2-2随机变量及其分布律ppt课件

1、主要内容主要内容1.5学时）学时）一、离散型随机变量的分布律；一、离散型随机变量的分布律；二、连续型随机变量及其概率密度二、连续型随机变量及其概率密度 ;三、分布函数三、分布函数 第二节第二节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律kkX(k1,2,.,), (k1,2,.,), xp k k设设 为为离离散散型型随随机机变变量量, , 则则X X的的及及取取各各个个可可能能所所有有可可能能取取值值P P X X= =值值的的概概率率称称为为离离散散x x型型X X的的分分布布律律. .k; b.(1) .=pk kk k两两个个a a.

2、 .所所有有可可能能取取值值x x取取各各值值的的概概率率P P X X= =x x要要素素: : 阐明：阐明：kkkk=1a. p0 (k=1,2,.) (2) p b. : p 1 满满足足两两个个条条件件k(3) : p (k=1,2,.).k k分分布布律律表表示示方方法法 a a. . ( (列列出出所所有有可可能能取取值值x x 及及其其概概率率列列举举法法kbp(k=1,2,.).k k. . ( (列列出出X X取取一一般般项项x x 的的概概率率计计算算公公式式公公式式法法X kp12kx x . x . 12kp p . p . k (k1,2,.p,) k kP P X

3、X= =x xc. . 线线条条图图，概概图图示示法法率率直直方方图图例例1 1( (P P3 33 3) ) 一一批批产产品品的的废废品品率率为为5 5% %，从从中中任任意意抽抽取取一一个个进进行行检检验验，用用随随即即变变量量 来来描描述述废废品品出出现现的的情情况况。写写出出 的的分分布布。 解解: : 随随机机变变量量X X取取值值范范围围0 0, ,1 1. .= =0 0表表示示产产品品为为不不合合格格品品= =1 1表表示示产产品品为为合合格格品品 对对应应的的概概率率值值01 P P( () )= =9 95 5% %P P( () )= =5 5% % 0 1P 95% 5

4、% 0-1分布伯努里分布）分布伯努里分布） 随机变量随机变量X取值两个：取值两个：0、1，P(X=1)=p，则分布律为：，则分布律为：X 0 1P(X=k) 1-p p列表法：列表法：公式法：公式法：1(1) (k=0,1)kkP Xkpp举例：举例：（1 1随机抽取医院一产婴是否为男婴。随机抽取医院一产婴是否为男婴。（2 2工厂随机抽取一产品是否合格。工厂随机抽取一产品是否合格。（3 3掷骰子一次是否出现掷骰子一次是否出现6 6点。点。110 ee,6)X=X(e)=1 ee, 6) ( (女女婴婴, ,不不合合格格 非非 点点 ( (男男婴婴, ,合合格格点点二项分布二项分布（1 1n n

5、重伯努里试验：重伯努里试验：A A, , A A随随机机试试验验 的的结结果果只只有有两两个个: : , , 则则称称试试验验E E为为伯伯努努里里试试验验. .E地地进进行行n n次次伯伯努努里里试试n n独独立立重重复复重重伯伯努努验验E, E, 里里试试验验. .X X为为n n次次试试验验中中A A发发生生的的次次数数中中, , 每每次次试试验验中中事事件件A A发发生生的的概概率率, , 记记, , 则则X X所所服服从从的的分分布布称称为为二二项项分分布布. .表表示示n n重重伯伯努努里里试试验验P P( (A A) )= =p pX Xb b( (为为: : n n, ,p p

6、) )（2 2二项分布二项分布 例例 设射手每次击中目标的概率设射手每次击中目标的概率p=0.75, 且各次射击相互独立。且各次射击相互独立。现共射击现共射击4次，以次，以X表示击中目标的次数。（表示击中目标的次数。（1写出写出X的分布律；的分布律；（2求恰击中求恰击中3次的概率；（次的概率；（3求至少击中求至少击中2次的概率。次的概率。4410 750 250 1 2 3 4( ) ()( .) ( .) (, , , , )kkkPXkCk 334 34230 750 25( ) ()( .) ( .)=0.422PXC X X的的可可能能取取值值有有: :0 0, ,1 1, ,2 2,

7、 ,3 3, ,4 4. .X Xb b( (2 2, , 显显然然, , 0 0. .7 75 5) ): , .A 解解定定义义击击中中目目标标伯伯努努利利试试验验3212( ) ()()P XP X 101()()PXPX 4114 1410 250 750 25( .)( .) ( .)=0.949C 例例 某人每次射击命中率为某人每次射击命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，试求至次，试求至少击中两次的概率。少击中两次的概率。解解: 400重独立重复试验。设重独立重复试验。设X表示表示400次射击中的击中次数次射击中的击中次数显然显然, X b (400, 0.02)4004

