现代电路分析第六章

1、第六章第六章 动态非线性电路的定性、定量方法动态非线性电路的定性、定量方法6-4 非线性方程线性化及平衡点类型非线性方程线性化及平衡点类型6-3 相空间、轨道、平衡点相空间、轨道、平衡点6-2 一阶非线性电路一阶非线性电路6-5 李雅普诺夫直接法李雅普诺夫直接法6-6 周期解与极限环周期解与极限环6-7 摄动法摄动法6-8 平均法平均法6-9 谐波平衡法谐波平衡法用一阶非线性微分方程描述的电路称为用一阶非线性微分方程描述的电路称为一阶一阶段非线性电路段非线性电路。一阶非线性的方程可用状态方程的形式描述一阶非线性的方程可用状态方程的形式描述6-2 一阶非线性电路一阶非线性电路d( , )dxf

2、x tt状态变量：电容状态变量：电容电压或电感电流电压或电感电流一阶非线性电路一阶非线性电路非动态元件为非线性非动态元件为非线性动态元件为非线性动态元件为非线性两者均为非线性两者均为非线性6-2 一阶非线性电路一阶非线性电路一、一、 只含非线性电阻的一阶动态电路只含非线性电阻的一阶动态电路(b)Nv+_LiNv+_(a)Ci非线性一阶电路解题思路：解题思路：将一端口将一端口N的驱动点特性用分段线的驱动点特性用分段线性化表示，则性化表示，则DP图中的每段折线都可用戴维图中的每段折线都可用戴维宁（诺顿）模型表示，从而每一段折线可形宁（诺顿）模型表示，从而每一段折线可形成成一个等效的线性一阶电路一个

3、等效的线性一阶电路。二、二、 动态元件为非线性的一阶电路动态元件为非线性的一阶电路6-2 一阶非线性电路一阶非线性电路动态元件特性的分段线性化动态元件特性的分段线性化1ccskkvqVC电容：电容：1LLskkiIL电感：电感：v+_(a)Civ+_Civs+_(b)v+_Liv+_LkiIs6-3 相空间、轨道、平衡点相空间、轨道、平衡点一、基本概念一、基本概念1 自治系统和非自治系统自治系统和非自治系统一般形式的状态方程为一般形式的状态方程为若系统是时不变的，且激励也不随若系统是时不变的，且激励也不随t变化，上述方变化，上述方程中的程中的t不以显含形式出现，即不以显含形式出现，即12d(,

4、., )diinxfxxxtt（6-3）12d(,.)diinxfxxxt（6-4）描述的系统描述的系统为为自治系统自治系统描述的系统为描述的系统为非自治系统非自治系统6-3 相空间、轨道、平衡点相空间、轨道、平衡点一、基本概念一、基本概念2 相空间、轨道、相图相空间、轨道、相图n维状态向量组成了维状态向量组成了n维空间称为维空间称为相空间。相空间。式式6-3或或6-4的解的解xi(t)在空间随在空间随t运动，当运动，当t为某一确为某一确定值时，它是相空间的一个点定值时，它是相空间的一个点相点相点（对应（对应n个坐标个坐标 x1, x2xn），当），当t变化时，它是相空间的变化时，它是相空间的

5、一条有向曲线，称为一条有向曲线，称为轨道轨道。相空间与向量相空间与向量x在空间中的轨道总称为在空间中的轨道总称为相图相图。6-3 相空间、轨道、平衡点相空间、轨道、平衡点一、基本概念一、基本概念3 自治系统具有时不变性自治系统具有时不变性右端不显含右端不显含t，具有时不变性。，具有时不变性。轨道取决于初始位置轨道取决于初始位置x0，而与，而与初始时刻初始时刻t0无关。无关。12d(,., )diinxfxxxtt（6-3）12d(,.)diinxfxxxt（6-4）相空间中由不同初值相空间中由不同初值决定的式决定的式6-4的轨道永的轨道永不相交或就是同一条不相交或就是同一条轨道。轨道。对对6-

6、3式可能无数条轨道式可能无数条轨道通过相空间的同一点。通过相空间的同一点。6-3 相空间、轨道、平衡点相空间、轨道、平衡点二、二阶自治系统、平衡点二、二阶自治系统、平衡点二阶自治系统二阶自治系统只含只含两个两个状态变量，因此相空间是状态变量，因此相空间是二维的，可在一个平面上进行分析研究，称为二维的，可在一个平面上进行分析研究，称为状状态平面态平面或或相平面相平面。二阶自治系统的状态方程为：二阶自治系统的状态方程为：x=X(x,y)y=Y(x,y)或或d( , )d( , )yY x yxX x y二阶自治系统使二阶自治系统使X(x,y)=0、Y(x,y)=0的坐标点称为的坐标点称为平衡点平衡

