第一节：多元函数的概念学习教案

1、会计学1第一节：多元第一节：多元(du yun)函数的概念函数的概念第一页，共78页。（1）邻域(ln y)一、多元函数(hnsh)的概念第1页/共77页第二页，共78页。（2）区域(qy)例如(lr)，即为开集内点：设 E 是平面(pngmin)上的一个点集，P 是平面上的一个点如果存在点 P 的某一邻域则称为的内点的内点属于如果点集的点都是内点，则称为开集第2页/共77页第三页，共78页。边界点：外点：如果(rgu)存在 U( P ) , 使得则称点P 为 E 的外点连通(lintng)集：连通(lintng)的开集称为开区域，简称区域第3页/共77页第四页，共78页。例如(lr)，xyo

2、例如(lr)，xyo第4页/共77页第五页，共78页。有界闭区域(qy)；无界开区域(qy)xyo例如(lr)，第5页/共77页第六页，共78页。（3）聚点I： 内点一定(ydng)是聚点；如果对于(duy)任意的 0 , 点 P 的去心邻域内总有 E 中的点，则称点 P 是点集 E 的聚点II： 在 内，总有 E 的无穷多个点；),( PUIII： 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0,0) 是聚点但不属于E第6页/共77页第七页，共78页。 E中任何(rnh)一点都是 E 的边界点，又如,xy E 中的任何(rnh)一点都是 E 的聚点。思考题：边界点是否(sh fu)一定是聚

3、点？反之，聚点是否(sh fu)一定是边界点？第7页/共77页第八页，共78页。（4）n 维空间当 n = 3 时，( x , y , z ) 表示空间(kngjin)中的一个点或向量表示(biosh)空间中的全体点或全体向量。因此(ync)，我们也称为中的一个点或一个 n 维向量。第8页/共77页第九页，共78页。因此，我们也称),(21nxxxx 为nR中的一个点或一个 n 维向量。定义线性运算(yn sun)如下：这样定义了线性运算的向量集合nR称为 n 维空间第9页/共77页第十页，共78页。称 ( x, y ) 为空间(kngjin)两点 x 和 y 之间的距离设中两点间的距离公式n

4、R中变元 x 的极限nR如果(rgu)则称变元 x 趋于固定(gdng)元 a , 记作第10页/共77页第十一页，共78页。类似地，内点、边界点、区域(qy)、聚点等概念也可定义中变元 x 的极限nR,),(),(2121nnnRaaaaxxxx 设设如果, 0| ax则称变元 x 趋于固定元 a , 记作, ax结论(jiln)：中邻域、区域等概念nR则称 中的点集nR为 中点 a 的 邻域。nR第11页/共77页第十二页，共78页。二、多元(du yun)函数的概念 f 称为对应(duyng)规则或函数，f ( x , y ) 称为 f 在点 ( x , y )处的函数值。函数值的全体所

5、构成的集合(jh)称为函数 f 的值域，记作函数与选用的记号无关，如则称 f 是 D 上的二元函数, 记为 第12页/共77页第十三页，共78页。类似地可定义三元及三元以上(yshng)函数 n 元函数(hnsh)通常记为或简记(jin j)为第13页/共77页第十四页，共78页。一元函数与多元函数的概念(ginin)比较 一 元函数(hnsh) y = f (x): 二元函数(hnsh) y = f (x, y): ,:RDf n 元函数,:RDf第14页/共77页第十五页，共78页。例1 求 的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解所求定义域为2yx 第15页/共77页第十

6、六页，共78页。二元函数 的图形),(yxfz （如下(rxi)页图）当 P ( x, y ) 取遍 D 上一切(yqi)点时, 得到空间点集第16页/共77页第十七页，共78页。二元函数的图形(txng)通常是一张曲面.第17页/共77页第十八页，共78页。xyzo例如(lr),单值分支:第18页/共77页第十九页，共78页。一元函数极限(jxin)回顾：如果在 的过程中，0 xx f (x) 无限接近(jijn)一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x) 当 时的极限，记为0 xx 二元函数的极限：如果在 的过程中),(),(00yxPyxP f (x, y ) 无限接近一个确定常数 A

7、 ，就称 A 是 f (x, y ) 当 时的极限，记为),(),(00yxPyxP第19页/共77页第二十页，共78页。都有第20页/共77页第二十一页，共78页。说明(shumng)：（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则(fz)与一元函数类似（1）定义中 的方式比 的方式复杂的多0PP 0 xx o 0 x第21页/共77页第二十二页，共78页。例2 求证(qizhng) 证当 时， 22)0()0(0yx原结论(jiln)成立第22页/共77页第二十三页，共78页。例3 求极限(jxin) 解其中(qzhng)yxu2 第23页/共

8、77页第二十四页，共78页。证例4 证明 不存在 26300limyxyxyx （2）取此时，仍不能确定极限是否(sh fu)存在（1） P ( x , y ) 沿 x 轴趋于 ( 0 , 0 )，此时(c sh) y = 0 , x 0 xyo第24页/共77页第二十五页，共78页。例4 证明(zhngmng) 不存在 证（3）取26300limyxyxyx 极限值随 k 的不同(b tn)而变化，故极限(jxin)不存在 xyo第25页/共77页第二十六页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)第26页/共77页第二十七页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)2630