8、000 020 98()( .) ( .) k=0,1,2,.,400 kkkP XkC4004000 020 98( .) ( .) 4 40 00 0k k= =2 2所所求求概概率率为为: : P P( (X X2 2) )= =kkkC01 1 1- -P P( (X X) )- -P P( (P P2 2) )= =X X( (X X) )40039910 98400 0 02 0 980 997.* .* . 启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生例例4 4( (P P3 35 5) ) 社社会会上上定定期期

9、发发行行某某种种奖奖券券，每每券券1 1元元，中中奖奖率率为为p p。某某人人每每次次购购买买1 1张张奖奖券券，如如果果没没有有中中奖奖下下次次再再继继续续购购买买一一张张，直直到到中中奖奖为为止止。求求该该人人购购买买次次数数 的的分分布布。 1(1).(1) 解解: : = =1 1表表示示第第一一次次购购买买奖奖券券中中奖奖 P P( ( = =1 1) )= =2 2表表示示第第二二次次购购买买奖奖券券中中奖奖 P P( ( = =2 2) )= =i i表表示示第第i i次次购购买买奖奖券券中中奖奖 P P( ( = =i i) )ipp ppp 几何分布几何分布X X为为事事件件

10、A A首首次次发发生生时时已已试试验验的的次次数数伯伯努努里里试试验验中中, , 事事件件A A发发生生的的概概率率P P( (A A) )= =p p. . 记记, , 则则X X服服从从几几何何分分X X布布. . G G记记作作: : e e( (p p) )特点：特点：kk-1-1=P(A.A A) =P(A).PPX=k(1-p)p(A)= 1,2,. k(1)(1)某产品不合格率某产品不合格率0.10.1，则首次查到不合格品的检查次数，则首次查到不合格品的检查次数XGe(0.1).XGe(0.1).即前即前m m次试验中次试验中A A没有出现条件下，则在接下来没有出现条件下，则在接

11、下来n n次试验中次试验中A A仍仍未出现的概率只与未出现的概率只与n n有关，而以前的有关，而以前的m m次试验无关次试验无关. .: XGe(p), m,nN, P(Xm +n|Xm)= P(Xn) 设设则则对对任任忆忆意意无无记记性性成成立立分布律：分布律：举例：举例：(2)(2)某射手命中率为某射手命中率为0.60.6，则首次击中目标的射击次数，则首次击中目标的射击次数YGe(0.6).YGe(0.6).(3)(3)同时掷两骰子，则点数之和首次为同时掷两骰子，则点数之和首次为8 8点的投掷数点的投掷数ZGe(5/36).ZGe(5/36).超几何分布超几何分布 X X为为其其中中的的次

12、次品品数数设设N N个个产产品品中中有有M M个个次次品品, , 从从中中不不放放回回地地随随机机任任取取n n个个, ,设设. .则则称称X X服服从从超超几几何何分分布布. .记记作作: : X X( (n n, ,) ) N N, ,M Mh分布律：分布律：举例：举例：X X的可能取值为的可能取值为0 0，1,2,1,2,，min(n,M)min(n,M)。袋中白球袋中白球5 5个，黑球个，黑球1010个，任取个，任取3 3个，其中白球个数为个，其中白球个数为X h(3,15,5) X h(3,15,5) kn-kMN-MnNCCPX=k= k=0,1,2,.,min(n (C,M )(

13、1) p p二、连续型随机变量及其概率密度二、连续型随机变量及其概率密度 特点：特点：1 1、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。 2 2、随机变量取任一值的概率为、随机变量取任一值的概率为0 0，即，即P(X=x)=0P(X=x)=0。 用直方图近似正态分布的概率密度演示用直方图近似正态分布的概率密度演示矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：

14、概率密度分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度例子：例子：1 1、灯泡电视机的寿命；、灯泡电视机的寿命； 2 2、股票的收益率等。、股票的收益率等。背景背景:1、概率密度的定义、概率密度的定义 1. ()0. 2. ()=1. 3. , (), (), : ()(.)bafxfx dxa bRabP aXbfXfxXfxXx dx 设设是是随随机机变变量量, , 如如果果存存在在非非负负可可积积函函数数满满足足则则称称为为连连续续型型随随机机变变量量, ,称称为为成成的的概概率率密密度度立立阐明：阐明：f(x)f(x)、x x轴所围曲边梯形面积等于轴所围曲边梯形面积等于1 1概率密度定