7、点。 由于由于X(x,y）、Y(x,y) 为非线性函数，可存为非线性函数，可存在多个平衡点在多个平衡点6-3 相空间、轨道、平衡点相空间、轨道、平衡点二、二阶自治系统、平衡点二、二阶自治系统、平衡点图图6-8 L,C串联电路串联电路设线性电感设线性电感L与非线性电容串与非线性电容串联的二阶非线性电路如图联的二阶非线性电路如图6-8所示，其中非线性电容的库所示，其中非线性电容的库伏特性为伏特性为v=kq+q3。试确定。试确定k=1和和k=-1时电路的相图和平时电路的相图和平衡点。衡点。列写状态方程：列写状态方程：ddqtL 3d dkqqxOqk=1时的相图时的相图k=-1时的相图时的相图k=1

8、和和k=-1时的相图如下图所示：时的相图如下图所示：6-3 相空间、轨道、平衡点相空间、轨道、平衡点6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型非线性电路方程的线性化及其平衡点类型非线性方程的线性化方法非线性方程的线性化方法就是把给就是把给定的非线性方程在其平衡点或奇点定的非线性方程在其平衡点或奇点附近予以线性化，而用所得线性方附近予以线性化，而用所得线性方程确定非线性方程的轨道的形状。程确定非线性方程的轨道的形状。一、非线性方程的线性化一、非线性方程的线性化对角型对角型若当型若当型共轭型共轭型6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型非线性电路方程的线性化及其平衡点类型二、线性方程解的形式

9、取决于平衡点的类型二、线性方程解的形式取决于平衡点的类型11200M AM110M AM1M AMA的特征值的特征值平衡点类型平衡点类型1 ， 2为实数，为实数， 10, 20, 20不稳定结点不稳定结点1 ， 2为实数，为实数， 120不稳定焦点不稳定焦点1 ， 2为共轭复数，为共轭复数，Re 10,存在存在()0,使得对任何起使得对任何起始点始点x0=x(t0),只要距离只要距离|x(t0)-xs |,且对所有的且对所有的t都都有有|x(t)-xs |0，则原点，则原点是是不稳定平衡点不稳定平衡点。6-6 周期解与极限环周期解与极限环一、基本概念一、基本概念1 周期解周期解线性线性二阶自治

10、系统当系数矩阵特征值为二阶自治系统当系数矩阵特征值为纯虚数纯虚数时，电路中可能建立并维持特定周期的周期震时，电路中可能建立并维持特定周期的周期震荡。当电路的初始值连续变化时，在相平面上荡。当电路的初始值连续变化时，在相平面上将形成一系列不同的闭合轨道，它们对应电路将形成一系列不同的闭合轨道，它们对应电路的的周期解周期解。6-6 周期解与极限环周期解与极限环一、基本概念一、基本概念2 极限环极限环对于某些对于某些非线性非线性电路，其中会建立起一种稳定电路，其中会建立起一种稳定状态，它在相平面上的轨道是闭合曲线，但该状态，它在相平面上的轨道是闭合曲线，但该闭合轨道闭合轨道不随电路的初始值变化不随电

11、路的初始值变化，与它相邻的，与它相邻的各轨道，或者卷向它，或者卷出。这种各轨道，或者卷向它，或者卷出。这种孤立的孤立的闭合轨道对应电路的周期振荡解，称为极限环闭合轨道对应电路的周期振荡解，称为极限环。6-6 周期解与极限环周期解与极限环1 单一极限环的稳定性单一极限环的稳定性稳定的极限环稳定的极限环对应电路中的对应电路中的持续周期振荡持续周期振荡二、极限环的性质二、极限环的性质6-6 周期解与极限环周期解与极限环半稳定的极限环半稳定的极限环二、极限环的性质二、极限环的性质1 单一极限环的稳定性单一极限环的稳定性6-6 周期解与极限环周期解与极限环二、极限环的性质二、极限环的性质对应电路中不能持

12、对应电路中不能持续存在的周期振荡续存在的周期振荡不稳定的极限环不稳定的极限环1 单一极限环的稳定性单一极限环的稳定性6-6 周期解与极限环周期解与极限环二、极限环的性质二、极限环的性质2 多个极限环的稳定性多个极限环的稳定性当有多个极限环，一般是当有多个极限环，一般是稳定与不稳定与不稳定交替出现稳定交替出现：若环内是一不稳定：若环内是一不稳定平衡点，最内部环是稳定的，否则平衡点，最内部环是稳定的，否则是不稳定的。是不稳定的。6-6 周期解与极限环周期解与极限环二、极限环的性质二、极限环的性质2 多个极限环的稳定性多个极限环的稳定性不稳定平衡点不稳定平衡点稳定平衡点稳定平衡点C2:稳定稳定C1:

