经济学收益与风险学习教案

1、会计学1经济学收益经济学收益(shuy)与风险与风险第一页，共88页。第1页/共87页第二页，共88页。tr1tttPPRtPtttttRPPPr111第2页/共87页第三页，共88页。)(krt1)(kttktktttPPPPPkr)1 ()1)(1 ()(121ktrrrkr第3页/共87页第四页，共88页。tr tttttrrPPr)1ln(ln1第4页/共87页第五页，共88页。第5页/共87页第六页，共88页。),(2Nr第6页/共87页第七页，共88页。均值(jn zh)偏度( )E r方差(fn ch)3)(rE22)(rE4)(rEk峰度第7页/共87页第八页，共88页。第8页

2、/共87页第九页，共88页。),()1ln(2Nr第9页/共87页第十页，共88页。图图3-1 正态分布概率密度图正态分布概率密度图 图图3-2 对数对数(du sh)正态分布概率密度正态分布概率密度图图 第10页/共87页第十一页，共88页。均值(jn zh) 方差 偏度 峰度 22)( erE2222( )(1)D ree 632222234eeek)2(122see第11页/共87页第十二页，共88页。第12页/共87页第十三页，共88页。数列数列 算术平均算术平均 风险溢价风险溢价 标准差标准差 普通股普通股 13.0% 9.2% 20.3%小公司股小公司股 17.7 13.9 33.

3、9公司长期债券公司长期债券 6.1 2.3 8.7政府长期债券政府长期债券 5.6 1.8 9.2政府中期政府中期(zhngq)债券债券 5.4 1.6 5.7美国国库券美国国库券 3.8 3.2通货膨胀通货膨胀 3.2 4.5 第13页/共87页第十四页，共88页。图3-3 1926-1997各种( zhn)投资的年总收益率 普通股 小公司(n s)股公司(n s)长期债权 政府长期债权第14页/共87页第十五页，共88页。 政府中期(zhngq)债券 美国国库券 通货膨胀(tnghu pngzhng)容易见到，这些收益率序列分布的形状异于正态分布，尤其在尾部有很大的区别，人们称之为厚尾现象

4、，这是金融(jnrng)时间序列的特征之一。第15页/共87页第十六页，共88页。 三三 、 在多种不同资产在多种不同资产(zchn)的情况下，财富的总收益率。的情况下，财富的总收益率。 用用t表示时刻。表示时刻。=0， 1， ， T， 称为离散时间，称为离散时间， 如果取值实数区间如果取值实数区间0,t上的任意值，上的任意值， 称为连续时间，称为连续时间，t=0为期初，为期初，t=T 为期末。为期末。 设某投资者在设某投资者在 t 时刻的财富是时刻的财富是 ， 并分为并分为 n 种证券持有，种证券持有， 在时刻在时刻 t 第第 i种证券的持有量为种证券的持有量为 ，其价格为，其价格为 ， 则

5、在时刻则在时刻 t 有以下恒等式有以下恒等式: tW tXi ip t 1niiiW tp t Xt第16页/共87页第十七页，共88页。两边除以 ， 令 ，则 称为在时刻 t 在资产 i上的投资比重或权重(qun zhn)；如果 称资产 i为卖空。 离散时间下价格比 称为资产在时间的收益。显然，如果各资产的价格被确定，则收益率和收益一同被确定。 tW /iiixtptXtWt niitx11 txi 0txi /1iiip tp tR t第17页/共87页第十八页，共88页。 12,111211121iiiiiiiiiiiiip tp tp TR t Tp tp tp TR tR tR Tr

6、 tr tr T事实上：当 t=0时， 若未来的价格是 ， 则 ， 以后的收益(率)也是 。在连续时间下， 我们(w men)有收益(率)与价格关系：. r v. r v1t 第18页/共87页第十九页，共88页。经推导(tudo)，得到 ,TrditTrditiiip Tp t ep t Te ,Trditiiip TR t Tep t第19页/共87页第二十页，共88页。在t,T期间内， 资产的收益(shuy)率为 这时 是该资产到T时的增长率 表示从t到T的收益(shuy)。如果 是常数，则 ,Ttri ir ,Trditip t Te iirtr连续情形离散情形,1,tTrtTiiie

7、rTtR第20页/共87页第二十一页，共88页。若在期初t=0形成投资分配比率， 并实行(shxng)交易到任意时刻 ， 即对每个 i , 其中 是对资产的最初投资， 则是资产 i 的持有数量， 在时刻 t 资产 i 价值为0t iiiixWWxtx00, 0iW 0 /00/0iiiiWpWxp 00iiiiWxW tp tp第21页/共87页第二十二页，共88页。于是(ysh)，时刻 t 时的财富便为于是(ysh)其收益率为 1100nniiiiiixW tW tWp tp niiitrxWWtW100)(第22页/共87页第二十三页，共88页。可见总财富(cif)的收益率为各资产收益率按

