平面向量的坐标运算及共线的坐标表示(

1、复习复习平面向量基本定理平面向量基本定理平面平面向量的向量的正交分解正交分解平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示xyoA(x,y)ija1122 +aee 两向量的夹角两向量的夹角1212e ea 如如果果 、是是同同一一平平面面内内的的两两个个线线的的向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量 ，有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 不共一一对应一一对应 点点A坐标坐标( x , y ) 向量向量 a 解：解：ab (4 )kijij 即即14k 解得解得14k 例题讲解例题讲解存存在在唯唯一一的的实实数数使使得得ba，4ij 4 , ,. ,i jaij

2、bkijabab 设设， 为为平平面面内内一一组组单单位位正正交交基基底底，已已例例知知且且满满足足求求 和和标标1 1的的坐坐(1,-4),( ,1)abk依依题题意意可可得得：由由平平面面向向量量基基本本定定理理，得得1(,1)4b 练习练习1.已知向量已知向量 不共线，实数不共线，实数x、y满足满足(3x-4y) +(2x-3y) =6 +3 ，则，则xy的值等于的值等于( )A.3 B.-3 C.0 D.2 12,e e 1e2e 1e2e 2.已知已知 不共线，且不共线，且 (1,2R)，若，若 与与 共线，则共线，则1= . , a b 12cabcbA022623.,_() .i

3、 jaij bijabcijabc设设平平面面内内一一组组单单位位正正交交基基，若若， 则则 的的坐坐标标为为_， 的的坐坐标标为为_._. 若若，则则向向量量与与填填能能不不能能“”或或“”构构成成一一组组基基底底 (1,-2)(2,1)不能不能11221122121212121212111111xxxx =xx (xx ,); (xx ,)xx;( x ,)abababaa 解解：= =（i+y ji+y j ）+ +（i+y ji+y j ） =i+y j+i+y j =i+y j+i+y j（+ + ） i+i+（y +yy +y ） j j即即：+y +y+y +y同同理理可可得得：

4、-y -y-y -y（i+y ji+y j ）i+ y ji+ y j 即即：y y平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1122a (,),(,),.xybxyab aba 思思考考：已已知知： 求求向向量量， 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差的和与差 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标量的相应坐标例例3.已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB2211(,)(,)xyxy ),(1212yyxx 一

5、个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标的坐标减去始点的坐标 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例例4.已知已知 ，求，求 的坐标。的坐标。2 13 4( , ),(, )ab 34,ab abab 解：解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）例例5.已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A , B , C 的坐标分的坐标分别为（别为（-2，1）（）（

6、-1，3）（）（3，4），求顶点），求顶点D的坐标。的坐标。ABCDO解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y），（），（211321( AB)4 ,3(yxDC ，得得由由DCAB )4 ,3()2 , 1(yx yx4231 22yx），的的坐坐标标为为（顶顶点点22D例例5.已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A , B , C 的坐标分的坐标分别为（别为（-2，1）（）（-1，3）（）（3，4），求顶点），求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDOOBDBDOD 提提示示：先先由由= =B BA A+ +A AD D= =B BA A+ +B BC C求求得

7、得，再再求求如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)的等价条件的等价条件? 会得到什么样的重要结论会得到什么样的重要结论?向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的等价条件是有且的等价条件是有且 只有一个实数只有一个实数 , 使得使得abba设设即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0 ,则由则由 得得),(11yxa ),(22yxb ba0,b22, yx11222212221212212222(,)(,)(,)(1) (1)*(2)*:(2)0 xyxyxyxxyxyyx yx yx yy x 01221yxyx这就是说这就是说: 的等价条件是的等价条件是

8、)0(/bba平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示1122(,)(,)axybxy 交交 叉叉 相相 乘乘 3、向量平行、向量平行(共线共线)的两种形式的两种形式:0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示例例6.已知已知(4, 2),(6,),/ /,.abyaby 且且求求,4a b 解解： y y- -2 26 6= =0 0 y y= =3 3. A1,1 ,B1,3 ,C2,5 , ABC例例6 6 已已知知 （ ） （） （） 试试判判断断， ， 三三点点之之间间的的位位置置

9、关关系系。ABC 、三 点 共 线 。ABCABC:解解：如如图图，平平面面直直角角坐坐标标系系中中作作出出 ， ， 三三点点， 观观察察图图形形，我我们们猜猜想想 、 、 三三点点共共线线。证证明明如如下下 O 1AB Cxy AB11 ,312,4AC21 ,513,6（ （ ）（ ）（） （ （ ）（ ）（）26340 , 又又AB AC ABACA 又直线、直线有公共点 ，例例7.设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P

