热运动基本知识

1、以物质的分子原子结构概念和分子热运动以物质的分子原子结构概念和分子热运动概念为基础，应用统计方法，求出大量分概念为基础，应用统计方法，求出大量分子微观量的统计平均值，建立宏观量和微子微观量的统计平均值，建立宏观量和微观量之间的关系，从而说明物质宏观现象观量之间的关系，从而说明物质宏观现象的本质，这就是的本质，这就是分子物理学分子物理学5-15-1动理学理论动理学理论( (kinetic theory) )一一. .动理学理论及实验基础动理学理论及实验基础 1.1.宏观物体是由大量分子或原子所构成宏观物体是由大量分子或原子所构成 2.2.物体内的分子都在永不停息地运动着物体内的分子都在永不停息地

2、运动着 3.3.分子间有相互作用力存在分子间有相互作用力存在宏观量宏观量: : 描述整个系统的物理量描述整个系统的物理量, ,如气体的如气体的 温度、压强、热力学能等。温度、压强、热力学能等。微观量微观量: : 描述单个分子的物理量描述单个分子的物理量, ,如分子的如分子的 速度速度. .质量质量. .平均动能等。平均动能等。热运动热运动: : 大量分子这种处在永不停息、大量分子这种处在永不停息、 无规则的运动称为热运动无规则的运动称为热运动. .二、分子现象的统计平均值二、分子现象的统计平均值概率概率pnmp n为事件出现可能情况总数，为事件出现可能情况总数，m为事为事件出现可能情况总数件出

3、现可能情况总数大量分子的宏观表现满足统计规律性大量分子的宏观表现满足统计规律性伽尔顿板实验伽尔顿板实验. .粒子落入其中一格是粒子落入其中一格是一个偶然事件一个偶然事件, ,大量大量粒子在空间的分布服粒子在空间的分布服从统计规律从统计规律. .一一. .伽尔顿板实验伽尔顿板实验概率性概率性1 d ( )( )dN xf xNx f f ( (x x) )称为球沿称为球沿 x x 的分布函数的分布函数, , 它代表它代表了小球落入了小球落入 x x 附近单位区间的概率附近单位区间的概率, , 或或是球落在是球落在 x x 处的概率密度处的概率密度. .1d)(xxf球落入各区间可能事件的概率之和

4、等于球落入各区间可能事件的概率之和等于1 1v 粒子数按空间位置粒子数按空间位置 x x 分布函数：分布函数：一一. .理想气体的物态方程理想气体的物态方程v 平衡态与态参量平衡态与态参量v任何情况下绝对遵守玻意耳、查理、任何情况下绝对遵守玻意耳、查理、盖盖- -吕萨克定律的气体称为吕萨克定律的气体称为理想气体理想气体平衡态平衡态: : 系统的宏观性质不随时间而系统的宏观性质不随时间而变的状态。变的状态。5-2 5-2 理想气体动理论基本方程理想气体动理论基本方程体积体积 V V m m3 3温度温度: : T T K K 压强压强: : p p P Pa a状态参量状态参量: :从微观上看从

5、微观上看, ,分子仍在不停作热运动，故分子仍在不停作热运动，故此平衡态是一种动态平衡。此平衡态是一种动态平衡。在压强不太高在压强不太高. . 温度不太低的实际气温度不太低的实际气体都可视为理想气体体都可视为理想气体, ,遵守遵守v 理想气体的物态方程理想气体的物态方程 或 p=np=nkT T式中式中, , M M: : 气体质量气体质量,(kg). ,(kg). : :气体摩尔气体摩尔质量质量, (kg). , (kg). R R = 8.31 J= 8.31 J molmol- -1 1K K- -1 1 RTMpVRTMPV 摩尔数摩尔数设设N N为体积为体积V V中气体分子总数中气体分