8、投资数量比的加权平均值。这样，如果交易策略不变，则对于各资产收益率的概率分布，财富(cif)概率分布是确定的。 第23页/共87页第二十四页，共88页。 效用函数是消费者按照(nzho)自己的主观偏好来评价各种消费品满足程度的度量尺度。当选择的对象是确定的，偏好关系满足完备性、自反性、传递性和连续性时，则存在效用函数且消费者可以按照(nzho)效用最大化进行消费选择。第24页/共87页第二十五页，共88页。 当选择对象包括不确定因素情形时，我们称为随机消费，冯诺伊曼和莫根斯坦证明了如果投资者满足(mnz)一系列合理的一致性条件假设， 由期望效用函数的存在性即期望效用表示可得出不确定性条件下投资

9、者对随机消费情形下的最佳选择。第25页/共87页第二十六页，共88页。一、期望效用原理一、期望效用原理所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在(cnzi)一个效用函数一个效用函数 使得随机消费使得随机消费 优于随机消费优于随机消费 的充分必要条件为的充分必要条件为 ， 这里表示个体按不确定因素发生的概率计算的期望值。这里表示个体按不确定因素发生的概率计算的期望值。 uxy( ( )( ( )E u xE u y第26页/共87页第二十七页，共88页。设在同一决策问题中， 各备选策略一旦实施， 便可能(knng)出现多种结果，用 表示决策者

10、可能(knng)选择的各种策略对应的决策问题的全部可能(knng)后果， 分别表示选择某一策略 时后果 出现的概率，其中 。12,nccc12,npppa12,nccc11niip第27页/共87页第二十八页，共88页。1122,;,;,nnrc p cpcpa1c1p2c2pncnp第28页/共87页第二十九页，共88页。211221,rrrrrr122313,rr rrrr则 第29页/共87页第三十页，共88页。公理公理3 如果如果 当且仅当对当且仅当对 于任何于任何 （0a1）满足）满足 这条公理说明事态体这条公理说明事态体 和和 优先关系优先关系(gun x)取决于取决于 和和 的偏

11、好关系的偏好关系(gun x)。132311ara rara rRr 32121,rrRrr31,1 ;,rara32,1 ;,rara1r2r第30页/共87页第三十一页，共88页。3121raarr321321,rrrRrrr第31页/共87页第三十二页，共88页。定义定义3.2 称称R上的实值函数上的实值函数u为一效用函数，如果它满足为一效用函数，如果它满足(mnz)对于任意对于任意 ，当，当 时，时， 当当 时，时， 。(2) 如果如果Rrr21,21rr ,21ruru21 rr 21rurumiiiiamiaRr11, 1, 0, miiimiiiruarau11第32页/共87页

12、第三十三页，共88页。效用函数存在定理效用函数存在定理 在在R上偏好关系上偏好关系 如果满足如果满足(mnz)公理公理14， 则在则在R上存在效用函数上存在效用函数u， 它和它和 一致，并有除线性变换一致，并有除线性变换外还是惟一的。外还是惟一的。 设设 ，由于，由于 故故 如果记如果记则则 0abrauru,Rr nnCPCPCPr,;,;,2211 nnCPCPCPuru,;,;,2211niCCCCCrniiii, 1, 0 ;, 0 ;, 1 ;, 0 ;, 0111nnrPrPrPr2211第33页/共87页第三十四页，共88页。由效用函数的线性有：其中即以 概率(gil)1选择结果

13、的 期望效用。由于效用函数与决策者对R中各元素的偏好关系一致， 因此决策者必将选择一策略使后果的期望效用极大。 niiiniiiCuPrPuru11, 1, 1niCuCuiiniCi, 1第34页/共87页第三十五页，共88页。二、二、 一般的效用函数一般的效用函数每个递增每个递增(dzng)的、的、 凹效用函数意味着风险回避。然而，凹效用函数意味着风险回避。然而， 我们渴望效用函数具有一些好的性质，基于这个原因，我们渴望效用函数具有一些好的性质，基于这个原因， 下面介绍风险理论中常用的效用函数。下面介绍风险理论中常用的效用函数。第35页/共87页第三十六页，共88页。1. 二次效用函数二次