10、2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标。的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2P(1)(1)M12(3),P PPPP 若若时时， 点点的的坐坐标标是是什什么么？( (思思考考) )1212121222() (,)OPOPOPxxyy 解解：（：（1）所以，点所以，点P的坐标为的坐标为121222(,)xxyy例例7.设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点

11、时，求点P的坐标。的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(1)(1)MxyOP1P2P(2)(2)12(3),P PPPP 若若时时， 点点的的坐坐标标是是什什么么？( (思思考考) ) 直线直线l上两点上两点 、 ，在，在l上取不同于上取不同于 、 的任一点的任一点P，则则P点与点与 的位置有哪几种情形？的位置有哪几种情形？ 1P2P1P2P21PPP在之间在之间 ，21PP1P2PPP在在 的延长线上，的延长线上，21PP1P2PPP在在 的延长线上的延长线上. . 12PP1P2PP 存在一个实数存在一个实数，使使 ，叫做点叫做点P分有向线分有向线段段 所成的比所成的比2

12、1PPPP 21PP 设设 ， ，P分分 所成的比为所成的比为 ，即即 如何求如何求P点的坐标呢？点的坐标呢？ 111( ,)P x y222(,)P xy12PP ),(111yyxxPP ),(),(2211yyxxyyxx ),(222yyxxPP 21PPPP )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx12PPPP 112121yyyxxx有向线段有向线段 的的定比分点坐标公式定比分点坐标公式21PP有向线段有向线段 的的中点坐标公式中点坐标公式21PP 222121yyyxxx 112121yyyxxx有向线段有向线段 的的定比分点坐标公式定比分点坐标公式与与定比分值

13、公式定比分值公式。1 2PP 注意：注意：)1( 求求出出第第四四个个量量。三三个个量量便便可可以以，只只要要知知道道其其中中的的任任意意三三个个坐坐标标和和定定比比们们分分别别是是及及到到四四个个不不同同的的量量，它它坐坐标标，在在每每个个等等式式中中涉涉标标和和分分点点分分清清起起点点坐坐标标、终终点点坐坐在在运运用用公公式式时时，要要注注意意 1122xxyyxxyy=或 = 的符号由点的符号由点P在线段在线段P1P2上，还是在上，还是在P1P2或或P2P1的延长线上决定。的延长线上决定。12|,|P PPP 起起点点到到分分点点的的有有向向线线段段的的长长度度即即分分点点到到终终点点的

14、的有有向向线线段段的的长长度度aijO OXYxyA(x,y)xya),(yxa 课堂小结课堂小结: :OAxiy j=+ axiy j=+a b+ab-a4. 向量平行向量平行(共线共线)条件的两种形式条件的两种形式:0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba课堂小结课堂小结: :随堂练习随堂练习1 a= 4,6 ,a=2b,b 、且且那那么么 的的坐标是坐标是A A、(3,2) B(3,2) B、(2,3) C(2,3) C、(-3,-2) D(-3,-2) D、(-2,-3)(-2,-3)B2a= x-2,3b= 1,y+2 、若若

15、向向量量与与向向量量相相等等，那那么么A A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B3AB= x,y , B -2,1 ,OA 、已已知知的的坐坐 是是那那么么的的标标坐标为坐标为A A、(x-2,y+1) B(x-2,y+1) B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y) D(-2-x,1-y) D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C4a= 1, 1 ,b= 1, -1 ,c= -1, 2 ,c13133131 A -a+b Ba-b Ca-b D -a

16、+b22222222 、若若向向量量那那么么 等等于于、B5a= 3,-1 ,b= -1,2 ,-3a-2b A7,1 B-7 -1 C-7,1 D7 -1 、已已知知那那么么等等于于、 ，、 ，B6B m,n ,AB 、已已知知 的的坐坐是是标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、(m-i,n-j) B(m-i,n-j) B、(i-m,j-n)(i-m,j-n)C C、(m+i,n+j) D(m+i,n+j) D、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A7.A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1), ABCD,.已已知知点点试试判判断断与

17、与的的位位置置关关系系 并并给给出出证证明明:A,B,C,D,AB CD,:AB=(1-0,0-1)=(1,-1), CD=(2-1.1-2)=(1,-1)1 (-1)-1 (-1)=0AB CDABCDAB CD 解解 在在直直角角坐坐标标系系中中做做出出四四点点由由图图形形猜猜想想证证明明如如下下 显显然然与与无无公公共共点点 y C A D0 B x 83 21 24 122.( , ),(, ),( , ),: (1)3 +;( )=, ;abca bca mbncm n 平平面面内内给给定定三三个个向向量量 回回答答下下列列问问题题求求 求求满满足足的的实实数数23 3 21 22 4 19 1 8 6220 63 21 24 1423 24242:(1) 3( , )(, )( , )(,)( , )(2)a( , ),(, )( , )(,)( , )(,)3=2=abcm