数形结合思想及应用

1、数形结合思想及应用1引言“数”与“形”是数学的两大研究对象，而数形结合思想正是连接这两者之间的一座重要桥梁.它不仅推动整个数学历史的发展，而且帮助我们深刻认识数学问题的实质.提高人们自身的数学素养；它不仅是一种解题方法，而且可以作为一种基本的、重要的数学思想来学习、研究和应用.2数形结合思想的内涵及背景介绍2.1 数形结合思想的内涵数形结合思想是研究数量关系和空间形式的科学，通过对图象的认识，数形转化，以提高思维的灵活性，形象性，直观性，使问题化难为易，化抽象为具体，从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质.2.2 历史背景数形结合思想在数学发展中起到了非常重要的作用.早在数学的萌芽时期，人们在

2、度量与测量中已把数与形结合起来了.数形结合是中国传统数学的基本方法之一.在我国古代，数学称为算术，对于形的问题往往用数去计算，并用形的解析法去证明数的计算结果.早在先秦时代这一思想就初见端倪，公元前1世纪成书的九章算术分别属于“方田”，“少广”，“商功”，“勾股”等章中有更多这方面的应用，在这些章中对图形的研究表现为数量的计算，成功的将几何原理应用于代数.如九章算术中的开平方，开立方都源于几何，此外，刘徽还用出入相补的几何方法得出了求整勾股弦的一般公式.由此可以看出几何方法与代数方法的相互渗透，数与形的巧妙结合成为了九章算术的又一个显著的思想特征1（P43）.在西方，数形结合思想发展经历了两个

3、阶段.第一个阶段是建立数轴，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算（特别是有理数的运算）也可以几何化；第二阶段是从数轴到平面（直角）坐标系，把有序实数对与平面上的点一一对应起来，从而使得作为点的轨迹的平面曲线与数对所满足的二元方程的解集一一对应起来2,从而诞生了解析几何，实现了代数与几何的有机结合，使数学发展进入了一个崭新的阶段.近代数学中，从几何的角度看，代数和几何结合产生了代数几何，分析和几何结合产生了微分3几何；而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析(以及其他学科)提供几何背景，解释和研究课题，促进它们的发展；并使数学在实

4、践中的应用更加广泛和深入数形结合在数学发展中具有重要意义，正如法国数学家拉格朗日(Lagrange,1736-1813)在数学概要一书中说：“只要代数同几何分道扬镶，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄.但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸引新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”3数形结合思想的广泛应用3.1 数形结合思想的几种具体体现整个数学都是以数和形作为研究对象的，它们研究的内容和使用的方法虽然有区别但都是相互联系，相互转化的.初等数学的几种典型的数形结合方法包括以数表形，见形思数和坐标法.3.1.1 以数表形以数表形,就是根据数的结构特征,构造出相应的几何图形，并用几何图形

5、的特征来解决有关数学问题.已知x,y,z,r都是正数,并且2x.求证：rzxy.解析由式子y2z2,联想到勾股定理，又由式子图3.1zjx2y2x2会想到射影定理，于是只要以x,y为直角边,为斜边作出直角三角形ABC及其斜边上的高r(如图3.1所示),就可得出结论.求证.ab.ab.2注意隐含条件.ab2_2五Va.如图3.2,构造取AB指，AC而，a图3.2BCdab,由三角形性质两边之差小于第三边得ABACBC,即。瓜OsTb.3.1.2 见形思数见形思数，即某些有关图形性质的问题，可转化为数量关系的问题，借助代数运算，三角运算或向量运算常可化难为易，获得简单易行的解题方案.例1在四面体A

6、BCD中，如图3.3所示，已知ABCD,ADBC.求证：ACBD.分析本题可利用两个非零向量a,b垂直的充要条件是证明设AB=b,ACc,ADd,则BCcb,CDdc,DBbd.I因为ABCD,所以ABCD0.所以bdC0,bdbc，同理由ADbc可得dcdb图3.3比较，式有dcbc即0,所以即ACBD.注这道题也可用三垂线定理及逆定理进行证明，但不如向量证法即直观又简单，向量是沟通数与形内在联系的有力工具.例2平行四边形ABCD,求证AB2BC2CD2_2_22DAACBD.分析用向量平行四边形法则验证等式成立即可(如图证明AB2BC2CD2DA22庸升,AC2BD2孑b2b2242b：即

7、AB2BC2CD2DA2AC2BD2.注本题应用共线向量基本定理.向量具有几何形式3.4).图3.4C和代数形式的“双重身份”，灵活运用平面向量的“工具性”可以使许多相关问题简单化.3.1.3坐标法坐标法解决几何问题的基本思路是：首先根据几何问题的特点建立适当的坐标系，然后将几何问题转化为代数问题，进而用代数方法解决.例已知3x4y12,且x0,y0,求使M(x,y)x2y212x2y37取得最大值和最小图3.5值的点.3.5约束条图3.6分析这是一个二元函数的极值问题，运用坐标法，用初中知识就可以解它.如图件：3x4y12,x0,y0，所表示的图形是线段AB,而x的取值范围是0,4,将M(x

