最新新人教版数学人教版因式分解-讲义

1、精品文档志远教育八年级数学因式分解辅导教案因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能, 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上, 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘

2、法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a2-b 2a2-b 2=(a+b)(a-b);(2 ) (a ± b) 2 = a 2±2ab+b2a 2± 2ab+b2=(a ± b)2;(3 ) (a+b)(a2-ab+b 2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b 2);(4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b3+c3-

3、3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab -bc-ca);例.已知a, b, c是AABC的三边，且a2+b2+c2 = ab+bc + ca ,则AABC的形状是()A.直角三角形B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形解： a2 b2 c2 = ab bc ca = 2a2 2b2 2c2 = 2ab 2bc 2ca:(a -b)2 (b -c)2 (c -a)2 0abe三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式： am+an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a,后两项

4、都含有b,因此可以考虑将前两 项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m +n) +b(m +n)每组之间还有公因式！=(m n)(a b)例 2、分解因式：2ax 10ay +5by bx解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组解：原式=(2ax10ay) (5bybx) =2a(x -5y) -b(x -5y) =(x -5y)(2a -b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组原式= (2ax - bx) (10ay 5by) =x(2a - b) - 5y(2a - b) =(2a - b)(x -5y)练习：分

5、解因式1、a2ab+acbc2、 xy - x - y +1精品文档(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：x22 一 y2+ax+ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完 后就能继续分解，所以只能另外分组。22斛：原式=(x - y ) (ax ay)=(x y)(x -y) - a(x - y)=(x y)(x - y a)例4、分解因式：a2 -2ab +b2 -c2解：原式=(a2 -2ab - b2) -c222=(a -b) -c=(a b c)(a b c)练习：分解因式 3、x2 x 9y2 3y4、x2 - y2 - z2-2yz综合练

6、习:3223(1) x + xy-xy - y2.2.(2) ax -bx +bxax + ab(4) a2 -6ab 12b 9b2 -4a(5) a4 -2a3 a2 -9(6) 4a2x -4a2y -b2x + b2y(11) a2(b +c) +b2(a +c) +c2(a +b)+2abc (12) a(3) x 6xy 9y 76a8a-1 +b3 +c3 -3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 x2 + (p+q)x + pq=(x + p)(x+q)进行分解 特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两

7、因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？ 例.已知0<a&5,且a为整数，若2x2+3x + a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,都要求&=-4ac >0而且是一个 完全平方数。于是= 9 - 8a为完全平方数，a = 1例5、分解因式：x2+5x+6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),从中可以发现只有2X3的分解适合, 即 2+3=5。12解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 31 -1： ：3= (x+2)

8、(x+3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要 等于一次项的系数。例6、分解因式：x2 -7x+611(-1) -1-6+ (-6) = -7解：原式=x2 +(-1)+(6)x+(1)(-6)= (x-1)(x-6)练习 5、分解因式(1)x2 +14x+24 a215a+36(3)x2 +4x-5 x2 -10x -24练习6、分解因式x2 +x -2(2) y2 -2y -15(二)二次项系数不为1二次三项式 条件：(1) a = a1a2(2) c = c1c2(3) b = a1C2 a2 G2ax bx ca1a2-c：b =

9、 ag azG精品文档分解结果：ax2 bx c = (a1x c1)(a2x c2)例7、分解因式：3x (x y)2 -3(x y) -10 2_(6) m -4mn 4n 13m 6n 2 -11x+10分析：1-23-5(-6) + (-5) = -11解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x -5)练习7、分解因式：2222(1) 5x +7x6(2) 3x -7x +2(3) 10x -17x+3(4) 6y +11y + 10(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2 8ab -128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行

10、分解1 .8b1y -16b8b+(-16b)= -8b解：a2 -8ab -128b2 = a2 8b (-16b)a 8b (-16b)=(a 8b)(a -16b)练习 8、分解因式 x2 -3xy +2y2(2) m2 -6mn +8n2(3) a2 - ab - 6b2(四)二次项系数不为1的齐次多项式精品文档例 10、x2y2 - 3xy 2把xy看作一个整体1 X -11-2例 9、2x2 -7xy 6y21 -2y2 -3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式二(x -2y)(2x -3y)(-1)+(-2)= -3 解：原式=(xy -1)(xy -2)2 2(2) a

11、x -6ax +8练习9、分解因式：(1) 15x2+7xy4y2综合练习 10、(1) 8x6-7x3-122(2) 12x -11xy-15y(4) (a+b)2-4a-4b + 3(5) x2y2 -5x2y -6x2精品文档22 x 4xy 4y 一 2x_4y_3(9) 4x2 -4xy-6x 3y y2 -102222(8) 5(a b) 23(a -b ) -10(a - b)2222(10) 12(x+y) +11(x -y ) +2(x-y)精品文档思考：分解因式：abcx2 (a2b2 -c2)x abc五、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 -

12、1)x-2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：(1)设 2005= a ,贝原式二ax2 (a2 1)xa= (ax 1)( x - a)= (2005x 1)(x -2005)(2)型如abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式= (x2 7x 6)(x2 5x 6) x2设 x2+5x+6 = A,贝 U x2 +7x +6 = A+2x,原式=(A 2x) A x2= A2 2Ax x222_ 2=(A x) =(x 6x 6)练习13、分解因式(1) (x2 xy y2)2 -4xy(x2 y2)22(2) (x 3x 2)(4x 8x

13、 3) 90(3) (a2 1)2 (a2 5)2 -4(a2 3)2例 14、分解因式(1) 2x4 -x3 -6x2 -x+21,并且系数成观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少 “轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=x2(2x2 -x -6 -1 三) = x2 2(x2 4) (x 1)-61x xxx设 x+1=t,贝 Ux2+；=t2-2xx.原式二x2 2(t2 -2) -t 6=x2(2t2 -t -10 )2,2.2/2丫1、=x (2t-5j(t+2)=x 2x 十一一5 x

