第5章IIR数字滤波器设计V3

1、第第5章章 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念5.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计5.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器5.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器5.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计5.1 基本概念基本概念 1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为： 01010( )()()()(),1

2、MNiiiiNMiiiiy nb x nia y nia y nib x ni a1010( )( )( )( ) ()NnnNmH zh n zy nh m x nmNkkMkkNiiiMiiizdzcbzazbzH1111010111)()()(图5.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 2数字滤波器的技术要求()()()jjjH eH ee图5.2 低通滤波器的技术要求0010)H(e60;lg20)H(elg20)H(e)H(elg2021)H(e3;-1lg20)H(elg20)H(e)H(elg20j2jjj0j1jjj0.,psspppssppdBAAdBAA5.2 模拟

3、滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 1.模拟低通滤波器的设计指标 及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有Ap, p,As和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，Ap是通带(=0p)中的最大衰减系数，As是阻带s的最小衰减系数，一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：0010)H(j60;)(jHl

4、g10)(jH)(jHlg2021)H(j3;)(jHlg10)(jH)(jHlg10s2sa2sa2a2a2a2a.,dBAAdBAAssppppp 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此2()( ) ()()()aasjaaHjHs GsHjHj 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj 图5.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系图5.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布21( )()1()aaNcHs Hssj 此式表明幅度平方函数有

5、2N个极点，极点sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje 将幅度平方函数|Ha(j)|2写s的函数： 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)的极点。 Ha(s)的表示式为 NkjkNkkacNkckcaessssHsssH212211010111归一化后：）即：归一化（NAsNApspspAAspspspNcssNcppspspkk/A/A210c210c101022110110lglgN11011011lg1011lg10/,另有：则：令： 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤： (1)根据技术指标p

6、,Ap,s和As，求出滤波器的阶数N。 (2)求出归一化极点sk，得到归一化传输函数Ha(s)。 (3)将s替换为s/c代入Ha(s) ，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 例5.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 求c=1的归一化极点3455016523754,jjjjjsesesesese将将sk代入归一化传输函数即得代入归一化传输

7、函数即得Ha(s) (3) 将Ha(s) 去归一化，求3dB截止频率c。10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads ss/c，代入Ha(s)，得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb 式 中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23613.3.模拟滤波器的频率变换模拟滤波器的频率变换 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通、带通、带阻滤波器的设计（1 1）低通到低通的频率变换）低通到低通的频率变换 截止频率c的低通G(p)到截止频

8、率c的低通H(s)的频率变换公式（2 2）低通到高通的频率变换）低通到高通的频率变换 低通到高通的频率变换公式1(5.3.2) 1()()H jG j(5.3.1) 如果已知低通G(j)，求高通H(j):图5.3.1 低通与高通滤波器的幅度特性 ccsppGsH模拟高通滤波器的设计步骤：模拟高通滤波器的设计步骤：(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按(5.3.1)将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的，各项设计指标为：低通滤波器通带截止频率p=1/p；低通滤波器阻带截止频率s=1/s；通带最大衰减

9、仍为p，阻带最小衰减仍为s。(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)将G(p)按照(5.3.2)转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q)中，得( )()cpsH sG p(5.3.3) 3-5P198s1表见或ccccsssssssssGsHsGsGsHsH注：已知模拟低通滤波器注：已知模拟低通滤波器(s)截止截止频率频率c，则有截止频率，则有截止频率c的高通的高通滤波器转换公式：滤波器转换公式： 例5.3.1 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。 解 高通技术要求：

10、 fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率低通技术要求：1,0.5pspsccffff11,23,15psspsdBdB 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模拟高通H(s)：33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 图5.3.2 带通与低通滤波器的幅度特性 表5.3.1 与的对应关系 112220/,/,/sssslluuluBBBB （3 3）低通到带通的频率变换）低通到带通的频率变换lu-B (5.3

