完全平方定律和平方差定律的应用

1、完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。左边:右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a, 是公式中的b(5+6x)(-5+6x) 中 是公式中的a, 是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x 2-12、(-4x+ )(-4x)=16x 2-49y 2第一种情况：直接运用公式1. (a+3 ) (a-3)2.( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1998 X20022、 498

2、 X5023、 999 X10014、1.01 X0.995、30.8 X29.26、(100- 1 ) X (99-)337、(20- 1) X (19- 8 )99第三种情况：两次运用平方差公式1、( a+b ) (a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x- 1 )(x2+ 1)(x+ 1) 242第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、(-2x-y ) (2x-y)2、(y-x)(-x-y)3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含

3、三项1. (a+2b+c ) (a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p) 完全平方公式公式：=(a-b) * 22 ; (a+b) 2=(a-b) 2,2=2-21、(x y)一 -22、(3x 2y)3、(1a b)125、( 3ab 1c)2 36、(?X33、2y)7、1x1)_24、( 2t 1)8、(0.02x+0.1y) 2语言叙述：两数的. 左边：右边：二、利用完全平方公式计算:(1 ) 102 2(2)197 2三、计算：(1) (x 3)2 x222(2) (xy 1) (xy 1)224、(a+b) 2 -

4、 (a-b )一、计算下列各题：(2)y (x y) (3) x y x y (x y)四、计算：(1) (a 3)(a 3) (a 1)(a 4)2(3)(2a 3)2 3(2a 1)(a 4)五、计算:(1) (a b 3)(a b 3)(2)(x y 2)(x y 2)(3) (a b3)(a b3) (4) x 2y 3z x 2y 3z再逆用平方差公式，则问题迅捷可解六、拓展延伸巩固提高221、若 x 4x k (x 2),求 k 值。22、右x 2x k是完全平万式，求k值一 1 c 213、已知a 3 ,求a 的值aa巧用平方差公式解题平方差公式(a b)(a b)22a b 用

5、语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。在解题过程中，若能灵活运用平方差公式可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考:例1、计算:10 2(4中2解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将一，1- 一，_10、斗a看作50,将b看作49,逆用平方差公式,1111则问题化繁为简，事半功倍,c 1、2 ，八10、2 ， 1 1c10、，c 1八10、(50 )(49 ) = (5049 )(5049 )11111111111120011，一 2 一一 ，一 ，例 2、计算：10099.9 100.1解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将 99.9 100

6、.1变形为(100 0.1)(100 0.1),再运用平方差公式，则问题迅速获解2 222210099.9 100.1= 100(100 0.1)(100 0.1) 100(1000.1 ) 0.01例3、计算:一 ，200620052 20072 2_22_22解析：直接计算，数值较大，可先将分母200520072变形为(20051) (20071),2006220062200622006 2004 2006 2008200622006 (2004 2008)2006212 2006 2006 2原式=oz(2005 1) (2007 1) (2005 1)(2005 1) (2007 1)

7、(2007 1)1111例 4、计算：(1 ”)(1 -2)(1 万)(1 t)23410解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解原式=(11 3-2 22)(1/ 3)(124353344113)(1/9 11110 10 210(1 1> 110)1120计算：(1)、9.9 10.12 一 一 2(3)、10.19.9.、_ 2_ 4_ 8(4)、试确定(2 1)(21)(21)(2_16_ 32_641)(21)(21)(21) 1 的未位数1的未位数例 5、试确定 2(3 1)(321)(34

8、 1)(38 1)(3161)(3321)(364 1)解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将 2变形为(3-1 )再连 续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。原式=(3 1)(3 1)(32 1)(34 1)(381)(316 1)(332 1)(3641) 1=(32 1)(32 1)(341)(38 1)(316 1)(3321)(3641) 14481632646464=(31)(31)(31)(31)(31)(31) 1 =(31)(31) 1=3128 1 13128(34 )328132因为未位数是1的任何次嘉的未位数还是1所以 2(3 1)

9、(32 1)(341)(38 1)(3161)(332 1)(364 1) 1 未位数是 1一 一 2 一(2)、20062005 2007完全平方公式的变形和应用一、 完全平方公式常见的变式,.、2,.、2.(1) (ab)(ab)4ab222(2)a2b2(ab)22ab(3)(a b)2 (a b)2 2(a2b2)(4) 2ab (a b)2 (a2 b2)211 2 a2 (a -)2 2 aa二、完全平方公式变形的应用例 1 已知 a b 8, ab 16 c2,求(a b c)2008 的值。解：由变式(1)得：22_ 2422(a b) (a b) 4ab 84(16 c )

10、4c2 一 2所以(ab) 4c0 所以 ab0, c02008所以(abc)02222例2已知(x y) 7,(x y) 3,求x y的值。解：由变式(3)得：22一22 (x y) (x y) 7 3x y 522,2244 , 一例3已知x y 1,x y 2,求xy的值。解：由变式(4)得：_222. 2 一2xy (x y) (x y )12,11 所以xy 一 2再由变式(2)得：4422 222x y (x y ) 2x y22 2 (2)22例4已知xc , c413x 10 ,求x 的值。x解：由题意知x 0.21 ,口在x2 3x 10的两边都乘以一得:x由变式（5）得:2