6、子总数ANNMRTNNPVAmol10023623/.NA1 mol1 mol任何气体中的分子数任何气体中的分子数TVNNRPA阿伏伽德罗定律阿伏伽德罗定律nkTp k k 是玻耳兹曼常数是玻耳兹曼常数叫气体分子数密度叫气体分子数密度令令VNn 为单位体积内气体分子的个数为单位体积内气体分子的个数令令KJNRk/103807. 123A A二二. . 理想气体动理论的基本方程理想气体动理论的基本方程v 1. 1.气体分子的大小与分子间的平均距气体分子的大小与分子间的平均距离相比可以忽略离相比可以忽略. .v 2. 2.分子除碰撞瞬间外分子除碰撞瞬间外, ,无相互作用无相互作用. .v 3. 3

7、.碰撞视为完全弹性碰撞碰撞视为完全弹性碰撞. .这是由气体的共性抽象出来的一个理想这是由气体的共性抽象出来的一个理想模型模型. .在压力不太大在压力不太大. . 温度不太低时温度不太低时, ,与与实际情况附合得很好实际情况附合得很好. . 理想气体的压强理想气体的压强公式公式微观微观: :大量气体分子频繁碰撞器壁对器大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力壁单位面积的平均冲力v标准状态下气体的数密度巨大标准状态下气体的数密度巨大, ,能很好能很好满足微观统计的要求满足微观统计的要求. . 分子数密度量级分子数密度量级为为10102525个个/m/m3 3 宏观宏观: :器壁单位面积所受

8、的压力器壁单位面积所受的压力KmolJTVpR/3145. 815.273104141.221001325. 135000 xSI iLLL ix i ix iyzmimi理想气体压强的推导理想气体压强的推导设该分子速度设该分子速度为为iix速度为速度为动量的改变量为动量的改变量为该分子在该分子在x x轴的轴的ixixixixmmmp2图图5.15.1ixvmptfIixixix2由动量定理由动量定理分子两次碰撞所用时间为分子两次碰撞所用时间为ixvLt2LmLmtpfixix222ixvvvixixN N个分子在个分子在x x轴方向所受器壁的作用力轴方向所受器壁的作用力iiixxLmfF2i

9、xv由牛三律，分子对器壁的作用力为由牛三律，分子对器壁的作用力为xxFF分子对器壁分子对器壁S S的压强为的压强为2xvvvixixmnNLNmLmLFpiixx2323213LNn iN21ixvv2x2z2y2x2vvvv22z2y2xvvvv31nmnP323122vm21式中式中是大量分子的平均平动动能是大量分子的平均平动动能压强公式指出压强公式指出: :有两个途径可增加压强有两个途径可增加压强2)2)增加分子运动的平均平动能，即增加增加分子运动的平均平动能，即增加每次碰壁的强度每次碰壁的强度1)1)增加分子数密度增加分子数密度n n 即增加碰壁的个数即增加碰壁的个数v各分子速度大小及

10、方向不同各分子速度大小及方向不同, ,要对各要对各种不同速度的分子碰壁的冲量求和种不同速度的分子碰壁的冲量求和v单位时间作用在单位面积上的冲量就单位时间作用在单位面积上的冲量就是压强是压强. . 运用统计平均值及平衡态概念运用统计平均值及平衡态概念得到压强与微观量的关系得到压强与微观量的关系意义：意义：1.1.压强方程建立了宏观量压强方程建立了宏观量P P 和微观量的关系。和微观量的关系。说明气体压强与气体单位体积内的分子数及说明气体压强与气体单位体积内的分子数及分子平均平动动能成正比。分子平均平动动能成正比。2.2.说明了压强的微观本质，即气体的压强表说明了压强的微观本质，即气体的压强表示的

11、是大量气体分子在单位时间内施于器壁示的是大量气体分子在单位时间内施于器壁单位面积上的平均冲量单位面积上的平均冲量. .压强是描述大量分子集体行为平均效果压强是描述大量分子集体行为平均效果的统计性量，单个分子讲压强无意义。的统计性量，单个分子讲压强无意义。三三. .分子的平均平动动能分子的平均平动动能Tnkp nP32由阿伏伽德罗定律由阿伏伽德罗定律, ,压强公式压强公式可得可得上式为理想气体的平均平动动能公式上式为理想气体的平均平动动能公式 kT232vm211 1标准大气压标准大气压(atm(atm)=760mmHg)=760mmHg（毫米汞柱）（毫米汞柱）=10.33mH=10.33mH2