11、.4) 由与的对应关系，得到：由上表p对应u，代入上式中，有上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。右边推导为已知低通G(j)，求带通H(j)的转换公式。-2021luu202up-(5.3.5) luul2spluul2202202pGsHspq-qpjq-jjpsss/Bqq代入，得去归一化，将得， 代入(5.3.6) 模拟带通滤波器的设计步骤：模拟带通滤波器的设计步骤：(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率u，带通下限频率l，下阻带上限频率s1 ,上阻带下限频率s2 ，通带中心频率20=lu，通带宽度B= u l，以及与以上边界频率对

12、应的归一化边界频率。(2) 确定归一化低通技术要求，即：s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s ，这样保证在较大的s处更能满足要求；通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。(3) 设计归一化低通G(p)。(4) 由(5.3.6)式直接将G(p)转换成带通H(s)。 112220/ ,/ ,/sssslluuluBBBB 3-5P198表见luul2cssppGsH注：已知模拟低通滤波器注：已知模拟低通滤波器(s)截止频率截止频率c，则有低通到带通，则有低通到带通滤波器的转换公式：滤波器的转换公式：22222010211,sspssss 例5.3.2 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=22

13、00rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 根据(5.3.4)计算得：0=5,s1=4.15,s2=6(2) 模拟归一化低通技术要求：222220103211,1.833,1.874sspsss 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有 取N=3，得(

14、4) 求模拟带通H(s)： 23652242330042224610000( )2(32)(4)(32)2SH ss B sBBsBB sBsBs 0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkN 12p2pp1pG23 lulu2ssppGsH（4 4）低通到带阻的频率变换）低通到带阻的频率变换图5.3.3 低通与带阻滤波器的幅频特性 表5.3.2 与的对应关系 l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，20=ul，阻带带宽B=u-l。相应的归一化边界频率为 u=u/Bl=l/Bs1=s1/

15、Bs2=s2/B20=ul (5.3.7) 根据与的对应关系，可得到：由上表p对应u，代入上式中，有上式称为低通到带阻的频率变换公式。利用该式将带阻的边界频率转换成低通的边界频率。右边推导为已知低通G(j)，求带阻H(j)的转换公式。220(5.3.8) 11lu202uup- lulussplululu202202pGsHssps/Bq-qqqpjq-jjp222ssB代入，得去归一化，将得， 代入(5.3.9) 模拟带阻滤波器的设计步骤：模拟带阻滤波器的设计步骤： (1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率l,上通带截止频率u，阻带下限频率s1，阻带上限频率s2，阻带中心频率0

16、2=ul，阻带宽度B=u-l，以及以上对应的归一化边界频率。(2) 确定归一化低通技术要求，即：s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s ，这样保证在较大的s处更能满足要求；通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。(3) 设计归一化低通G(p)。(4) 由(5.3.9)式直接将G(p)转换成带通H(s)。 112220/ ,/ ,/sssslluuluBBBB 3-5P198表见lu2lucssppGsH注：已知模拟低通滤波器注：已知模拟低通滤波器(s)截止频率截止频率c，则有低通到带阻，则有低通到带阻滤波器的转换公式：滤波器的转换公式：22222010211,sspssss 例5.3.

17、3 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解：(1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=4+21000025,B=u-l=2200; 根据(5.3.7)计算得： l=l/B=4.525, u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9, s2=5.1; 20=lu=25 (2) 归一化低通的技术要求：25dB3dB,4.954.95,1,sp202s1s1s20

18、2s2s2sp(3)设计归一化低通滤波器G(p):0.10.121010.05621014.95lg1.8,2lg1()21psspssppspspkkNNGppp (4) 带阻滤波器的H(s)为 402022022244022042222pGsH202sBsBsBsssssBp5.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关

19、系。 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(5.3.1) 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：1( )( )iNs ntaiih tAeu t(5.3.2) 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)等间隔采样，间隔为T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(5.3.3) 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 11

20、( )1iNis TiAH zez (5.3.4) 设ha(t)的采样信号用 表示，( )( ) ()aanhth ttnT 对 进行拉氏变换，得到: ( )aht 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(5.3.5) nsnTastnastnastaaenThdtenTtthdtenTtthdtethsH( )aht 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系，可用下式表示： sTze(5.3.6) 已知