15、义及性质概率密度定义及性质(重点重点)PaXbPaXb等于等于 f(x) f(x)、x x轴、直线轴、直线x=ax=a、x=bx=b所围曲边梯形面积所围曲边梯形面积改变改变f(x)f(x)在个别点的值，不影响在个别点的值，不影响PaXbPaXb的值的值2、概率密度的主要性质重点）、概率密度的主要性质重点） 启示：概率为启示：概率为0 0，不一定是不可能事件。，不一定是不可能事件。 , ( )0aRP Xaf x dx a aa a( (1 1) ) 对对 , )(baabP aXbP aXbP aXbP aXbf x dx ( (2 2) ) 若若则则 ( ), ( )f xxP xXxxf

16、xx (3)(3) 如如果果在在 处处连连续续 则则 ( )xxxP xXxxf x dx ( )f xx 2(9) 331 ()0 (1); (2)0, 11, 2.例例随随 机机 变变 量量具具 有有 概概 率率 密密 度度其其 它它求求 常常 数数求求 概概 率率CxxXfxCP XPXP X:(1) : ( )1f x dx- -解解由由概概率率密密度度的的定定义义32( )(9)1f x dxCxdx- - -3 3136C 021(2) 0(9)36P Xxdx- -3 330311(9)|3632xx12113 11(9)3627PXxdx - -1 132122(9)3627P

17、 Xxdx2 2均匀分布均匀分布 X X落在落在(a,b)(a,b)任意子区间的概率只与区间宽度有关，与区间的位置无关任意子区间的概率只与区间宽度有关，与区间的位置无关1 axb0 baXf f( (x x) )= =其其设设连连续续型型随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度则则称称X X服服从从( (a a, ,b b) )的的均均匀匀分分布布, , 记记为为它它X XU U( (a a, ,b b) ) 阐明：阐明：1dx+ +- -( (1 1) ) f f( (x x) )满满足足: : f f( (x x) )0 0, , f f( (x x) ) , dRlxba c c+ +l

18、 lc c( (2 2) ) 对对c c, ,l l如如果果, , f f( (x x则则 ( (c c, ,c c+ +l l) )( (a a, ,b b) )P P( (c c x=1-PXx=1-F(x). ( (3 3) ) 对对分布函数分布函数F(x)F(x)可完整地描述随机变量的统计规律可完整地描述随机变量的统计规律12122121xx ( R), Pxx =Px -Px =F(x )-F(x )XXX 对对3、分布函数的基本性质、分布函数的基本性质 F(x)=P(Xx).X 设设为为随随机机变变量量 的的分分布布函函数数0F(x)1xR, . limlim ( (2 2) )

19、: : 对对成成立立并并且且 F F( (- -) )= =F F( (x x) )= =0 0 F F( (+ +) )= =F F( (1 1有有界界= =性性x x) )xx2112 F(x )-F(x )=P(xx )0X 简简证证: : 1212xx (R), F(x )F(x ).(1) : (1) : 对对则则单单调调性性00lim F(x)=F(xR, )F(x) 0 00 0( (3 3) ) : : 对对右右连连续续在在x x 处处右右连连性性续续, , 即即x xxx留意：这三个性质也是判断某函数是否为分布函数的充要条件留意：这三个性质也是判断某函数是否为分布函数的充要条

20、件: , . limxxXxXx 几几何何意意义义时时即即4、分布函数的应用重点）、分布函数的应用重点）F(x)=P(Xx)X 设设为为随随机机变变量量的的分分布布函函数数, ,对对a ab b( (a a, ,b bR R) ) P P( (a a X Xb b) )= =P P( (X Xb b) )- -P P( (X Xa a) )= =F F( (b b) )- -F F( (a a) )iiX P(Xx )p (i=1,2,.) 设设离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布律律为为: : iiiiiixxxxP(XxP(Xx)p xxp F F( (x x) )= =( (满满足足

21、的的所所有有之之和和) )11121223n0 x xp xxx(x)pp xxx.1 xx F F., 1 12 2n n假假设设随随机机变变量量X X的的所所有有可可能能取取值值从从小小到到大大分分别别为为: : x xx xx x则则, .i ii i 图图形形特特点点: : ( (1 1) )函函数数, , . . ( (2 2分分段段连连续续阶阶梯梯形形递递增增每每个个x x 处处跳跳跃跃 跳跳跃跃度度为为p p右右连连续续) )在在 ( (3 3) )左左不不连连续续. .二、离散型、连续型二、离散型、连续型X的分布函数的分布函数1、离散型、离散型X的分布函数的分布函数 ( (2

