概率42随机变量的方差

1、概率论概率论 4.2 随机变量的方差随机变量的方差方差的定义方差的定义方差的计算方差的计算方差的性质方差的性质小结小结 布置作业布置作业概率论概率论 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.概率论概率论 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如

2、图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近概率论概率论 又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙

3、炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心概率论概率论 由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到容易看到这个数字特征就是这一讲要介绍的这个数字特征就是这一讲要介绍的方差方差)(XEXE 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度. 但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量)(2XEXE 来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离

4、程度的偏离程度.概率论概率论 一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在 , 称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差. 记为记为D(X)或或Var(X)，即，即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2()()XD XXX的的标标准准差差或或均均方方差差的的算算术术平平方方根根称称为为记记为为，它它与与具具有有相相方方差差同同的的量量纲纲。概率论概率论 若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度离散程度 .若若X的取值比

5、较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D(X)是刻画是刻画X取值分散程度的一个量，它是取值分散程度的一个量，它是衡量衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。概率论概率论 分布律分布律PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的数学期望数学期望 .二、方差的计算二、方差的计算f(x)为为X的的概率密度概率密度2(2). .,()=()( ),Xr v D XxE Xf x dx是是连连续续型型211. .()=(),kkkXr vD XxE Xp（ ）是是离离散散型型, ,概率论概

6、率论 三、方差的性质三、方差的性质 1. 设设C 是常数是常数, 则则 D(C)=0 ; 2. 若若 C 是常数是常数, 则则 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) D(X)=E(X2)-E(X)2 4. 计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式:5.()01,().D XP XCCE X其其中中概率论概率论 下面我们证明性质下面我们证明性质3)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXE

7、XEYXEYXEYXD 若若 X,Y 相互独立相互独立, 由数学期望的性质由数学期望的性质4得得)()()(YDXDYXD 此性质可推广到有限多个相互独立的随机变量之和的此性质可推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况情况.概率论概率论 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质下面我们证明性质下面我们证明性质4概率论概率论 例例1 设随机变量设随机变量X具有具有(01）分布，其分布律为）分布，其分布律为求求D(X) . 解解由公式由公式因此因此,0-1分布分布222()(

8、)()(1)D XE XE Xpppp()0(1)1E Xppp222()0(1)1E Xppp(),()(1)E Xp D Xpp01,1P XpP Xp概率论概率论 例例2解解X的分布律为的分布律为( )()XPD X设设，求求。,0,1,2,0!keP Xkkk2()(1)(1)()E XE X XXE X XE X(),E X而而2202(1)!(2)!kkkkek kekk22ee概率论概率论 因此因此,泊松分布泊松分布22()()()D XE XE X(),()E XD X.,泊泊松松分分布布就就被被确确定定了了只只要要知知道道分分布布率率中中只只含含一一个个参参数数。泊泊松松分分

9、布布的的等等于于数数学学期期望望与与方方差差相相等等，由由此此可可知知，泊泊松松分分布布的的 概率论概率论 例例3解解 因此因此,均匀分布均匀分布( , )()XU a bD X设设，求求。()2abE X1( )0axbXf xba的的概概率率密密度度为为其其它它2(),()212baabE XD X22222()()()1212baD XE XE Xbaabxdxba概率论概率论 例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为解解由此可知由此可知,指数分布指数分布0( )00 xexf xx 0()()E XD X其其中中，求求，01()( )xE Xxf

10、x dxx edx2221()()()D XE XE X222202()( )xE Xx f x dxxedx211E XD X（ ）， （ ）概率论概率论 例例6 设设XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若设若设10iiXi= 如第 次试验成功如第 次试验失败i=1,2，n 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功” 的次数的次数1niiXX=下面我们举例说明方差性质的应用下面我们举例说明方差性质的应用 .解解XB(n,p),则则X表示表示n重努里试验的成功重努里试验的成功 次数次数 .概率论概率论 于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互独立独立1()()niiD

11、 XD X= np(1- p)E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iXnpXEXEnii 1)()(则则若若),(pnBX)1()(,)(pnpXDnpXE 概率论概率论 例例7解解于是于是(0,1),()().XNE XD X设设求求和和X的的概概率率密密度度为为(0,1),()0,()1XNE XD X若若则则22221()()( )12xD XxE Xx dxx edx221()( )02xE Xxx dxxedx221( )2xxex D(X)=E(X2)-E(X)2 概率论概率论 2( ,)0 1XXNZN 若若，则则（ ， ）,

12、XZ而而由由数数学学期期望望和和方方差差的的性性质质得得()()()( )E XEZE ZE22()()()( )D XDZD ZD()0,()1E ZD Z22( ,)(),()XNE XD X 若若，则则2这这就就是是说说，正正态态分分布布的的概概率率密密度度中中的的两两个个参参数数 和和分分别别是是该该分分布布的的数数学学期期望望和和方方差差，因因而而正正态态分分布布完完全全可可由由它它的的数数学学期期望望和和方方差差所所确确定定。概率论概率论 例例8 8（最最小小风风险险最最大大利利润润）123445,47.4,47.4,45.6,EXEXEXEX解解：233.24,15.84,DXD

13、X而而160从从风风险险考考虑虑选选择择期期望望最最大大而而方方差差最最小小的的，所所以以考考虑虑订订购购本本。概率论概率论 1、 设随机变量设随机变量X服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为PX=k=p(1-p)k-1, k=1,2,其中其中0p1,求求E(X),D(X)密度为：密度为：服从瑞利分布，其概率服从瑞利分布，其概率设随机变量设随机变量X2、22220( )000(),().xxexf xxE XD X其其中中是是常常数数，求求概率论概率论 1、解：解：记记 q=1-p求和与求导求和与求导交换次序交换次序无穷递缩等比无穷递缩等比级数求和公式级数求和公式111()()kkkkE Xkpqpq1()()1kkqpqpq1p概率论概率论 D(X)=E(X2)-E(X)2 22pp-=2211()kkE Xk pq1111(1)kkkkpk kqkq322121(1)qqpqppp222211ppppp11()()()1kkqqpqE Xqpqp概率论概率论 2、解、解22220()( )2xE Xxf x dxxxedx222202()()