字：/1.叼”工酩.记M=12“3.令集合，二例巨阖初竟>inin；j%,町=1闻,显然，,二kE阈飞下巧胪飞。且1237.因为%£>!>勺1网工，所以，白巨.故出由.于是，存在上,F.使得勺=巾遮为/会EU,显然，=L2.3下面证明：字黑3数表5rH叫:巧#|具有性KaWai”质从上面的选法可知%=山如Nm工J二min任仃<i=13）,这说明Si6->初J之曲筌/t>皿丽值短晶的三密又由5满足性质（白），

47、在式中取卜=上，推得郎31ft一看叫.于是，私J=血却白却啊，工,寓睢=孙鼠.接下来证明：对任意的上目前，存在某个I（£=1M3）使得uj24能再证唯一性.设有JT乏抬使得数表岑聚假若不然，则上>minx主，立法E=工,¥）且工工比>算3frr.这与富士丁的最大性矛盾.因此，数表5,满足性质。）.小in左小松|具有性质（0）.工33上£二二或'J叫二lNffilxiar叼1r不失一般性，可假定七=加阿的工啊受物工=地的5=工4与群用召=,a3V1rHi.由于/工<41HmM工孰及（1）,有的“二min篁m，三加注j/二x11P.又由（1）

48、知，或者V=Mq>/制工速/二工设，或者ti工Ulini匕/工丁工工工3工亡厘女口果式成X*,则（叫”=地舐知土犁&/=札"iiafF=曾®=丐护由数表对满足性质（。），则对于3£财至少存在一个t£12,3,使得ML"=就安小!的“3胃窗又由式、知二七口<现门国二三二三魄.所以，只能有叫”二/用一同理，由数表§满足性J1"=册巧丫二三1r质（Q）得工睚于是，上=3,即数表$=$.如果式成立，则“"=处加看u苑期啊/】=通标"工场所=愀妈究能电/谭,由数表T满足性质（。），则对于审后M；

49、存在某个EG=iA3）使得运尸之看£.由巨了及式、知工盘,叼4=瓯。与¥工二则”.于是，只能有的££暹”二跖常.同理，由5,满足性质（。）及£'ER侏r汇工限三mJ=巧H.从而*'=%.各省预赛典型题1 .【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫且*是第2次挖去的三个设.L是第n次挖去的小三角形面积之和（如乂!是第1次挖去的中间小三角形面积,小三角形面积

50、之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为【答案】岂1.（汇第一次第二欠【解析】原正三角形的面积为而第k次一共挖去第T个小三角形，趣=励一.因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为故答案为：2 .【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列%中，©=1口，且叼I唱的口成等比数列.则数列/的通项公式为.【答案】【解析】设等差数列的公差为丰。）.由已知得故3 .【2016年上海预赛】数列4）定义如下:4二,工hi.=（允E4）,则一一一一一【答案】【解析】由定义得二一=2（2黑+1）+.令*=.于是，为二孑够十L知二双如-1）-=2（2bi-1）4-（2荏梵+3+：=工0工:=：

51、口丸+1）（2n一1）,39E42Q14£理%=£曰高=21+立网F=yEW4p一y_口31-1124+17-1知闻=1=.事也工掌事0。4.【2016年上海预赛】设%,%七%；口”为正整数1,2,一，2014的一个排列。记5k=%，口中+a1s&=12N014）。则山的+口知六中奇数个数的最大值为【答案】1511【解析】若与Q$£与201步为奇数，则，与£i具有不同的奇偶性.从啊到啊3中至少有1007-1=1006个奇数.从而,§u名产5加乜中至少要改变1006次奇偶性故当房产工皿中至少有503个偶数，即至多有2014-503=151

52、1个奇数.取.则51，工6，5立口口丁及用面通a5m二；土匀为奇数.综上，中奇数个数的最大值为1511.5 .【2016年浙江预赛】已知数列伍1满足期=一1，瓦=即/+a=一b果.瓦+1=表小-3&式日黄。.一一.一一。【答案】【解析】由已知b申*二二、瓦杓得%4人士势汁口4电）=尸奥+,*）（4（/7）,故一-一-1_：,；.6 .【2018年甘肃预赛】已知数列位/满足Ji=七箫,5=3,则数列5的通项公式是.Hr.干不【解析】由n二六建可得至?一左二高心二3,M.r11_n1-_iii_i则尸£_=_禾.以下用累加法得，亮一£=会4i+器得到，一_a炉从而，力而

53、二？7.【2018年吉林预赛】在数列%中，若噱一醺-1=羽5>2,的E前印为常嵌）,则称%为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：数列机一11哼是等方差数列；若&J是等方差数列，则。是等差数列；若4是等方差数列，则k为常数）也是等方差数列；若MJ既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确的命题序号为.（将所有正确的命题序号填在横线上）【答案】【解析】因为=所以一Df符合“等方差数列”定义；根据定义，显然感是等差数列；啥LUj=口1一+41Y一咤理7的,'斗碌H-ahi）二即符合定义；数列%）满足心一嫌.二跖1一/一.二d（d为常数）.若d=0,显然%J为

54、常数列；若dw0,则两式相除得所以%二等（常数），即$为常数列.故答案为：8 .【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有种上楼梯的方法.【答案】21【解析】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有£患=后种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有=1C种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有信=4种方法；共计21种上楼梯的方法.9 .【

55、2018年浙江预赛】设数列口/）满足的=1,01H=%+1（n=1,2,）,则货殳3口n=【答案】HE【解析】由七十2=5%+%斗：三三（品+£）=/ey-所以annaSD7710 .【2018年江西预赛】正整数数列&J满足时=加+2,£加满足以=5n+L北E西.在耐=12-201创中两数列的公共项的个数是.【答案】135【解析】易知，2018是两个数列在盟内最大的一个公共项，除去这个公共项外，用2018分别减去1人彷的其余各项，前者得到但为6总w-MiS，它们是温内所有3的倍数；后者得到缶J为践耳，它们是圈内所有5的倍数；显然，%、伪J的公共项，一一对应于flj>伍*的公共项，而这种公共项是肘中所有15的倍数，为栏目二134因此，所求公共项的个数是134+I=1史个.L115故答案为：13511 .【2018年浙江