22、2) ) P P( (X X0 0. .5 5) )= =F F( (0 0. .5 5) )= =0 0. .2 25 5 X1 2 3 P | 0.25 0.5 0.25 (2) 例例 设设离离散散型型随随机机变变量量X X的的分分布布律律为为: :求求: :( (1 1) )分分布布函函数数F F( (x x) ), ,并并画画F F( (x x) )图图形形P P( (X X0 0. .5 5) ), ,P P( (1 1. .5 5 X X2 2. .5 5) ) ( (3 3) )P P( (2 2X X4 4) ), , P P( (X X= =1 1. .5 5) )0 x -

23、10.25 -1x2(x)0.250.5 2x30.25+0.5+0.25 x3 解解: :( (1 1) ) F F P P( (1 1. .5 5 X X2 2. .5 5) )= =F F( (2 2. .5 5) )- -F F( (1 1. .5 5) )= =0 0. .7 75 5- -0 0. .2 25 5= =0 0. .5 5 或或者者P P( (1 1. .5 5 X X2 2. .5 5) )= =P P( (X X= =2 2) )= =0 0. .5 50 x -10.25 -1x20.75 2x31 x3 ( (3 3) ) P P( (2 2X X4 4) )

24、= =P P( (2 2X X4 4) )+ +P P( (X X= =2 2) )= =F F( (4 4) )- -= =1 1- -0 0. .7 75 5+ +0 0F F( (2 2. .5 5= =) )+ +0 0. .5 50 0. .7 75 5 X X= =2 2 X X或或P P( (2 2X X4 4) )= =P P( () )= =0 0. .5 5+ +0 0. .2 25 5= = =3 3 0 0. .7 75 5P P( (X X= =1 1. .5 5) )= =0 0, , P P( (X X= =4 4) )= =0 0解解: : X X的的所所有有可

25、可能能取取值值为为- -1 1, , 1 1, , 3 3. .0 x -10.4 -1x12 , .0.8 1x31 x3例例随随机机变变量量X X分分布布函函数数F F( (x x) )求求X X分分布布律律 1 F F( (- -1 1- -0 0) )P P( (X X) )= =F F( (- -1 1) )- -= =0 0. .4 4- -0 0= =0 0. .4 4P P( (X X= =1 1) )= =F F( (1 1) )- -F F( (1 1- -0 0) )= =0 0. .8 8- -0 0. .4 4= =0 0. .4 4 ( (2 2) ) P P( (

26、0 0X X4 4) )= =F F( (4 4) )- -= =1 1- -0 0. .F F( (0 0- -0 0) )4 4= =0 0. .6 6 X X= =1 1 X X= =3 3 或或P P( (0 0X X4 4) )= =P P( () )= =0 0. .4 4+ +0 0. .2 2= =0 0. .6 6i i由由此此可可见见, , 离离散散型型随随机机变变量量的的. .确确定定一一个个, , 则则另另一一个个也也相相应应确确定定分分布布律律p p 与与分分布布函函数数F F( (x x) )一一一一对对均均可可表表示示随随机机试试验验的的统统计计应应, ,规规律律

27、. . P P( (X X= =3 3) )= =F F( (3 3) )- -F F( (3 3- -0 0) )= =1 1- -0 0. .8 8= =0 0. .2 2X -1 1 3P0.4 0.4 0.22、连续型、连续型X的分布函数的分布函数( ), Xf x连连续续型型随随机机变变量量概概率率密密度度为为则则-(1) ( )( )xF xP Xxf x dx 0( )limxxxxf x dxx 0()( )( )limxF xxF xF xx 0( )lim( )xf xxf xx ( ), ( )( )f xxFxf x ( (3 3) ) 如如果果在在 处处连连续续 则则

28、 , ( )( )( )baabP aXbF bf x dF ax ( (2 2) ) 若若则则例例 随随机机变变量量X XU U( (a a, ,b b) )( (P P4 4, ,求求F F1 1, ,例例9 9) )( (x x) ). .1 :(1)( , ),( )0 b aaxbXU a bf x 解解 其其它它-( )( )xF xP Xxf x dx 1010 0 0+0 xaxb aabxb aabdxxadxdxaxbdxdxdxxb 0 1 x ab axaaxbxb 离散型离散型X、连续型、连续型X的主要区别的主要区别项目项目离散型离散型X X连续型连续型X X可能取值有限个或可列无穷个有限个或可列无穷个无穷不可列，充满区间无穷不可列，充满区间P(X=a) P(X=a)=0F(x)图形右连续阶梯上升右连续阶梯上升连续单调上升连续单调上升区间概率与F(x)的对应关系k kk kP P( (X X= =x x ) )= =p p 一