12、 2O(O(米水柱）米水柱）=1.013=1.01310105 5 Pa. Pa.意义：意义： 1.1.温度公式说明气体的温度只与温度公式说明气体的温度只与分子的平均平动动能有关，是气体分子分子的平均平动动能有关，是气体分子平均平动动能的量度。平均平动动能的量度。2.2.温度是大量分子热运动的集体表现，温度是大量分子热运动的集体表现，具有统计规律性，对单个分子讲温度无具有统计规律性，对单个分子讲温度无意义。意义。例例 在一个具有活塞的容器中盛有一定的在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从度从2727升到升到177177，

13、体积减少一半，求，体积减少一半，求(1)(1)气体压强变化多少？气体压强变化多少？ (2)(2)这时气体分子的平均平动能变化多少？这时气体分子的平均平动能变化多少？222111TVPTVP)1( K450177273T,K30027273T,V2V:2121 由由已已知知122112212P3300V450V2PTVTVP 解：解：kT)(k232 J.)(.)TT(kkkk2123121210113300450103812323 四四. .道尔顿分压定律道尔顿分压定律 设有多种相互不发生化学反应的气体在一设有多种相互不发生化学反应的气体在一容器中混合，达平衡态，则混合气体压强为容器中混合，达

14、平衡态，则混合气体压强为321321321323232)(3232PPPnnnnnnnPkkkkk气体分子的平均平动动能只是气体分子运气体分子的平均平动动能只是气体分子运动能量的一部分在某方面产生的统计平均动能量的一部分在某方面产生的统计平均效果效果. . 5-35-3能量均分定理能量均分定理如果将原子看成质点如果将原子看成质点, ,将分子看成是原子将分子看成是原子的刚性连接体的刚性连接体( (刚性分子刚性分子),),则分子的动能则分子的动能除平动动能外除平动动能外, ,对于双原子分子和多原子对于双原子分子和多原子分子平均动能的计算分子平均动能的计算, ,涉及自由度概念涉及自由度概念. .分子

15、还有转动动能分子还有转动动能. .v 一.自由度自由度确定某物体空间位置所需确定某物体空间位置所需的独立坐标的数目的独立坐标的数目( ( i i ). ).多原子分子多原子分子单原子分子单原子分子zxyO双原子分子双原子分子zxyOzxyOxzyzxyOzxyOxzy平动自由度平动自由度 x x, , y y, , z z平动自由度平动自由度x x, , y y, , z z转动自由度转动自由度 , , 平动自由度平动自由度x x, , y y, , z z转动自由度转动自由度 , , , , i i = 3= 3i i = 5= 5i i = 6= 6单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子

16、多原子分子多原子分子理想气体理想气体, , 平衡态平衡态, , 分子平均平动动能为分子平均平动动能为因因故故v 二二. .能量均分定理能量均分定理21322mkTv222231vvvvzyxkTvmvmvmzyx21212121222每个平动自由度的平均平动能均为每个平动自由度的平均平动能均为kT21将等概率假设推广到转动动能将等概率假设推广到转动动能, , 每个转动自每个转动自由度的转动能量相等由度的转动能量相等, , 而且亦均等于而且亦均等于在温度为在温度为 T T 的平衡态下的平衡态下, ,气体分子的每气体分子的每一个自由度一个自由度, ,都平均地具有都平均地具有 的动能的动能. .能量

17、按自由度均分定理能量按自由度均分定理: : kT21kT21处于平衡态温度为处于平衡态温度为 T T 的理想气体的理想气体, , 若将气若将气体分子看作刚性分子体分子看作刚性分子, , 有有 t t 个平动自由度个平动自由度, , r r 个转动自由度个转动自由度, , v 气体分子的平均动能气体分子的平均动能 1()22kitr kTkT分子triHe, Ar303O2, N2325H2O336CH4336则气体分子的平均动能则气体分子的平均动能: :若将分子看作非刚性分子若将分子看作非刚性分子, ,还要考虑分子还要考虑分子的振动动能的振动动能, ,按一定的原则确定振动自由按一定的原则确定振

