数学分析下教学大纲数学分析

1、数学分析教学大纲一、课程基本信息课程名称：数学分析MathematicalAnalysis课程代码：06005,06015学分：10总学时：160个（一）课程总体目标通过本课程的学习，使学生掌握极限思想及其论证方法，理解并掌握极限、连续、导数等基本概念，以及一致连续的概念，熟练掌握微分法，获得应用微分理论和方法解决实际问题的能力。培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。通过系统的学习与严格的训练，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分法这一

2、工具解决实际应用问题的能力。（二）课程简介以经典微积分为主要内容的数学分析，是统计学专业学生极其重要的必修基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学习其他基础课和专业课的基础，也是占学时最长、学分最多的一门必修基础课程。其特点是：内容多，跨度大，概念抽象，系统性与逻辑性强，思想方法重要，应用广泛。众所周知，数学是一个分支众多、应用非常广泛的科学体系，是其他各门科学的基础和工具，在整个人类知识体系中占有特殊重要的地位。数学是研究数量关系和空间形式的科学，而研究数量关系和空间形式必须从变量间最本质的联系函数开始起步。数学分析研究的对象与方法是用无穷小分析的方法研究实函数。因此，数学分析正是讲

3、述函数理论的最基本的课程，可以说它是数学这座科学大厦的奠基石，是基础中的基础，它理所当然地被列为数学科学及相关学科最重要的基础课之一，在培养具有良好数学素养的人才方面，它所起的作用是任何其他课程无法相比的。由于数学分析是几乎所有后继数学课程的基础，又是新生入学后首先接触的重要基础课之一，所以，数学分析这门课程不仅要教会学生循序渐进地领会已抽象出来的普遍结论、掌握扎实的专业基础知识，更重要的是培养学生抽象的逻辑思维能力、使其切实掌握运用数学工具分析问题、转化问题、解决问题的思想和方法。数学分析课程的得失，将直接关系到其它相关数学课程如常微分方程、概率论与数理统计、复变函数与积分变换等教育的成败，

4、关系到学生后继专业课程的学习，对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用，甚至可能会影响他们一生的思维方式。因此，积极开发教学资源，根据学生的具体实际情况，按照课程标准的要求实施教学，对于提高管理统计系学生的综合素质有着深远的影响。（三）教学内容逻辑框架图重积分无穷级数微分方程反函数初等函数导数微分中值定理导数应用多元函数微分分段函数函数性质（四）教学内容及学时分配第一章：实数集与函数6课时第一节：实数（1课时）1、实数及其性质2、绝对值与不等式第二节：数集？确界原理课时）1、区间与邻域2、有界集？确界原理第三节：函数概念（2课时）1、函数的定义2、函数的表示法3、函数的四则运算4、

5、复合函数5、反函数6、初等函数第四节：具有某些特性的函数（2课时）1、有界函数2、单调函数3、奇函数和偶函数4、周期函数第二章：数列极限8课时第一节：数列极限概念（2课时）第二节：收敛数列的性质（3课时）第三节：数列极限存在的条件（3课时）第三章：函数极限8课时第一节：函数极限概念（2课时）1、x趋于8时函数的极限2、x趋于X0时函数的极限第二节：函数极限的性质（1课时）第三节：函数极限存在的条件（1课时）第四节：两个重要的极限（2课时）1、证明limsnH=1x50x1V2、证明lim（1+）=exx第五节：无穷小量与无穷大量（2课时）1、无穷小量2、无穷小量阶的比较3、无穷大量4、曲线的渐

6、近线第四章：函数的连续性6课时第一节：连续性概念（2课时）1、函数在一点的连续性2、间断点及其分类3、区间上的连续函数第二节：连续函数的性质（3课时）1、连续函数的局部性质2、闭区间上连续函数的基本性质3、反函数的连续性4、一致连续性第三节：初等函数的连续性（1课时）1、指数函数的连续性2、初等函数的连续性第五章：导数和微分10课时第一节：导数的概念（2课时）1、导数的定义2、导函数3、导数的几何意义第二节：求导法则（2课时）1、导数的四则运算2、反函数的导数3、复合函数的导数4、基本求导法则与公式第三节：参变量函数的导数（2课时）第四节：高阶函数（2课时）第五节：微分（2课时）1、微分的概念

7、2、微分的运算法则3、高阶微分4、微分在近似计算中的应用第六章：微分中值定理及其应用8课时第一节：拉格朗日定理和函数的单调性（2课时）1、罗尔定理与拉格朗日定理2、单调函数第二节：柯西中值定理和不定式极限（2课时）1、柯西中值定理2、不定式极限第三节：泰勒公式（1课时）1、带有佩亚诺型余项的泰勒公式2、带有拉格朗日型余项的泰勒公式3、在近似计算上的应用第四节：函数的极值与最大（小）值（1课时）1、极值判别2、最大值与最小值第五节：函数的凸性与拐点（1课时）第六节：函数图象的讨论（1课时）第七章：实数的完备性6课时第一节：关于实数完备性的基本定理（3课时）1、区间套定理与柯西收敛准则2、聚点定理