13、不稳定不稳定C2:不稳定不稳定C3:不稳定不稳定C1:稳定稳定C3:稳定稳定6-6 周期解与极限环周期解与极限环二、极限环的性质二、极限环的性质3 软激励软激励软激励的相图软激励的相图无论初始值怎样选取，在无论初始值怎样选取，在电路中都会建立起稳定的电路中都会建立起稳定的周期振荡，振荡现象自发周期振荡，振荡现象自发地从静止起始而达到其稳地从静止起始而达到其稳定状态，把这种振荡现象定状态，把这种振荡现象称为称为软（自）激励软（自）激励。6-6 周期解与极限环周期解与极限环二、极限环的性质二、极限环的性质4 硬激励硬激励稳定平衡点稳定平衡点如果电路是一个晶体管振如果电路是一个晶体管振荡器，在一定条

14、件下当开荡器，在一定条件下当开关闭和后，必须施加一定关闭和后，必须施加一定大小的脉冲振荡器才能起大小的脉冲振荡器才能起振。这种现象称为振。这种现象称为硬（自）硬（自）激励激励。6-6 周期解与极限环周期解与极限环三、极限环存在的必要条件三、极限环存在的必要条件1 庞加莱指数的概念庞加莱指数的概念假设向量场中有一简单闭曲线假设向量场中有一简单闭曲线C，且，且C上无平衡点。如果点上无平衡点。如果点P沿沿C正转（顺时针）一圈，向正转（顺时针）一圈，向量场量场V与某固定方向的夹角的与某固定方向的夹角的改变量为改变量为2I(I为正负整数为正负整数)，则称则称I为闭曲线为闭曲线C的的庞加莱指数庞加莱指数。

15、若若C内只包含一个平衡点，则内只包含一个平衡点，则闭曲线闭曲线C的指数的指数I称为该称为该平衡点平衡点的指数的指数。图图6-23 庞加莱指数庞加莱指数三、极限环存在的必要条件三、极限环存在的必要条件1 庞加莱指数的概念庞加莱指数的概念6-6 周期解与极限环周期解与极限环（a）中心）中心 j=+1（b）焦点）焦点 j=+1三、极限环存在的必要条件三、极限环存在的必要条件1 庞加莱指数的概念庞加莱指数的概念6-6 周期解与极限环周期解与极限环（d）鞍点）鞍点 j=-1（c）结点）结点 j=+16-6 周期解与极限环周期解与极限环三、极限环存在的必要条件三、极限环存在的必要条件2 庞加莱定理庞加莱定

16、理如果如果极限环存在极限环存在，则内部至少有一个平衡，则内部至少有一个平衡点；如果没有平衡点，则一定不存在极限点；如果没有平衡点，则一定不存在极限环；如果只有一个平衡点，且指数不为环；如果只有一个平衡点，且指数不为+1，则不存在极限环；如果只有一个指数为则不存在极限环；如果只有一个指数为+1的平衡点，且平面上每条轨线多趋向于它，的平衡点，且平面上每条轨线多趋向于它，则极限环也不存在。则极限环也不存在。6-6 周期解与极限环周期解与极限环三、极限环存在的必要条件三、极限环存在的必要条件3 Bendixson定理定理当在相平面的一个单连通区域当在相平面的一个单连通区域D内表达式不内表达式不变号，或

17、不恒等于零时，在变号，或不恒等于零时，在D内将不存在闭内将不存在闭合轨道。合轨道。设给定一组微分方程：设给定一组微分方程：x=X(x, y)y=Y(x, y)6-7 摄动法摄动法一、引言一、引言共四种形式共四种形式6-7 摄动法摄动法一、引言一、引言1 弱非线性电路弱非线性电路11d( , , )( , , )dxF x y tr x y tt22dy( , , )( , , )dF x y tr x y tt6-17式中式中F1，F2为非线性函数，为非线性函数，r1，r2为非为非线性函数。当式中线性函数。当式中1时，此电路就称时，此电路就称为为若非线性电路若非线性电路，否则称为，否则称为强非

18、线性电强非线性电路路。保守电路：保守电路：其产生的振荡受初其产生的振荡受初始值的影响，而振始值的影响，而振荡的振幅和周期可荡的振幅和周期可以是任意的，它属以是任意的，它属于于非等时振荡非等时振荡自治非线性电路自治非线性电路非保守电路：非保守电路：可可能存在一种与初始能存在一种与初始值无关的稳定振荡值无关的稳定振荡，这种，这种振荡有确定振荡有确定的振幅和周期的振幅和周期，是，是近似解析方法求解近似解析方法求解的对象的对象6-7 摄动法摄动法一、引言一、引言2 保守电路和非保守电路保守电路和非保守电路6-7 摄动法摄动法二、正规摄动法二、正规摄动法正规摄动法正规摄动法是将电路的解是将电路的解x展开为小参数展开为小参数的幂级数。的幂级数。即即 x=x0+ x1+ 2x2+ (6-24)其中其中x0, x1, x2,分别称为分别称为x的零次、一次、二次、的零次、一次、二