2.1..分部积分法ppt课件

1、5.4 分部积分法分部积分法直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算, 可可sin d , ln d , arctan d ,sin dxxx xx xx xex x 等等是当被积函数形如是当被积函数形如类型的不定积分时类型的不定积分时, 前面的方法就无法求解前面的方法就无法求解. 在本节中在本节中, 我们将我们将 介绍计算不定积分的另一种基本计算方法：分部积分法介绍计算不定积分的另一种基本计算方法：分部积分法.设函数设函数 u= u(x)及及v = v(x)具有连续的导数具有连续的导数, 那么那么()uvu vuv上式两边求不定积分上式

2、两边求不定积分, , 得得dduv xuvvu x移项得移项得()uvuvu v.(5.4.1)公式公式(5.4.1)式称为分部积分公式式称为分部积分公式. 它表明：如果不定积分它表明：如果不定积分duv x不易计算不易计算, 而不定积分而不定积分dvu x又比较容易计算时又比较容易计算时, 采采用分部积分公式用分部积分公式(5.4.1), 将会使将会使duv x的计算问题得到解决的计算问题得到解决.d()duv xuv dxvu x公式公式(5.4.1)的等价形式为的等价形式为ddu vuvv u(5.4.2)利用分部积分法计算不定积分利用分部积分法计算不定积分, 选择好选择好u、v非常关键

3、非常关键, 选择选择不当将会使积分的计算变得更加复杂不当将会使积分的计算变得更加复杂. 如何将被积函数如何将被积函数f(x)合合理地表示成理地表示成( )v x( )u x和和两部分的乘积呢？即两部分的乘积呢？即( )d( )( )df xxu xv xxddxxxexx e dxxxeexxxxeeCdxxex例例1求求sin2()2xxdcos2 dxx x例例2 求求 sin2sin222xxxdx解解 设设,() ,xxux vee那么那么,xdvdedudx解解设设222sin,cos() ,xux vx那么那么22sin,xdvddudx原式原式111sin2sin2(2 )222

4、xxxdx11sin2cos224xxxCd(-cos )xx 解解 (1)原式原式=coscos dxxx x cossinxxxC当被积函数为幂函数或多项式与指数函数或正余）当被积函数为幂函数或多项式与指数函数或正余）注注这样使用一次分部积分可使幂函数的方幂降低一次，从而使这样使用一次分部积分可使幂函数的方幂降低一次，从而使三角函数的乘积时，一般采用分部积分法，并选择幂函数为三角函数的乘积时，一般采用分部积分法，并选择幂函数为u.第二个积分第二个积分 容易计算。容易计算。dv usin d ;xx x练习练习 求求 (1) 2e dxxx(2)（2原式原式=2d(e )xx22e dxxx

5、 ex 22e dxxx exx22(e )xxx exd22(e d )xxxx exex22()xxxx exeeC2(22)xxxeC2arccosd1xxxxx2arccos1.xxxCarccos dx x例例3 求求 arccos dx x 解解arccosd(arccos )xxxx 221d(1)arccos21xxxx2ln dxx x2ln dxx x 例例5 求求 解解3ln d()3xx33lndln33xxxx321lnd33xxxx331ln39xxxC当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时, 注注一般采用分

6、部积分法一般采用分部积分法, 并选择对数函数或反三角函数为并选择对数函数或反三角函数为u.sin dxex xsin dxex x 1sin d(sincos )2xxex xexxCsindsinxxexexsincos dxxexex xsincos dxxexx esincossin dxxxexexex x例例7 求求 解解sin dxx e 移项整理得移项整理得当被积函数为指数函数与正余弦三角函数的乘积时当被积函数为指数函数与正余弦三角函数的乘积时, 注注u，dv可随意选取，但在两次分部积分中，必须选取同类型的可随意选取，但在两次分部积分中，必须选取同类型的u.22211arccot

7、d221xxxxx22arccotd(arccot)22xxxx ln(12 )dxx练习求练习求1） （2）arccot d ;xx x解解1原式原式2arccot d()2xx 22211(1)1arccotd221xxxxx22111arccot(1)d221xxxx211arccot(arctan )22xxxxC（2原式原式ln(12 )ln(12 )xxxdx 2ln(12 )12xxxdxx 1ln(12 )(1)12xxdxx 1ln(12 )ln(12 )2xxxxC 分部积分法是基本积分法之一分部积分法是基本积分法之一, , 常用于被积函数常用于被积函数 一般按一般按“反对

8、幂指三的顺序反对幂指三的顺序, 后者先凑入的方法确定后者先凑入的方法确定u和和v .前者为前者为 u，后者为，后者为v，其中的，其中的“反是反三角函数；反是反三角函数；“对对是是对数函数；对数函数；“幂是幂函数；幂是幂函数；“指是指数函数；指是指数函数；“三三是三角是三角函数函数. 这类积分在具体计算过程中, 如何正确地选定 u 和 v 显得(1) v 要容易求得要容易求得;( ) ( )d .f x g xx是两种不同类型函数乘积的积分是两种不同类型函数乘积的积分 注注 非常重要非常重要. 一般说来要考虑以下两点一般说来要考虑以下两点:求求dxex解解 2, ,d2 d ,xtxtxt tdxex 2dtt e22ttteeC22dttteet22xxxeeC例例8令令从而从而2 dtet t( )dxfxx 例例9已知已知f(x