11、1,1 22x22 (x -)2 2 ( 3)2 2x x4121 22x4(x2)22 722 47xx2_ 2x 例1若x,y为有理数，且满足x 3y 12y 12 0 ,求y的值.分析：欲求yx的值，须求出x,y的值.由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的.，一 22解：x 3y 12y 12 0,22x2 3(y2 4y 4) 0,x2 3(y 2)2 0,x2 > 0,( y 2)2 > 0 , - x2 0,( y 2)2 0,即 x 0, y 2,;yx =2 0=1 . 2. 22例 2 已知 a b 2,b c 5,求 a b c ab b

12、c ac 的值.分析：显然，本题若按一般方法，即先求出a,b,c的值，再代入多项式求值，将十分困难.而我们发现，将求值式乘以2,则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式.因此，解决本题的关键是如何利 用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解.解： a b 2,b c 5, a c 3,2221222a b cab bc ac = - (2a2b 2c 2ab 2bc 2ac)1. 2.22= a bb ca c2=12 2 5232 =19 .222例3试说明不论x, y为何值时 代数式x2 y2 4x 6y 14的值总是正数.22分析：本题实质耽是证明 x y 4x 6y 14

13、 >0.观察代数式不又t发现，将 14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的.-22解：x y 4x 6y 14=x2 4x 4 y2 6y 9 1 _2_2_2_2=(x 2)(y 3)1 . (x 2) >0,( y 3) >0,2 ,- 2 . 22(x 2) (y 3)1 >0.即代数式x y 4x 6y 14的值息是正数.平方差公式专项练习题A卷：基础题一、选择题1 .平方差公式(a+b ) (a b) =a 2 b (3+1 ) (32+1 ) (34+1 )(32008 +1 )中字母a, b表示()A.只能是数

14、B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.以上都可以2 .下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是()A. (a+b ) (b+a )B. (a+b ) (ab)C . ( a+b ) ( b a)D.(a2 b)(b 2+a )3 33 .下列计算中，错误的有()(3a+4 ) (3a 4) =9a 2 4 ;(2a2 b) (2a 2+b ) =4a 2 b2;(3 x) (x+3 ) =x 2 9;(一x+y ) ( x+y ) = ( x y) (x+y ) = x2 y2.A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个4 .若 x2 y2=30 ,且 xy= -5,贝U x+y 的值是

15、()A. 5 B. 6 C.6 D.5二、填空题5 . ( 2x+y ) ( 2x y) =.6 . (3x2+2y2) ( =9x 4-4y4.7 . (a+b -1) (a b+1 ) = () 2 ( 2.8 .两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是.三、计算题219.利用平方差公式计算：20 X21 一.3310 .计算：(a+2 ) ( a2+4 ) ( a4+16 ) (a -2).B卷：提高题一、七彩题1 .(多题思路题)计算：340162.(一题多变题)利用平方差公式计算:2009 X2007 2008 2(1) 一变：利用

16、平方差公式计算:200720072 2008 2006(1 ) ( 2+1 ) (22+1 ) (24+1 )(22n+1 ) +1 (n 是正整数)；(2)二变：利用平方差公式计算:_220072008 2006 1二、知识交叉题3 .(科内交叉题)解方程： x (x+2) + (2x+1 ) (2x 1) =5 (x2+3 ).三、实际应用题4 .广场内有一块边长为 2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米, 则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5 .下列运算正确的是()A, a3 +a3=3a 6B. (a) 3 ( a) 5= -a8C. (

17、一 2a 2 b ) 4a= - 24a 6bD . (一 一 a - 4b) ( a - 4b) =16b 一 一 a3396 .计算：(a+1 ) (a1) =.C卷：课标新型题1 .(规律探究题)已知 x，1,计算(1+x ) (1x) =1 x2, (1x) ( 1+x+x 2) =1 x3,(1x) ? ?1+x+x 2+x3) =1 - x4.(1)观察以上各式并猜想：(1x) (1+x+x 2+xn) =. (n为正整数)(2)根据你的猜想计算：( 1 2) (1+2+2 2+2 3+2 4 +2 5) =.2+2 2+2 3+2 n= ( n为正整数).(x 1 ) (x99+

18、x 98+x 97+x 2+x+1 ) =.(3)通过以上规律请你进行下面的探索：(a b) (a+b ) =.(a b) (a2+ab+b 2) =.(a b) (a3+a2b+ab 2+b 3) =.2 .(结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母m , n和数字4.3 .从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，？各剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图171所示，然后拼成一个平行四边形，如图 1 72所示，分别计算这两个图形 阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下.完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有：2. 2,.、2_ .a