14、效用函数由下式给定(i dn)：显然 2WWU2,21 UWU第36页/共87页第三十七页，共88页。因为U的凹性， 所以必有0。注意到函数U是W的递增函数， 因此不应太大。记 是 的最大值，则应有 ，即有 。当满足这些(zhxi)约束时， 可以得到MWW021MW2/MW 0212 ffaWWUWUWA第37页/共87页第三十八页，共88页。2.对数(du sh)效用函数对数(du sh)效用函数由下式给出：要使函数有意义必有 。对于这个效用函数我们有因此是 财富的递减函数。记 ，则 也是非递减函数。 WUln0W )0(0/1WWU因为2/1 WU WAa/1 aRWAWA1RA第38页/

15、共87页第三十九页，共88页。3.幂函数幂函数的一般表达式为直接(zhji)有因为 ，所以效用函数是财富的递增函数。进一步， 有 WUsgn 1sgnWU 0sgn 21sgn WU第39页/共87页第四十页，共88页。于是风险(fngxin)回避意味着1；=1意味着风险(fngxin)中立。由上面的结果可以推出由上式可以看出如果，那么幂函数和对数函数具有相同的风险(fngxin)回避系数。 1/1RaAWWA第40页/共87页第四十一页，共88页。4.负指数函数这类函数可以写为U的符号没有什么特殊的意义(yy)。但是U的符号应该是正的。因为 , 所以只要 使 就可以保证这一点。经过计算得到：

16、 expUW WUexp0 aAWUexp2第41页/共87页第四十二页，共88页。有趣的是， 我们注意到前面介绍的所有效用函数可以归成一类， 称为(chn wi)“双曲绝对风险回避效用函数”。一般形式如下： （3.10）其中函数的定义域为使得括号中的值为正的那些 值，即 满足baWWU1101baWWW第42页/共87页第四十三页，共88页。对(3.10)式求导可得进一步， 有 22111 baWaWUbaWaWU baWaUUAa1/第43页/共87页第四十四页，共88页。注意到的分母是的线性函数。我们定义(dngy)称为风险忍耐限度， 则对于这类效用函数有它是 的线性函数。所以这类效用函

17、数也称为线性风险忍耐效用函数。aaAT/1abWATaa/1/1W第44页/共87页第四十五页，共88页。(3.10)所表达的函数形式包含了前面所讨论的所有效用函数。通过对参数a, b和的特殊(tsh)选择就可以表示不同的效用函数。见表3.1。第45页/共87页第四十六页，共88页。正因为这一优点，正因为这一优点， 它成为投它成为投资分析中最著名的有效准则之资分析中最著名的有效准则之一。一。第46页/共87页第四十七页，共88页。按照均值方差准则， 投资者的期望效用就是预期(yq)收益分布的平均值以及方差的函数。无论是哪一类投资者， 在风险相同的情况下， 总是偏好期望收益高的投资对象， 但在期

18、望收益一定时， 投资者的选择就依据对风险的偏好程度。第47页/共87页第四十八页，共88页。所以， 可以将均值方差准则定义为：对于证券1和2， 当且仅当时， 证券1优于证券2， 其中和分别为证券1和证券2的收益(shuy)， 它们都是随机变量。 2121varvarRRRERE第48页/共87页第四十九页，共88页。 2cRbRaRU0,0bca第49页/共87页第五十页，共88页。投资者的期望效用为而由于 ,故上式可以(ky)写成该式说明二次函数的期望效用可以(ky)表示为证券收益的均值 和证券收益的方差 的函数。 2RcERbEaRUE 222RERER 22RcREcRbEaRUE RE

19、2R第50页/共87页第五十一页，共88页。 20RE U Rc进一步由上述(shngsh)推导可得出以下结论 该式说明当方差增加而期望收益不发生变化时， 因其期望效用减少，投资者的状况会恶化。该式说明当方差不变而期望收益增加时， 投资者的状况会变好， 因为其期望效用增加了。 02RcEbRERUE第51页/共87页第五十二页，共88页。由于它对于投资者效用函数的设定过于严格， 特别是它不是在可能情况的全部区间上定义的， 所以极大地限制了其应用范围。更一般的均值方差模型可以表示为：其中 为参数，亦是风险厌恶因子，它反映了投资者对均值和方差的均衡，当决策者对低于 的收益减少特别敏感或者厌恶，可取

20、 ，这样给 赋以一个很大的权数，使获得(hud)高收益的机会减少，这表明投资者宁愿获得(hud)较低的收益也不愿意遭受损失。max ( )( )E RVar R, 0( )E R1( )Var R第52页/共87页第五十三页，共88页。W （W，P）第53页/共87页第五十四页，共88页。 WUEWU定义3.4 一般的风险测度(GRM)其中： =一般风险测度; =期望未来财富; =效用函数; =期望算子。 依赖于效用函数的形式以及期望未来财富和效用均值。可以证明(zhngmng)在特殊情形下有WUE 211WpUWUpWUE第54页/共87页第五十五页，共88页。定义定义3.5 如果如果 0，