21、模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足：( )aht()aHj1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 将 s=+j=0+j=j 代入上式，得由(5.3.5)式和(5.3.8)式得到:(5.3.7) (5.3.8) (5.3.9) 上式表明：将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(5.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(5.3.6)式可称为标准映射关系。 下面进一步分析这种映射关系。设jsjzre 按照(5.3.6)式: 最

22、后得到：jTj TreeeTreT 于是有：=0, r=1 0, r0, r12(),jM TsTTj TTTeeeeeM为整数注意z=esT为周期函数，可写成：(5.3.10) 图5.3.1 z=esT, s平面与z平面之间的映射关系 假设 没有频率混叠现象，即满足按照(5.3.9)式，将关系式s=j、=T代入得到：()aHj()0,/aHjT nh，则有：令：TjHeHze1TAzHnTThajN1i1Tsiai1()(),jaH eHjTT图5.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象 一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，(5.3.1)中将一对复共轭极点放在一起，即可

23、构成一个二阶基本节。1112211()sjs 极点 (5.3.11) 形式A对应的数字滤波器二阶基本节：1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e (5.3.12) 模拟滤波器的二阶基本节形式A：极点 (5.3.13) 形式B对应的数字滤波器二阶基本节： (5.3.14) 模拟滤波器的二阶基本节形式B：1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解：首先将Ha(s)写成部分分式：20.5012( )0.64490

24、.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj极点为：则H(z)的极点为：1212,s Ts Tzeze77720322407772032240.,.jsjs21 按照(5.3.4)式，并经过整理，得到：111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzzT=1sT=0.1s 也可以直接按照(5.3.13),(5.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(5.3.13)式的形式，如极点s1,2=1j1,则112222111110.5012( )0.

25、6449()()aHsss再按照(5.3.14)式，H(z)为111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH zz eTz e图5.3.3 例5.3.1的幅度特性5.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字低通滤波器低通滤波器 正切变换实现频率压缩： 121tan()2TT (5.4.1) (5.4.2) TsTsT21jT21jT21jT21j11111111eeT2eejeejT2T21cosT21sinjT2js112121 再通过 转换到z平面上，得到：1s Tze(5.4.3) (5.4.4) 上式中T仍是采样间隔，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到

26、s1平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有 此为双线性变换。111z1zT2ssT2sT2z图5.4.1 双线性变换法的映射关系 令s=j,z=e j，并代入(5.4.3)式中，有2 1121tan2jjejTeT (5.4.5) 图5.4.2 双线性变换法的频率变换关系图5.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 kkkkzzCakkkkazbzbzbzazazaasHsHTCsBsBsBBsAsAsAAsH 22112211011s221022101211则：令：, 表5.4.1 系数关系表 例5.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图5.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字

27、滤波器。 解：首先按照图5.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为1( ),aHssRC （1）利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 11( )1TH zez 图5.4.4 RC低通滤波器电路 （2）利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图5.4.5(a),(b)所示。图5.4.5 H1(z)和H2(z)的网络结构H1(z)H2(z)111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT图5.4.6 数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性 利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR

28、IIR数字低通滤波器的步骤：数字低通滤波器的步骤： (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。 (2)将数字低通滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。 21tan()2TT 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器Ha(s)从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。 例5.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别

29、用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。 解：(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标： p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通技术指标： T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB 设计巴特沃斯低通滤波器：先计算阶数N及3dB截止频率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg 0.0925.884lg 1.5psspspssppspkNkN 取N=6。为求3dB截止频率c,将p和p代入(5.2.17)式得c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰

30、减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。 根据阶数N=6，查表5.2.1，得到归一化传输函数为：234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp 为去归一化，将p=s/c代入上式即得到实际的传输函数Ha(s), 62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并根据(5.3.11)、(5.3.12)或(

31、5.3.13)、(5.3.14)式得到：1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz图5.4.7 用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性 (2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为： p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 设计巴特沃斯低通滤

32、波器。 阶数N计算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取N=6。为求c,将s和s代入(5.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，且c已经超过通带指标。 根据N=6，查表5.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)，与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)：2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：图5.4.8 用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性5.5 数字高