分类计数原理与分步计数原理精品课程

1、 大家知道目前建德市电话号码有几个数大家知道目前建德市电话号码有几个数字组成？它的前两个数字是什么？随着我字组成？它的前两个数字是什么？随着我市电讯事业的不断发展，在不久的将来我市电讯事业的不断发展，在不久的将来我市的电话号码就必须升位。这就给我们提市的电话号码就必须升位。这就给我们提出了这样的问题：目前我市最多能提供多出了这样的问题：目前我市最多能提供多少个不同的电话号码？少个不同的电话号码？ 新课引入：新课引入：问题问题1: 五一期间，某家庭自动旅游，欲从新五一期间，某家庭自动旅游，欲从新安江去上海，如果一天中火车有安江去上海，如果一天中火车有3班，汽车有班，汽车有2班班.那么一天中，乘坐

2、这些交通工具从那么一天中，乘坐这些交通工具从新安江新安江到上海共有多少种不同的走法？到上海共有多少种不同的走法？分析分析: 从新安江到上海有从新安江到上海有2类方法类方法, .乘火车，乘火车，3种方法种方法; .乘汽车，乘汽车，2种方法种方法; 所以所以 从新安江到上海共有从新安江到上海共有 3 + 2 = 5 种不同方法。种不同方法。新安江新安江上海上海火车火车1火车火车2火车火车 3汽车汽车1汽车汽车2 探究探究: :如果完成一件事有三类不同方案，在第如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有类方案中有 M1 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方案中类方案中有有M2种不同的方法，

3、在第种不同的方法，在第3类方案中有类方案中有M3种不同种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？呢？12nNmmm 一般地一般地,若完成一件事，有若完成一件事，有 类办法，在第类办法，在第1类办法中有类办法中有 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法中类办法中有有 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第 类办法中有类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完

4、成这件事共有：1m2mnnmn种不同的方法种不同的方法1.高二（高二（14）班有男生）班有男生29人，女生人，女生20人，人，从中选从中选1位同学当数学课代表，则有位同学当数学课代表，则有种不同的选法。种不同的选法。2.某书架的第一层有某书架的第一层有7本书，第二层有本书，第二层有8本本书，从中任取书，从中任取1本，共有本，共有种不同的取种不同的取法。法。基础练习：基础练习：1)首先要根据具体的问题确定一个分类首先要根据具体的问题确定一个分类 标准，在分类标准下进行分类，然后对标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数每类方法计数.2)各类办法之间相互独立各类办法之间相互独立,都能独立的都

5、能独立的 完成这件事完成这件事,要计算方法种数要计算方法种数,只需将只需将 各类方法数相加各类方法数相加,又称又称加法原理加法原理 问题问题2: 后来听说杭州风光别具一格，于是改变行后来听说杭州风光别具一格，于是改变行程，要从新安江先乘火车到杭州程，要从新安江先乘火车到杭州,再于次日从杭州再于次日从杭州乘汽车到上海，一天中，火车有乘汽车到上海，一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班班，那么两天中，从新安江经杭州到上海共有多少，那么两天中，从新安江经杭州到上海共有多少种不同的走法？种不同的走法？第二步第二步, 由杭州去上海有由杭州去上海有2种方法种方法 分析分析: 从新安江经杭州去上海有从新安

6、江经杭州去上海有2步步, 第一步第一步, 由新安江去杭州有由新安江去杭州有3种方法种方法,所以所以 从新安江经杭州到上海共有从新安江经杭州到上海共有3 2 = 6 种不同的方法。种不同的方法。汽车汽车2杭州新安新安江江上海上海汽车汽车1火车火车1火车火车 3火车火车2如果完成一件事情需要如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步中都有若个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？干种不同方法，那么应当如何计数呢？探究 ：如果完成一件事需要两个步骤，做第如果完成一件事需要两个步骤，做第1步步 有有 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有 种不同的方法，种不同的方法，那么完成