18、动自由度度. .kTikT)srt(k221一定量理想气体的内能一定量理想气体的内能-组成气体的全组成气体的全部分子的平均动能之和部分子的平均动能之和. .1mol1mol理想气体的内能理想气体的内能分子的平均动能分子的平均动能v 理想气体的内能理想气体的内能 2ikT122molAiiENkTRT一定质量一定质量M M 理想气体的内能理想气体的内能2M iERT理想气体的内能与其质量理想气体的内能与其质量, , 自由度自由度, , 温度温度成正比成正比. . 在一个具有活塞的容器中盛有一定的气在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度体。如果压缩气体并对它加热，

19、使它的温度从从2727升到升到177177，体积减少一半，体积减少一半， (1)(1)求气体压强变化多少？求气体压强变化多少？ （2 2）气体分子的平均平动动能变化多少？）气体分子的平均平动动能变化多少？例例222111TVPTVP)1( KTKTVV45017727330027273,2:2121由已知122112212P3300V450V2PTVTVP 解：解：kT)(k232 J.)(.)TT(kkkk2123121210113300450103812323 5-4分子分子速率及实验测定速率及实验测定麦克斯韦麦克斯韦18591859年首次年首次用统计方法从理论上用统计方法从理论上解决了气

20、体分子运动解决了气体分子运动速率问题速率问题, ,并不久就并不久就为实验所证实为实验所证实. .麦克斯韦麦克斯韦(James Clerk Maxwell 1831-1879)英国物英国物理学家理学家 是表示气体处于热平衡时是表示气体处于热平衡时, , 气体的分气体的分子数按速率子数按速率( (速度速度) )大小分布的规律大小分布的规律. .转换成相对分子数密度按速率的分布即转换成相对分子数密度按速率的分布即为速率分布函数为速率分布函数( (速率速率 v v 附近单位间隔附近单位间隔内的分子数与总分子数之比内的分子数与总分子数之比) )vv d)(dfNN v 速率分布函数速率分布函数vvdd)

21、(NNf)(vfvdvOvd()dNfNvv表示处于表示处于v到到v+dv速率间隔内的分子速率间隔内的分子数比例数比例理想气体处于热平衡时理想气体处于热平衡时, , 气体的分子气体的分子数按速率数按速率( (速度速度) )大小分布的规律由麦大小分布的规律由麦克斯韦在理论上导出：克斯韦在理论上导出：v 麦克斯韦速率分布律的数学表达式麦克斯韦速率分布律的数学表达式若若m m, , T T 给定给定, , 函数的形式可概括为函数的形式可概括为22232e)2(4dd)(vvvvkTmkTmNNf对分子质量为对分子质量为m m , , 热力学温度为热力学温度为T T , , 处于处于平衡态的气体平衡态

22、的气体, , 速率在速率在v v1 1 到到v v2 2区间内的分区间内的分子数子数 N N 与总与总 分子数分子数 N N 之比之比 v 速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件21( )dNfNvvvv22( )ebfavvv若将速率区间扩展至若将速率区间扩展至0 0到到 , , 即具有一切可能即具有一切可能速率的分子数与总分子数之比应为速率的分子数与总分子数之比应为1 11d)(0vvf此为速率分布函数的归一化条件此为速率分布函数的归一化条件v 三种分子速率三种分子速率平均速率平均速率( (算术平均速率算术平均速率) )根据某连续变量根据某连续变量x x 的平均值等于该量与的平均

23、值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义概率密度函数乘积的积分的定义. .( )dxx f x x2322200( )d4 ()ed2mkTmfkT vvvvvvvv平均速率为平均速率为223222001eded()22bbaaabvvvvvvv8kTmv324()= ,22mmabkTkT令令上式简化为上式简化为得平均速率为得平均速率为速率分布函数的极大值对应的速率速率分布函数的极大值对应的速率 v vp p 称称为最概然速率为最概然速率令令则：则：最概然速率最概然速率( (最可几速率最可几速率) )d( )0dfvv2pkTmv)(vfvOvp方均根速率方均根速率( (v2 2的统计平均值