21、则称投资者是风险，则称投资者是风险(fngxin)厌恶的；如厌恶的；如果果 =0，则称投资者是风险，则称投资者是风险(fngxin)中立的；如果中立的；如果 0，则称，则称投资者是风险投资者是风险(fngxin)偏好的。偏好的。定理定理3.1 下述事实成立：下述事实成立：(1) 0, 如果如果 是严格向下凹的；是严格向下凹的；(2) =0, 如果如果 是线性的；是线性的；(3) 0, 如果如果 是严格向下凸的。是严格向下凸的。 WU WU WU第55页/共87页第五十六页，共88页。第56页/共87页第五十七页，共88页。二、二、 确定性等价和风险补偿确定性等价和风险补偿定义定义3.6 给定风

22、险给定风险 ，它的确定性等价，它的确定性等价CE是一个确定量，它使得决策者认为得到确定的是一个确定量，它使得决策者认为得到确定的CE与取得风险结果与取得风险结果(ji gu)W的机会无差异。的机会无差异。定义定义3.7 对于风险对于风险 ，它的风险补偿，它的风险补偿为为风险补偿风险补偿是一个数量，是一个数量， 它能使得风险的效用均值必须变化到使得投资者认为与得到确定的它能使得风险的效用均值必须变化到使得投资者认为与得到确定的 的效用相同，这样由的效用相同，这样由的定义将导致的定义将导致依赖于效用函数形式，概率分布以及效用均值。依赖于效用函数形式，概率分布以及效用均值。PW,PW,CEW W W

23、UEWU第57页/共87页第五十八页，共88页。定理定理3.2 如果是如果是 严格单调递增严格单调递增(dzng)， 且函数且函数形式确定，形式确定， 则则(1) 且且 和和 是一对一的变换。是一对一的变换。(2) 作为对风险厌恶的测度，作为对风险厌恶的测度， 与与 是等同的。是等同的。定理定理3.3 如果效用函数是线性函数，则如果效用函数是线性函数，则GRM将将 变变成成 而而 是不变的。是不变的。 WU0Wdda第58页/共87页第五十九页，共88页。三、一般风险测度的级数展开三、一般风险测度的级数展开定理定理(dngl)3.4 如果效用函数如果效用函数 在附近能作在附近能作Taylor展

24、开，概率分布的展开，概率分布的K 阶中心矩阶中心矩 存在，则存在，则WkM( )2!kkkUWMk 第59页/共87页第六十页，共88页。四、四、 局部风险厌恶局部风险厌恶定义定义3.8 局部风险厌恶的局部风险厌恶的Pratt测度测度 为为Pratt通过展开通过展开 和和 对于对于(小方差小方差(fn ch)得到了得到了 于是于是 的展开式中仅保留第一项有的展开式中仅保留第一项有 Wr WUWUWr12()U WU 221Wr(3.16) 222WU第60页/共87页第六十一页，共88页。所以(suy) 比较(3.16)(3.17)有 212WrWU(3.17)()dU WdW边际效用（风险补

25、偿）第61页/共87页第六十二页，共88页。五、一般风险五、一般风险(fngxin)测度测度 的一些例子的一些例子第62页/共87页第六十三页，共88页。第63页/共87页第六十四页，共88页。 2,WgWUE如果 那么其中g是某个函数。这个事实已经频繁地用来认为方差可以作为组合风险的测度。事实上，由于期望效用能够(nnggu)根据均值和方差表示， 意味着风险可以用均值和方差函数去表示，也可仅表示为方差的函数。 2,WNW第64页/共87页第六十五页，共88页。 ,WfWUE六、两参数的效用函数六、两参数的效用函数定义定义3.9 两参数函数两参数函数(TPFR)是指期望效用的如下表示：是指期望

26、效用的如下表示： 其中其中(qzhng)是是 某个函数，某个函数， 是分布的均值，是分布的均值， 是某风险的测度。是某风险的测度。定义定义3.10 广义马柯维兹准则广义马柯维兹准则(GMC)是期望效用表达式是期望效用表达式其中其中(qzhng) 是一般风险测度。是一般风险测度。 fW WUWUE第65页/共87页第六十六页，共88页。 收益率作为随机变量， 在不同的客观状态下， 它将有不同的取值。假定我们能对客观状态发生的可能性亦即概率(gil)给予评估， 例如通过对状态的分析， 或通过主观概率(gil)试验法， 或通过对历史数据的处理，建立模型，预测出各种状态可能发生的概率(gil)，那么，