7、这件事共有多少种不同的方法？那么完成这件事共有多少种不同的方法？12nNmmm一般地，若完成一件事，需要分成一般地，若完成一件事，需要分成 类步类步骤，做第骤，做第1步有步有 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第 步有步有 种不同的方种不同的方法，那么完成这件事共有法，那么完成这件事共有：1m2mnnmn种不同的方法种不同的方法.1.高二（高二（14）班有男生）班有男生29人，女生人，女生20人，人，从中选从中选2位同学当语文、数学课代表，则位同学当语文、数学课代表，则有有种不同的选法。种不同的选法。2.某书架的第一层有某书架的第一层有7本书，

8、第二层有本书，第二层有8本本书，从每层中各取书，从每层中各取1本，共有本，共有种不同种不同的取法。的取法。基础练习：基础练习：1）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数标准，然后对每步方法计数.2）各个步骤相互依存各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才算完成这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数,又称又称乘法原理乘法原理 明确区别，突出重点明确区别，突出重点 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层

9、放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不本不同的体育书同的体育书（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有本书，有多少种不同的取法？多少种不同的取法？(3)从书架上取从书架上取2本不同学科的书本不同学科的书,有多少种不有多少种不同的取法同的取法?（1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同本书，有多少种不同的取法？的取法？解解: (1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有有3类办法类办法:根据分类计数原理根据分类计数原理,不同取法的种数是不同取法的种数是 N =4+3+2=9.答答:从书架上任取从书架上任取1本书本书,有有9种不同的取法种

10、不同的取法.第第3类办法是从第类办法是从第3层取层取1本体育书本体育书,第第2类办法是从第类办法是从第2层取层取1本文艺书本文艺书,第第1类办法从第类办法从第1层取层取1本计算机书本计算机书, 有有4种方法种方法;有有3种方法种方法;有有2种方法种方法. 解：解：(2) 从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,可以可以分成分成3个步骤完成个步骤完成:答答:从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有有24种不同的取法种不同的取法.根据分步计数原理根据分步计数原理,从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,不同取法的种数是不同取法的种数是N=432=24.有

11、有2种方法种方法.第第3步从第步从第3层取层取1本体育书本体育书,第第2步从第步从第2层取层取1本文艺书本文艺书,有有3种方法种方法;第第1步从第步从第1层取层取1本计算机书本计算机书,有有4种方法种方法;解：需先分类再分步解：需先分类再分步.根据两个基本原根据两个基本原理理,不同的取法总数是不同的取法总数是 N=43+32+24=26答答: 从书架上取从书架上取2本不同种的书本不同种的书,有有26种不同的取法种不同的取法.（3）从书架上取）从书架上取2本不同种的书本不同种的书,有多少种不同有多少种不同的取法的取法?练习练习:书本第书本第6页练习题。页练习题。联系实际举出两个关于分类计数原理与

12、分步计数联系实际举出两个关于分类计数原理与分步计数原理例子并解答原理例子并解答 分类法：相互独立，每种方法均能分类法：相互独立，每种方法均能 独立完成这件事独立完成这件事 分步法：各步骤中的方法相互依存，只有分步法：各步骤中的方法相互依存，只有 各个步骤都完成才算完成这件事各个步骤都完成才算完成这件事：都要有一个确定的标准：都要有一个确定的标准, 分类时要彻底分类时要彻底, 无交叉无交叉, 分步时要恰到好处。分步时要恰到好处。:都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。在幸运在幸运52中有种游戏，其中的一个环节是在给中有种游戏，其中的一个环节是在给出的