24、开方的统计平均值开方) )得方均根速率得方均根速率简化后简化后23kTmv2v2322222200( )d4 ()ed2mkTmfkT vvvvvvvv224203ed8baabbvvvv平均碰撞频率平均碰撞频率nv22 dZnd221ZvpdkT22ZvnkTp Z平均自由程平均自由程二、分子速率的实验测定二、分子速率的实验测定三三. . 玻尔兹曼能量分布率玻尔兹曼能量分布率玻尔兹曼在麦克斯玻尔兹曼在麦克斯韦速率分布的基础韦速率分布的基础上上, ,研究了气体在研究了气体在保守力场中保守力场中, ,各种各种速度的分子在空间速度的分子在空间的分布规律的分布规律. .德裔奥地利物理学家德裔奥地利物

25、理学家玻尔兹曼玻尔兹曼 (Ludwig Boltzmann, 1844-1906)气体分子按势能分布气体分子按势能分布03 / 20ddexpd d dexp()ddd2expd d dpkxyzpNNnx y zkTmkTkTnx y zkT vvv在坐标区间在坐标区间 x-x+x-x+d dx x, , y-y+ y-y+d dy y, , z-z+ z-z+d dz z 内具内具有所有各种速度的分子数为有所有各种速度的分子数为: :0dexpd d dpNnnx y zkT此式即分子按势能的分布规律此式即分子按势能的分布规律, ,是玻尔兹是玻尔兹曼分布律的一种常用形式曼分布律的一种常用形

26、式. .表示分子处于势能较高的位置的概率较小表示分子处于势能较高的位置的概率较小, ,即分子将优先占据势能较低的状态即分子将优先占据势能较低的状态. .在势能在势能 p p处处, ,单位体积中具有各种速度的单位体积中具有各种速度的分子数分子数n n 为为: :若在重力场中若在重力场中 p p=mgz=mgz, , 则任意高度则任意高度 z z 处处单位体积内的分子数为单位体积内的分子数为: :mol00expexpMgzmgznnnkTRT此式即重力场中微粒按高度的分布规此式即重力场中微粒按高度的分布规律律. .大气标高大气标高 H H 是粒子按高度分布的特征量是粒子按高度分布的特征量, ,

27、它反映了气体分子热运动与分子受重力它反映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾场作用这一对矛盾. .molkTRTHmgMg在重力场中气体的分子数密度在重力场中气体的分子数密度 n n 随高随高度的增大按指数减小度的增大按指数减小. .二二. . 分子力与分子力曲线分子力与分子力曲线实验证明分子间存在实验证明分子间存在引力又存在斥力引力又存在斥力, ,分子分子间互相作用力公式为间互相作用力公式为12pqCCfrrr 两分子中心距离两分子中心距离.C1、C20，pq图图5.25.2三、范德瓦尔斯方程三、范德瓦尔斯方程222()()MaMMPVbR TV表面张力微观解释mR910 RORfR

28、ORRO图图5.15.1BCabcdegrArFFf表面张力系数的大小表面张力系数的大小ff 由于线段上各点均有表面张力作用由于线段上各点均有表面张力作用, ,线段越长线段越长, ,则合力越大。设线段长为则合力越大。设线段长为l , ,则：则：f f = =l 。 为表面张力系数，数值上等于单位为表面张力系数，数值上等于单位长度直线段两侧液面的表面张力，单位：长度直线段两侧液面的表面张力，单位：N / N / m m 。如图如图5.25.2所示，铁丝框上挂有液膜，表所示，铁丝框上挂有液膜，表面张力系数为面张力系数为，将，将ABAB边无摩擦、匀边无摩擦、匀速、等温地右移速、等温地右移x x，在，

29、在ABAB边上加的力边上加的力为：为：F F =2=2ll ，则在这个过程中外力，则在这个过程中外力F F 所做的功为所做的功为: :表面张力系数与表面能增量表面张力系数与表面能增量图图5.25.2SxlxFA2其中其中S = 2LS = 2Lx ,x ,是是AB AB 向右移动过向右移动过程中液面面积的增量。外力克服分子间程中液面面积的增量。外力克服分子间引力做功，表面能增加，若用引力做功，表面能增加，若用E E 表示表示表面能增量，则：表面能增量，则：SAE 表面张力系数在数值上等于增加单位液体表面张力系数在数值上等于增加单位液体表面积时，外力所需做的功，或增加单位表面积时，外力所需做的功

