数值分析试验

1、实验三函数逼近与快速傅里叶变换P95专业班级：信计131班姓名：段雨博学号：2013014907一、实验目的1、熟悉matlab编程。2、学习最小二乘法及程序设计算法。二、实验题目11、对于给函数f(x)=2在区间1,1上取x=1+02(1=0,1,1巾0),试求3次'11+25x曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行对比。2、由实验给出数据表x0.00.10.20.30.50.81.0y1.00.410.500.610.912.022.46试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。3

2、.给定数据点(x,y)如表所示xix00.50.60.70.80.91小11.751.962.192.442.713.00用最小二乘法求拟合数据的二次多项式，并求平方误差。三、实验原理与理论基础1.最小二乘原理与线性拟合：在函数的最佳平方逼近中f(x)wCa,b,如果f(x)只在一组离散点集入1=0,1.,m上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据(xi,yi),i=0,1m的曲线拟合，这里y=f(Xi)(i=0,1.m),要求一个函数y=S*(x)与所给数据(xy),i=0,1.m拟合,若记误差6=(6。8i,.8m)T,设中0(x)*(x),.Q(x)是Ca,b上线性无关函数族，在甲=s

3、pan，0(x),咒(x),.¥n(x)中找一函数S*(x)使误差平方和一一一2mmm“同2=£6：=£S*(x)-yi2=min£S(x)yj,这i=0i=0i=0里S(x)=a°中°(x)+a0中i(x)+.+an中n(x)(n<m)。这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。数据拟合是根据测定的数据间的相互关系，确定曲线y=s(x；a0,ai，.,an)的类型，然后再根据在给定点上误差的平方和达到最小的原则，即求解无约束问题：精品文档交流m2minF(a0,ai,.,an)=(s(xi;a(),a

4、1，.，an)-yi),i4*确定出最优参数：ak(k=0,1,.,n),从而得到拟合曲线y=s(x).2、多项式拟合。3、定义1:设有数据X=x1，x2，xm和权系数飒(i=1,2,.,m),称：m(f,g)一,if(xi)g(xi)i1为函数f和g在X=x1,x2,.,xm上以8为权的内积。4、用正交函数最佳平方逼近：为避免出现正规方程组的系数矩阵是病态矩阵的情况，在选择多项式时需要考虑正交的多项式设=span仲0*,.,露uCa,b,亳曲,.,露是正交基,即：0,i。k于是正规方程组可以简化为:(1)通,2=也|2,i=k2k2ak=(f,k),k=0,1,.,n,解方程得到：ak=ak

5、=(f,0)/卜k|2,k=Q1,.,n.这里避免了求解病态方程组，提高了计算系数的精确度。对任意的f(x)cCa,b,其最佳平方逼近函数为:n*一.s(x)xan_2-k(x)(f,、k)/"k2'k(x)由式(1)以及6向2=1导出平方误差为:P£=|f|l2-S(akllM)kk4；f2-(s*,f)(s*-f,s)=f22,其平方根称为均方误差。n一*£-乙ak(k,f),k=0k=025、由题思决tespan(1,x,x,.J,即决定拟合多项式,分别计算n(ki,y)=Z(ki,yj),用(ki,kj)组成方阵A,用(ki,y)组成矩阵B,利用A

6、/B求出该多项式m1n的系数，再利用工(f(x)yJA2求出平方误差。四、实验内容y解：1、> >i=0:10;> >x=-1+0.2*i;> >y=1./(1+25*x.A2);> >p=polyfit(x,y,3);> >s=vpa(poly2sym(p)s=-0.00000000000000016864439246388428423588689609742*xA3-0.57518273581808898597955703735352*xA2+0.000000000000000042557797397088199024277357

7、508168*x0.48412492484890701227584486332489精品文档交流>>f=polyval(p,x);>>plot(x,f,x,y,'o')2、> >x=00.10.20.30.50.81;> >y=10.410.50.610.912.022.46;> >p1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合p1=-6.622112.8147-4.65910.9266> >p2=polyfit(x,y,4)%四次多项式拟合p2=2.8853-12.334816.2747-5.2987

8、0.9427> >y1=polyval(p1,x);> >y2=polyval(p2,x);%多项式求值> >plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.')> >p3=polyfit(x,y,2)%观察图像，类似抛物线，故用二次多项式拟合。p3=3.1316-1.24000.7356> >y3=polyval(p3,x);> >plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.',x,y3

9、,'k-')%画出四种拟合曲线3、M文件：function=zuixiaoercinihe2(x,y)n=length(x);k00=0;fori=1:nk00=k00+1;endk01=0;fori=1:nk01=k01+x(i);endk02=0;fori=1:nk02=k02+x(i)*x(i);endk11=0;fori=1:nk11=k11+x(i)*x(i);endk12=0;fori=1:nk12=k12+x(i)*x(i)*x(i);end精品文档交流k22=0;fori=1:nk22=k22+x(i)*x(i)*x(i)*x(i);endk0y=0;fori=

10、1:nk0y=k0y+y(i);endk1y=0;fori=1:nk1y=k1y+x(i)*y(i);endk2y=0;fori=1:nk2y=k2y+x(i)*x(i)*y(i);endA=k00k01k02;k01k11k12;k02k12k22;B=k0y;k1y;k2y;C=AB;P=C(1);q=C(2);r=C(3);symse拟合的二次函数为f=p+q*m+r*m*ml=0;fori=1:nl=l+(p+q*x(i)+r*x(i)*x(i)-y(i)*(p+q*x(i)+r*x(i)*x(i)-y(i);end该拟合函数的平方误差为end五、实验结果1、> >i=0:

11、10;> >x=-1+0.2*i;> >y=1./(1+25*x.A2);> >p=polyfit(x,y,3);> >s=vpa(poly2sym(p)s=-0.00000000000000016864439246388428423588689609742*xA3-0.57518273581808898597955703735352*xA2+0.000000000000000042557797397088199024277357508168*x+0.48412492484890701227584486332489>>f=polyva

12、l(p,x);精品文档交流>>plot(x,f,x,y,'o')2、> >x=00.10.20.30.50.81;> >y=10.410.50.610.912.022.46;> >p1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合p1=-6.622112.8147-4.65910.9266> >p2=polyfit(x,y,4)%四次多项式拟合p2=2.8853-12.334816.2747-5.29870.9427> >y1=polyval(p1,x);> >y2=polyval(p2,x);

13、%多项式求值> >plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.')> >p3=polyfit(x,y,2)%观察图像，类似抛物线，故用二次多项式拟合。p3=3.1316-1.24000.7356> >y3=polyval(p3,x);> >plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.',x,y3,'k-')%画出四种拟合曲线3、>>x=00.50.60.70.80.91.0x=精品

14、文档交流00.50000.60000.70000.80000.90001.0000>>y=11.751.962.192.442.713.00y=1.00001.75001.96002.19002.44002.71003.0000>>zuixiaoercinihe2(x,y)ans=拟合的二次函数为f=mA2+m+1ans=该拟合函数的平方误差为l=5.8178e-030六、实验结果分析与小结1、通过这次实习，我学会了如何使用matlab根据已知点或者函数进行线性拟合，并慢慢熟悉编写函数后如何进行改错，有些过程作了简单的注释，也明白了课本中最小二乘法算法如何逼近、如何运算，对第三章的理论内容有了更深的了解。只有真正操作了才能将理论转为实践，有新的发现。2、不足的地方仍然是matl