27、就可以通过随机变量的数学期望和方差描述出所持证券可能的预期收益率和收益率对预期收益率的可能偏离。如图3.4所示。第66页/共87页第六十七页，共88页。第67页/共87页第六十八页，共88页。设收益率 是随机变量，其取值为 ，相应(xingyng)的概率分布为 ，则称之为收益率的期望值，简称为预期收益。称之为收益率的方差。有时也记为rNrrr,21Nppp,21 1NiiiE rr p（3.20） 221NiiirrE rp 2r第68页/共87页第六十九页，共88页。称之为收益率的均方差或标准差。也可将其记为 。 均值与方差是随机变量的两个重要的数字特征(tzhng)。特别对某些具有确定概率

28、分布形式只含有均值和方差两个未知参数的随机变量，只要能估计出参数的取值， 则随机变量的统计规律便完全确定了。r 21NiiirrE rp第69页/共87页第七十页，共88页。均值和方差的两个具有良好的统计性质(xngzh)的估计量就是它们的样本均值 和样本方差 ,它们由下述公式给出。统计中的两种证券收益率之间的协方差， 可以用来描述两种证券收益率之间的相互关系。r2r211211,1NiiNirirrNrNr第70页/共87页第七十一页，共88页。设 分别(fnbi)为两种证券，的收益率， 则称为 与 的协方差。引进 与 的相关系数，记为 ，即 BArr ,cov,ABrrABAABBr rE

29、 rE rrE rArBrArBr,ABrr ,cov,ABABrrABr rrr第71页/共87页第七十二页，共88页。且 的充分必要条件是 与 存在线性关系。当 时，a，称为 与 完全正相关， 表示当受到相同因素变化的影响(yngxing)时， 证券与证券B的收益率发生相同方向、相应幅度的变化。当 时，a，称为 与 完全负相关，表示当受到相同因素变化的影响(yngxing)时， 证券与证券的收益率发生方向相反、相应幅度的变化。当 时，a，称为 与 完全无关，或零相关，表示当受到相同因素变化的影响(yngxing)时，证券A与证券B的收益率的变化方向和变化幅度没有任何确定的关系。,1ABrr

30、 ,1ABrr ,1ABrr ,0ABrr ArArArArBrBrBrBr第72页/共87页第七十三页，共88页。用样本的协方差和样本间的相关系数来估计 和 的关系。设 、 分别(fnbi)为 和 的样本， 则它们协方差和相关系数具有良好统计性质的估计量分别(fnbi)为ArArBrBrANAArrr,21BNBBrrr,21,111ABNrrAiABiBirrrrN 12211ABNAiABiBirrNNAiABiBiirrrrrrrr， 第73页/共87页第七十四页，共88页。第74页/共87页第七十五页，共88页。第75页/共87页第七十六页，共88页。我们考虑经济体系(tx)中的所有

31、风险资产。所谓市场投资组合， 是指包含了这个体系(tx)中的每一个单个风险资产， 以及它们的投资所占份额等于这种资产市场价值对所有风险资产总市场价值的比例。因此，市场投资组合与最终市场指数构成比例相同，所以可以用某一市场指数代表市场投资组合。证券市场模型就表示某种证券的收益率与市场指数收益率之间的关系模型。现在我们探讨存在于证券与市场投资组合之间的一种关系。第76页/共87页第七十七页，共88页。设证券 的收益率为 ，市场投资组合的收益率为 ，证券市场模型的一般形式(xngsh)可以表示为： 是随机误差项，表示证券 的收益率中没有被市场模型完全解释的部分； 是证券的收益率与市场指数收益率之间线

32、性关系的截距项； 是证券的收益率与市场指数收益率之间线性关系的斜率项； JJrMrJJJ MJrrJJJJ第77页/共87页第七十八页，共88页。设 是 的样本(yngbn)观测值 ， 样本(yngbn)观测值的散点图如图3.10所示。MtJtrr ,MJrr ,1,2,tN第78页/共87页第七十九页，共88页。 分布在最佳拟合线 附近，我们将这个最佳拟合线称为特征线。特征线指出了证券(zhngqun)的收益率与市场投资组合收益率之间的关系。记 估计 的误差(又称为残差)为可以用残差平方和 的大小去评价特征线的优劣。 MtJtrr ,MJJrMtJJJtrr Jtr JtrMtJJJtJtJtJtrrrrNtJt12第79页/共87页第八十页，共88页。显然，不同的 , 将给出不同的直线，而使达最小的,给出的直线，则为样本的