8、,y)变形为M(x,y)x2y212x2y37(x6)2(y1)2,设P为动点(x,y),Q(6,1),则M(x,y)表示动点P到定点Q的距离的平方，其中点P限制在线段AB上移动，如图3.5可以看出，点A(0,3),B(4,0)分别是使M(x,y)取得最大值的点和最小值的点.数与形的内在联系，不仅使几何学获得了有力的代数化工具，同时也使许多代数和数学分析的课题具有鲜明的直观性，而且往往因为借助了几何术语或运用了与几何的类比，进一步加速其发展，如线性代数正是借用了几何学中的空间、线性等概念与类比法，从而使得自身得到快速的发展4(P156)3.2 数形结合思想在初等数学中的应用在初等数学研究中，数

9、形结合思想应用十分广泛，它作为中学常见的数学方法，沟通了代数、三角与几何的内在联系，借助图形直观的研究数学问题.在教学中数形结合的确立对培养学生的综合分析能力，空间想象力，解决实际问题能力都起着非常重要的作用.纵观历年高考题巧妙的运用数形结合思想可以大大提高解题速度，尤其是在解填空题和选择题时，用数形结合思想解题主要体现在以下几个方面：实数与数轴上的点对应关系、函数图象问题、向量问题、解析几何、还有解等式与不等式等问题.3.2.1 数形结合思想解一般函数问题在中学所涉及的初等函数，蕴涵着丰富的数形结合思想，在解决函数问题时要充分利用函数图象，从图象中我们可以得到函数的单调区间、增减性、极值等特

10、征、典型的图象也可以帮助我们理解和记忆.例1已知直线y3x和坐标轴相交于A,B两点，若抛物线yx2mx1和线段AB有两个不同的交点，求实数m的范围.解结合图形来分析，作抛物线C：yx2mx1与直线l：y3x的图形，如图3.6所示，由题意知：抛物线C与直线l在0x3有两个不同的交点，可求m的取值范围.表达成数学语言就是f(0)310m3f(3)03.2.2数形结合思想解集合问题集合中的文氏图能够清晰准确的说明AB,AB等问题，在概率论中事件也可用集合来表示，利用文氏图来理解事件发生的概率，比用公式进行推导计算简单的多.例2P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(AB

11、C).解析上面的公式如果要证明就比较麻烦，如果画出图形便一目了然，如图3.7所示图3.73.2.3 数形结合思想解三角函数问题在三角函数中数形结合起到很大的作用，三角函数图像可以将三角函数的定义域和值域、单调性、周期性、奇偶性等性质直观的体现出来.sin,求角a的取值范围.解cossin,两边平方得，cos2所以cos2sin2cos20,2一.一一一一13y=cos图象，如图3.8所不，得2一，一2213571所以一，一一,一.44443.2.4数形结合思想解不等式问题图3.8对于不等式问题可以用函数来处理，利用数形结合思想解不等式关键是如何与函数联系起来.2例4不等式(a2)x2(a2)4

12、0的解集为任意实数，试确定a的取值范围.解析这道题应用二次函数的图象解题非常直观(如图3.9所示)，若a2,则不等式变为24<0恒成立，若a2,原不等式可以看成二次函数f(x)(a2)x2(a2)4的图象洛在x轴的下半轴.可知函数图象开口向下，且与x轴没有交点，a满足条件20_2-4(a2)4(a2)(4)0解得-2va<2,所以a的取值范围是-2vav2.3.2.5数形结合思想解解析几何问题解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究几何,数形结合的思想方法贯穿于解析几何全部内容.2例5双曲线X421与圆922y1的交点的个数解析此题可以通过解方程组解,也可以在坐标平面内画出双曲线与

13、圆，如图3.10所示，显然它们没有交点，所以选A.图3.104如何将数形结合思想渗透于教学中在数学教学中数形结合思想运用十分广泛，是提高学生素质的重要途径，学生是教学的主体,数形结合的确立对培养学生的分析能力、空间想象能力、解决实际问题的能力起着非常重要的作用,所以如何将数形结合思想渗透于教学中，培养学生的数学思想显得尤为重要.首先，教师在教学前要对教材进行深入分析和研究，把握教材的体系，思考如何在教学中突出数形结合思想，以知识为载体，将数形结合思想溶入其中，通过图形的直观性帮助学生理解和记忆.例如，在学习相反数的时候，借助数轴就显得简单明了.其次，教师在教学中应该通过一些例题的讲解使学生对数

14、形结合思想有个初步的认识，让学生体会什么是化数为形，见形思数，化抽象为具体，揭示数学的本质，凡是有明显几何意义的式子都要让学生深刻理解，例如，中学的函数问题最好采用数形结合的思想进行教学，通过对图象的认识,揭示函数的本质.最后，就是强化学生的数学思想.美国心理学家斯金纳提出：行为之所以发生变化，是由于强化作用，学生要获得有效的数学学习就必须通过“强化”.仅靠几节课的例题介绍是远远不够的,数形结合法要运用于教学的始终，通过练习使学生感受到数形结合的妙处，提高学生的学习积极性,促使学生善于运用这种思想解题.让学生达到能够自觉运用的程度，从而形成一定的数学能力.从确立教学目标，提出问题，创设情景，到解决问题，整个教学过程都要有意识的对学生进行数学思想的教学，使学生对数学有更深刻的认识.通过上文的论述，我们对数形结合思想有了更深的了解，在以后的学习中应加强对数形结合思想的运用.参考文献：1欧阳维诚.张春.肖果能.初等数学思想方法选讲.湖南教育出版社，2000.82谭鼐，翟连林编著.数学纵横谈.北京：科学出版社，1985.343南开大学数学系.空间解析几何引论.北京：人民教育出版社，