14、+十 2 i 工xKx)2_2 J1 _2 _ 一 2 _. = x 2x+-5 ix x+ +2 i =(2x -5x+2/x +2x+1)Ix)1xJ2 _=(x 1) (2x 1)(x -2)(2) x4 -4x3 x222 x xy _6y x 13y -6 = x xy _6y (m n)x (3n -2m)y-mn 4x 1解：原式=x2(x2 -4x +1 +- +口)= x2x2 +，一4 x + 1 x x2Ax2 八xj1 1c设x- = y,贝Ux + = y +2xx.原式=x2(y2 -4y 3) = x2(y-1)(y-3)11122=x (x -1)(x- 3)

15、= x - x -1 x - 3x -1x x练习 14、(1) 6x4 +7x3 _36x2 _7x+6(2) x4 + 2x3 + x2+1+2(x + x2)六、添项、拆项、配方法。解法2添项。原式=x3 - 3x2 -4x 4x 4，2 一 、，、=x(x - 3x - 4) (4x 4)2=x(x 1)(x -4) 4(x 1) =(x 1)(x -4x 4)_ 2=(x 1)(x -2)例15、分解因式(1) x3 -3x2 +4解法1拆项。原式=x3 T -3x2 32 -=(x 1)(x -x 1) -3(x 1)(x -1)3 _=(x 1)(x -x 1 -3x 3)2=(

16、x 1)( x -4x 4)_ 2=(x 1)(x -2)(2) x9 x6 x3 -3解：原式二(x9 -1)十(x6 -1) + (x3 -1)= (x3 - 1)(x6x3 1)(x3 7)(x3 1) (x3 7)= (x3 一 1)(x6x3 1 x3 1 1)=(x 7)(x2 x 1)(x6 2x3 3)七、待定系数法。例 16、分解因式 x2 - xy -6y2 x 13y -6分析：原式的前3项x2 +xy-6y2可以分为(x+3y)(x-2y),则原多项式必定可分为 (x 3y m)(x -2y n)解：设 x2 xy -6y2 x 13y - 6 = (x 3y m)(x

17、-2y n)22. (x 3y m)(x -2y n) =x xy - 6y - (m n)x (3n -2m)y 一 mnm n = 1 m= 21对比左右两边相同项的系数可得 3n 2m = 13 ,解得3n = 3mn = -6"原式=(x 3y _2)(x _2y 3)例17、(1)当m为何值时，多项式x2 y2 +mx +5y 6能分解因式，并分解此多项式(2)如果x3+ax2+bx+8有两个因式为乂+1和乂+2,求a+b的值。(1)分析：前两项可以分解为(x+y)(x_y),故此多项式分解的形式必为(x y a)(x y b)解：设 x2- y2mx5y6=(xy a)(

18、x - y b)贝 Ux2_y2mx5y_6=x2y2 (a b)x (ba)y ab'a + b = ma = -2'a = 2比较对应的系数可得：b-a=5 ,解得：4b =3或4b = -3ab = -6m = 1 m = -1.当m=±1时，原多项式可以分解；一当m=1时，原式=(x+y _2)(x _ y+3)；当 m = 1 时，原式=(x + y+2)(x - y-3)(2)分析：x3+ax2+bx+8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个 因式必为形如x + c的一次二项式。解：设 x3ax2bx8= (x1)(x 2)(x c)贝U

19、x3ax2bx8= x3(3 c)x2 (23c)x 2ca = 3 + ca = 7<b = 2 +3c 解得1b =14 ,2 c =8c = 4a b=21练习17、(3)已知：x2 2xy 3y2+6x 14y十p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。(4) k为何值时，x2 2xy + ky2+3x5y+2能分解成两个一次因式的乘积，并 分解此多项式。因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时， 应注意以下几点。精品文档精品文档1 .因式分解

20、的对象是多项式；2 .因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3 .分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4 .公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5 .结果如有相同因式，应写成哥的形式；6 .题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7 .因式分解的一般步骤是：(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提， 其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项) 等方法；下面

21、我们一起来回顾本章所学的内容。1.通过基本思路达到分解多项式的目的例 1.分解因式 x5 x4 +x3 x2 +x 一1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5 x4 +x3和x2 +x _1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 x5-x4, x3 -x2 , x-1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式=(x5 -x4 x3) f(x2 -x 1)3 . 22二x (x -x 1) (x -x 1)= (x3 -1)(x2 -x 1)=(x -1)(x2 -x 1)(x2 x 1)解二：原式=(x5 -x4)

22、(x3 -x2) (x -1)4 2=x (x -1) x (x -1) (x -1)=(x - 1)(x4 x - 1)=(x - 1)( x4 2x2 1) - x2=(x - 1)(x2 -x 1)(x2 x 1)2.通过变形达到分解的目的例1.分解因式x3 +3x2 -4精品文档解一：将3x2拆成2x2 +x2 ,则有原式 =x3 2x2(x2 - 4)2= x2(x 2) (x 2)(x -2)_2_二(x 2)(x2 x -2)2二(x -1)(x 2)23.在证明题中的应用解二：将常数_4拆成_1一 3,则有 原式=x3 -1 (3x2 -3)2三(x -1)(x2 x 1) (x -1)(3x 3).、 2、二(x -1)(x ，4x，4)2二(x -1)(x 2)2例：求证：多项式(x2 4)(x2 _10x+21) +100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明 这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：(x2 -4)(x2 -10x 21) 100=(x 2)(x -2)(x -3)(x -7) 100二(x 2)(x -7)(x -2)(x -3)