13、出的6道题中两位选手各自为对方选不同的一道题中两位选手各自为对方选不同的一道题，则不同的结果会有多少种？道题，则不同的结果会有多少种？为了对某农作物新品选择最佳生产条件为了对某农作物新品选择最佳生产条件,在分别在分别有有3种不同土质种不同土质,2种不同施肥量种不同施肥量,4种不同种植密种不同种植密度度,3种不同时间的因素下进行种植试验种不同时间的因素下进行种植试验,则不同则不同的实验方案共有的实验方案共有_种种?72N= 4 + 7 =11N=52 7 =70N=55 5=125N=33 3 3=81甲地甲地丙地丙地丁地丁地乙地乙地N1=23=6N2=42=8N= N1+N2 =14甲地甲地丙

14、地丙地丁地丁地乙地乙地N1=23=6N2=42=8N= N1+N2 =14作业本第作业本第2页第页第10、11题。题。 例例2.目前我市电话号码有八个数字组成，它目前我市电话号码有八个数字组成，它的前两个数字是的前两个数字是6、4，随着我市电讯事业的不，随着我市电讯事业的不断发展，在不久的将来我市的电话号码就必须升断发展，在不久的将来我市的电话号码就必须升位。这就给我们提出了这样的问题：目前我市最位。这就给我们提出了这样的问题：目前我市最多能提供多少个不同的电话号码？多能提供多少个不同的电话号码？ 变式：变式：若要求最后若要求最后6个数字不重复个数字不重复,则又有则又有多少种不同的电话号码多少

15、种不同的电话号码?1098765=151200=1060571-64101010 101010例例1.有数字有数字 0，1，2，3，4可以组成多少可以组成多少个三位数？个三位数？（数字允许重复）（数字允许重复）百位百位数字数字十位十位数字数字个位个位数字数字 用数字用数字1，2，3，4，5组成没有重复组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个？数字的三位数，其中偶数有多少个？练习：练习： 例例2.如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域分别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必

16、须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？综合应用，探索研究（综合应用，探索研究（染色问题染色问题） 1 .如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但但相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少不同的涂色方案有多少种？种？解解: 按地图按地图A、B、C、D四个四个区域依次分四步完成区域依次分四步完成,所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方得到不同的涂色方案种数共有案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。种

17、。第四步第四步, m4 = 1 种种,第三步第三步, m3 = 1 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种,第一步第一步, m1 = 3 种种, 引申引申1:1:如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域分别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？问问: 若用若用2色、色、4色、色、5色等色等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？ 答答:它们的涂色方案它们的涂色方案 种数分别是种数分别是 0, 4322 = 48, 543

18、3 = 180 种。种。如图一如图一,要给要给,四块区域分别涂上四块区域分别涂上五种颜色中的某一种五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用允许同一种颜色使用多次多次,但相邻区域必须涂不同颜色但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂则不同涂色方法种数为多少色方法种数为多少?5434=240种种,5444=320种种180种种,例例3.已知集合已知集合A=a,b,c,d,eB=0,1,2,则则从从A到到B的映射一共有多少个？的映射一共有多少个？一般的，设一般的，设A，B是两个集合，如果按照对应是两个集合，如果按照对应法则法则 f，对集合，对集合A中的任何一个元素在集合中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元

19、素和它对应，则这样的对应中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（A，B，f ）叫做从）叫做从A到到B的映射的映射练习：已知集合练习：已知集合A=a,b,c,d,eB=0,1,2,则从则从B到到A的映射一共有多少个？的映射一共有多少个？一般的，设一般的，设A，B是两个集合，如果按照对应是两个集合，如果按照对应法则法则 f，对集合，对集合A中的任何一个元素在集合中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（A，B，f ）叫做从）叫做从A到到B的映射的映射思考：三封不同的信投入思考：三封不同的信投入4个不同的邮箱，个不同的邮箱，有多少种不同的投法？有多少种不同的投法？一般的，设一般的，设A，B是两个集合，如果按照对应是两个集合，如果按照对应法则法则 f，对集合，对集合A中的任何一个元素在集合中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（A，B，f ）叫做从）叫做从A到到B的映射的映射 引申引申: :研究性课题研究性课题 观察中国地图的颜色，发现共有五种不同的颜色，相观察中国地图的颜色，发现