30、，或增加单位液体表面积时，表面能的增加。液体表面积时，表面能的增加。SASE 与液体的性质有关：不同液体，与液体的性质有关：不同液体，值不值不同；密度小、易挥发的液体同；密度小、易挥发的液体值较小。值较小。如酒精的如酒精的值很小，金属值很小，金属 熔化后的熔化后的值很大。值很大。与相邻物质性质有关：同一液体与不同与相邻物质性质有关：同一液体与不同物质交界，物质交界，值不同。值不同。影响表面张力系数的因素影响表面张力系数的因素与温度有关：温度升高，与温度有关：温度升高，值减小，值减小，两者近似呈线性关系。两者近似呈线性关系。与液体内所含杂质有关：在液体内加与液体内所含杂质有关：在液体内加入杂质，

31、液体的表面张力系数将显著改入杂质，液体的表面张力系数将显著改变，有的使其变，有的使其值增加；有的使其值增加；有的使其值值减小。使减小。使值减小的物质称为表面活性值减小的物质称为表面活性物质。物质。表面活性物质表面活性物质: : 使表面张力系数减小使表面张力系数减小表面非活性物质表面非活性物质: :使表面张力系数增大使表面张力系数增大在肥皂泡、小液滴在肥皂泡、小液滴. .固体与液体接触的地固体与液体接触的地方方, ,液面都是弯曲的液面都是弯曲的. .对于球面型的液面对于球面型的液面来说来说, ,可以证明其附加压强为可以证明其附加压强为: : 2pppR外内0dRRR+dR附加压强为附加压强为Sd

32、RpdAdSdEp24 RSRdRdS8dRRpRdRdEp248Rp2 如图如图, ,由于球形液膜很薄，由于球形液膜很薄，内外膜半径近似相等，设内外膜半径近似相等，设A A、B B、C C 三点压强分别为三点压强分别为P PA A 、P PB B 、P PC C ，则：，则：222RpppAB112RpppBC1RO ACB2RBA举例举例RpppAC4膜内压强大于膜外压强，与半径成反比。膜内压强大于膜外压强，与半径成反比。212122RRpppppACRRR21附着层附着层: :在液体和固体接触处取一液体薄在液体和固体接触处取一液体薄层层, ,厚度为分子引力的有效作用距离厚度为分子引力的有

33、效作用距离, ,这这个液体薄层称为个液体薄层称为附着层附着层. . 内聚力内聚力：液体分子之间的吸引力。：液体分子之间的吸引力。附着力附着力：固体分子对附着层分子的吸引力：固体分子对附着层分子的吸引力液体不润湿固体液体不润湿固体: :附着层内分子的内聚力附着层内分子的内聚力大于附着力时大于附着力时, ,附着层内的分子受到的合附着层内的分子受到的合力垂直于附着层而指向液体内部力垂直于附着层而指向液体内部, ,类似于类似于表面层表面层, ,附着层里液体分子比液体内部稀附着层里液体分子比液体内部稀疏疏, ,出现类似于表面张力的收缩力出现类似于表面张力的收缩力. .附着附着层要尽可能收缩层要尽可能收缩, ,以减小分子势能以减小分子势能. .这在这在宏观上表现为宏观上表现为液体不润湿固体液体不润湿固体. .液体润湿固体：液体润湿固体：当附着力大于内聚力时当附着力大于内聚力时, ,情况正相反情况正相反, ,附着层内的分子受到的合力附着层内的分子受到的合力指向固体指向固体, ,附着层里出现液体相互推斥的附着层里出现液体相互推斥的力力, ,分子在附着层内比在液体内部有较小分子在附着层内比在液体内部有较小的势能的势能, ,附着层有扩展趋势附着层有扩展趋势, ,宏观上表现宏观上表现为为液体润湿固体液体润湿固体. . 水银不润湿玻璃表面水银不润