9、0limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第27页/共77页第二十八页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第28页/共77页第二十九页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第29页/共77页第三十页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第30页/共77页第三十一页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第31页

10、/共77页第三十二页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第32页/共77页第三十三页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第33页/共77页第三十四页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第34页/共77页第三十五页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第35页/共77页第三十六页，共78页。不存在(cnzi).观察

11、(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第36页/共77页第三十七页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第37页/共77页第三十八页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第38页/共77页第三十九页，共78页。不存在(cnzi).观察(gunch)26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第39页/共77页第四十页，共78页。确定极限不存在的常用(chn yn)方法：第40页/共77页第四十一页，共78页。

12、求二元函数的极限(jxin)常用的方法：（1）用定义验证(ynzhng)其存在或不存在；（2）利用变量代换(di hun)转化为一元函数的极限，再用一元函数中已有的方法；（3）消去分子分母中极限为 0 的因子；（4）利用极限运算性质（与一元函数相似）；（5）利用函数的连续性；第41页/共77页第四十二页，共78页。解：例5：求极限(jxin)第42页/共77页第四十三页，共78页。解：例6：求极限(jxin)第43页/共77页第四十四页，共78页。解：例7：求极限(jxin)42lim00 yxyxyx第44页/共77页第四十五页，共78页。, 0, 0 第45页/共77页第四十六页，共78页

13、。一元函数连续性回顾(hug)：二元函数(hnsh)的连续性第46页/共77页第四十七页，共78页。 如果(rgu)函数 f ( x, y ) 在 D 的每一点都连续， 二元函数连续(linx)的三个要素则称函数(hnsh) f ( x, y ) 在 D 上连续，或者称 f ( x, y ) 是 D 上的连续函数。第47页/共77页第四十八页，共78页。 二元函数间断(jindun)的情形比一元函数要复杂的多因为(yn wi)当 f ( x , y ) 无定义(dngy)，所以在整个圆周 f ( x , y ) 间断。第48页/共77页第四十九页，共78页。例8 证明(zhngmng)函数在(

14、0,0)处连续(linx)解取xyo , 0 故函数(hnsh)在(0,0)处连续.第49页/共77页第五十页，共78页。例9 讨论(toln)函数在(0,0)的连续性解取其值随k的不同(b tn)而变化，极限(jxin)不存在故函数在(0,0)处不连续)0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx时时当当第50页/共77页第五十一页，共78页。定义(dngy)3 如果函数 f ( P ) 在 D 的每一点都连续(linx)，则称函数 f ( P ) 在 D 上连续(linx)，或者称 f ( P ) 是 D 上的连续(linx)函数。 n 元函数(hnsh)的连续性第51页/共77页第五十二

15、页，共78页。（2）多元初等(chdng)函数：由常数及不同自变量表达的一元基本初等(chdng)函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的多元函数叫多元初等(chdng)函数（3）一切多元初等(chdng)函数在其定义区域内是连续的定义区域(qy)是指包含在定义域内的区域(qy)或闭区域(qy)关于多元函数连续性的几点说明（1）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。 不同自变量表达的一元基本初等函数第52页/共77页第五十三页，共78页。（4）利用多元函数的连续性可以计算(j sun)在其连续点处的极限。例解第53页/共77页第五

16、十四页，共78页。闭区域(qy)上连续函数的性质 在有界闭区域(qy) D 上的多元连续函数，在 D 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理(dngl)（2）至少存在两点（1）存在正数 M ，使得对于任意的点 P D ，均有第54页/共77页第五十五页，共78页。（二）介值定理(dngl) 在有界闭区域 D 上连续的多元(du yun)函数 f ( P ) ，必取得介于最小值 m 和最大值 M 之间的任何值。即对任意(rny)的 c , m c M ,至少存在一点 P D ,使得：第55页/共77页第五十六页，共78页。多元(du yun)函数极限的概念多元

17、函数连续(linx)的概念闭区域(qy)上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）多元函数的定义第56页/共77页第五十七页，共78页。习题(xt)91: 4(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(1), 8 第八章作业(zuy)第一节：多元(du yun)函数的基本概念第57页/共77页第五十八页，共78页。答案：121(1),(2),0(3)6(4)4e第58页/共77页第五十九页，共78页。思考题第59页/共77页第六十页，共78页。思考题解答(jid)不能.例取但是 不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因为(yn wi)若取第60页/共77页第六十一页，共78页。练 习 题

18、第61页/共77页第六十二页，共78页。第62页/共77页第六十三页，共78页。第63页/共77页第六十四页，共78页。练习题答案(d n)第64页/共77页第六十五页，共78页。不存在(cnzi).观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第65页/共77页第六十六页，共78页。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在(cnzi).第66页/共77页第六十七页，共78页。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在(cnzi).第67页/共77页第六十八页，共78页。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在(cnzi).第68页/共77页第六十九页，共78页。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在(cnzi).第69页/共77页第七十页，共78页。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在(cnzi