19、b(ab)2aba2b2(ab)22ab(a b)2 (a b)2 4ab2222_a b c (a b c) 2ab 2ac 2bc1、已知 m 2+n 2-6m+10n+34=0,求 m+n 的值2、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y都是有理数，求 xy的值。2/2 a b23 .已知(a b) 16,ab 4,求与(a b)的值。3练一练A组：22.2、1 .已知(a b) 5,ab 3 求(a b)与3(a b )的值。2.22 .已知a b 6, a b 4求ab与a b的值。22.2 2.2 .3、已知a b 4,a b 4求ab与(a b)的值。4、已知(a+b) 2

20、=60 , (a-b) 2=80 ,求 a2+b 2及 ab 的值B组： 22. 2. 2 .5.已知 a b 6,ab 4,求ab 3a b ab 的值。22126 .已知 x y 2x 4y 5 0,求(x 1) xy 的值。-1 c ,21 , 一7 .已知x 6 ,求x2的值。xx221、418、x 3x 1 0 ,求(1 ) x (2) x4xx229、试说明不论x,y取何值，代数式x y 6x 4y 15的值息是正数。C组： 一一 2,2.22、,.、210、已知三角形 ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式3(a b c ) (a b c),请说明该三角形是什么三角形

21、？整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法 (B卷)一、请准确填空1、若 a2+b2 2a+2b+2=0,则 a2004 +b2005 =.2、一个长方形的长为(2a+3 b),宽为(2a3b),则长方形的面积为.3、5 (ab)2的最大值是 当5 (ab)2取最大值时，a与b的关系是,4 .要使式子0.36 x2+ 1y2成为一个完全平方式，则应加上 .45 .(4am+1 6am)+2am1=.6 .29 X31 X(302+1)=.,.。17 .已知 x2- 5x+1=0,贝1J x2+ = =.x8 .已知(2005 - a)(2003 -a)=1000,请你猜想(2005 -

22、a)2+(2003 - a)2=.二、相信你的选择9 .若 x2 x m=( x m)(x+1)且 x网,则 m 等于A. -1B.0C.1D.210 .(x+q)与(x+ 1)的积不含x的一次项，猜测q应是5A.51B.-5C 1C.5D.-511 .下歹U四个算式：4x2y4 +1xy=xy3; 16a6b4c+8a3b2=2 a2b2c;9x8y2+3x3y=3 x5y;04(12 m3+8 m2 4m)+( 2m)= 6m2+4 m+2 ,其中正确的有A.0个B.1个C.2个D.3个12 .设(xm 1yn+2) (x5my 2)= x5y3,则 m n 的值为A.1B.- 1C.3D

23、.-313 .计算(a2b2)(a2+b2) 2 等于A.a42a2b2+b4B.a6+2 a4b4+b6C.a6-2a4b4+b6D.a8-2a4b4+b814 .已知(a+ b)2=11, ab=2,则(a b)2 的值是A.11B.3C.5D.1915 .若x27xy+M是一个完全平方式，那么 M是A.7 y22B.49 y22C.49 y24D.49y216.若x,y互为不等于0的相反数,n为正整数，你认为正确的是A.xn、yn 一定是互为相反数B.(2)n、(1)n 一定是互为相反数 x yC.x2n、y2n一定是互为相反数D.x2nT、一 y2nT 一定相等三、考查你的基本功17.

24、计算(1)( a2b+3 c)2(a+2 b -3c)2;1c -(2) ab(3 b)2a(b b2) (- 3a2b3);2(3)- 2 100 X0.5 100 X( 1)2005 +( 1)5;(4) (x+2 y)(x- 2y)+4( x-y)2- 6x +6x.18 .(6分)解方程x(9x-5)-(3x-1)(3x+1)=5.四、生活中的数学19 .(6分)如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2 km/s(俗称第二宇宙速度)，则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为20 8 X106 m/h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？五、探究

25、拓展与应用20.计算.(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 - 1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 2 1)(22+1)(2 4+1)=(2 4 1)(2 4+1)=(2 8 1).根据上式的计算方法，请计算(3+1)(3 2+1)(3 4+1)(332+1) 3的值.2“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程， 有些问题局部求解各个击破,无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎 刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：22_1、当代

26、数式x 3x 5的值为7时，求代数式3x 9x 2的值.3-2、已知 a -x 20, b8值。33 ,八2,22.-x 18,c - x 16,求：代数式abcabac bc 的3、已知x y221 ,求代数式(x 1)(y1)的值4、已知x53_.2时，代数式ax bx cx 8 10,求当x2时，代数式5.3ax bx cx 8 的值5、若 M 123456789 123456786, N试比较M与N的大小123456788 1234567872326、已知a a 10,求a 2a 2007的值.平方差公式基础题一、选择题1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是()A.(x+y)( -x-y)B.(2x+3y)(2x 3z)C.(一 a一 b)(a 一 b)D.(m n)(n m)882 .下列计算正确的是(A.(2x+3)(2x 3)=2x 2B.(x+4)(x - 4)=x 2 4C.(5+x)(x -6)=x 2-30D.(1+4b)( -