8、与有限覆盖定理3、实数完备性基本定理的等价性第二节：闭区间上连续函数性质的证明（2课时）第三节：上极限和下极限（1课时）第八章：不定积分8课时第一节：不定积分概念与基本积分公式（2课时）1、原函数与不定积分2、基本积分表第二节：换元积分法与分部积分法（3课时）1、换元积分法2、分部积分法第三节：有理函数和可化为有理函数的不定积分（3课时）1、有理函数的不定积分2、三角函数有理式的不定积分3、某些无理根式的不定积分第九章：定积分10课时第一节：定积分概念（2课时）1、问题提出2、定积分的定义第二节：牛顿莱布尼茨公式（2课时）第三节：可积条件（2课时）1、可积的必要条件2、可积的充要条件3、可积函

9、数类第四节：定积分的性质（2课时）1、定积分的基本性质2、积分中值定理第五节：微积分学基本定理？定积分计在2脚寸）1、变限积分与原函数的存在性2、换元积分法与分部积分法3、泰勒公式的积分型余项第十章：定积分的应用6课时第一节：平面图形的面积（1课时）第二节：由平行截面面积求体积（1课时）第三节：平面曲线的弧长与曲率（2课时）1、平面曲线的弧长2、曲率第四节：旋转曲面的面积（1课时）1、微元法2、旋转曲面的面积第五节：定积分在物理中的某些应用（1课时）1、液体静压力2、引力3、功与平均功率第十一章：反常积分4课时第一节：反常积分概念（1课时）1、问题提出2、两类反常积分的定义第二节：无穷积分的性

10、质与收敛判别（2课时）1、无穷积分的性质2、比较判别法3、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法第三节：瑕积分的性质与收敛判别（1课时）第十二章：数项级数8课时第一节：级数的收敛性（2课时）第二节：正项级数（4课时）1、正项级数收敛性的一般判别原则2、比式判别法和根式判别法3、积分判别法4、拉贝判别法第三节：一般项级数（2课时）1、交错级数2、绝对收敛级数及其性质3、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法第十三章：函数列与函数项级数4课时第一节：一致收敛性（2课时）1、函数列及其一致收敛性2、函数项级数及其一致收敛性3、函数项级数的一致收敛性判别法第二节：一致收敛函数列与函数项级数的性质（2课时）第十四章：幕级数

11、6课时第一节：幕级数（2课时）1、幕级数的收敛区间2、幕级数的性质3、幕级数的运算第二节：函数的幕级数展开（3课时）1、泰勒级数2、初等函数的幕级数展开式第三节：复变量的指数函数，欧拉公式（1课时）第十五章：傅里叶级数6课时第一节：傅里叶级数（3课时）1、三角级数，正交函数系2、以2pi为周期的函数的傅里叶级数3、收敛定理第二节：以21为周期的函数的展开式（2课时）1、以21为周期的函数的傅里叶级数2、偶函数与奇函数的傅里叶级数第三节：收敛定理的证明（1课时）第十六章：多元函数的极限与连续8课时第一节：平面点集与多元函数（3课时）1、平面点集2、R2上的完备性定理3、二元函数4、n元函数第二节

12、：二元函数的极限（3课时）1、二元函数的极限2、累次极限第三节：二元函数的连续性（2课时）1、二元函数的连续性概念2、有界闭域上连续函数的性质第十七章：多元函数微分学8课时第一节：可微性（2课时）1、可微性与全微分2、偏导数3、可微性条件4、可微性几何意义与应用第二节：复合函数微分法（2课时）1、复合函数的求导法则2、复合函数的全微分第三节：方向导数与梯度（2课时）第四节：泰勒公式与极值问题（2课时）1、高阶偏导数2、中值定理和泰勒公式3、极值问题第十八章：隐函数定理及其应用第一节：隐函数（3课时）1、隐函数的概念2、隐函数存在性条件的分析3、隐函数定理4、隐函数求导举例第二节：隐函数组（2课

13、时）1、隐函数组的概念2、隐函数组定理3、反函数组与坐标变换第三节：几何应用（2课时）1、平面曲线的切线与法线2、空间曲线的切线与法平面3、曲线的切平面与法线第四节：条件极值（1课时）第十九章：含参量积分第一节：含参量正常积分（2课时）第二节：含参量反常积分（2课时）1、一致收敛性及其判别法2、含参量反常积分的性质第三节：欧拉积分（4课时）1、7函数2、B函数3、函数和B函数之间的关系第二十章：曲线积分第一节：第一型曲线积分（4课时）1、第一型曲线积分的定义2、第一型曲线积分的计算8课时8课时8课时第二节：第二型曲线积分（4课时）1、第二型曲线积分的定义2、第二型曲线积分的计算3、两类曲线积分

14、的联系第二十一章：重积分8课时第一节：二重积分的概念（1课时）1、平面图形的面积2、二重积分的定义及其存在性3、二重积分的性质第二节：直角坐标系下二重积分的计算（2课时）第三节：格林公式，曲线积分与路线的无关性（2课时）1、格林公式2、曲线积分与路线的无关性第四节：二重积分的变量变换（1课时）1、二重积分的变量变化公式2、用极坐标计算二重积分第五节：三重积分（1课时）1、三重积分的概念2、化三重积分为累次积分3、三重积分换元法第六节：重积分的应用（1课时）1、曲面的面积2、质心3、转动惯量4、引力第二十二章：曲面积分8课时第一节：第一型曲面积分（2课时）1、第一型曲面积分的概念2、第一型曲面积分的计算第二节：第二型曲面积分（3课时）1、曲面的侧2、第二型曲面积分的