1.2微积分基本定理ppt课件

1、6.2微积分基本定理微积分基本定理一一种种表表达达函函数数的的新新方方法法 .)()(babadttfdxxf且且存存在在则则有有定定积积分分上上可可积积在在若若badxxfbaf)(,因因而而有有上上可可积积在在,xaf存存在在,bax xadttf)( 定义定义,)()(,)(baxdttfx，baxfxa则则上上可可积积在在设设称称为为变变上上为为自自变变量量的的函函数数定定义义了了一一个个以以积积分分上上限限，x.或或积积分分上上限限函函数数限限的的定定积积分分，.,)()(称称为为变变下下限限的的定定积积分分类类似似地地baxdttfx，bx .统称为变限积分统称为变限积分与与 变上

2、限的定积分变上限的定积分一一、 定理定理1 上的连续函数上的连续函数是是与与则则上可积上可积在在若若,ba，baf 证明证明: ,baxxx，ba 只只要要上上任任一一确确定定的的点点对对按按变变上上限限积积分分的的定定义义有有.)()()( xaxxxxxadttfdttfdttf .,)(,batMtfbaf 可可设设上上有有界界在在因因时时有有当当于于是是0, x;)()(xMdttfdttfxxxxxx , 0lim.00 xxMx由由此此得得到到时时则则有有当当.,.上上处处处处连连续续在在的的任任意意性性由由连连续续在在点点即即证证得得bafxx 定理定理2 (原函数存在定理原函数

3、存在定理)上上在在则则可可变变上上限限积积分分上上连连续续在在若若,ba，baf且且处处可导处处可导，.,),()()(baxxfdttfdxdxxa 分析分析: 前提前提)()(,)(,xfxbaxbaf 可可导导且且在在连连续续在在只须只须).(lim,0 xfxbafx 连连续续在在abxyoxx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x 定理定理2 上上在在则则可可变变上上限限积积分分上上连连续续在在若若,ba，baf.,),()()(baxxfdttfdxdxxa 且且处处可导处处可导， dttfdttfdttfxaxxxxa )

4、()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x原函数存在定理的重要性(i) 解决了原函数的存在性问题解决了原函数的存在性问题(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系沟通了导数与定积分之间的内在联系(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据为寻找定积分的计算方法提供了理论依据精僻地得出精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数上的连续函数一定存在原函数,且且, ba 是是 的一个原函数的一个原函数.)(x )(xf为微分学和积分学架起了桥梁为微分学

5、和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学因此被称为微积分学基本定理基本定理.)(x 定理指出定理指出 是是 的一个原函数的一个原函数,而而 又是变上限又是变上限)(xf)(x 积分积分,故故 baaadxxfadxxfb)()(,)()( . )()()( baabdxxf 例1) dcos (xatt dcosddxattx .cosx ?) dcos ( xaxx定积分与积分变量的记号无关定积分与积分变量的记号无关. )(xF .cos) dcos ( xxxxa例2 . )( , d)1sin()( 2 0 2xFttxFx求设解 , )()( , d)1sin()( , 2 0 22xg

6、xFttugxuu则令xuugxFdd)()( 故)()d)1sin(2 0 2 xttu . )1sin(22)1sin(42xxxu这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?推论推论 )()()()(xxfxxf )()()()(xxdttfdxdxF ( (3 3) ) dttfxFxx )()()()( 则则)(xF 的的导导数数为为如如果果)(tf连连续续，)(x 、)(x 可可导导，（1）)()()()()(xfdttfxFdttfxFxaax 则则（2）)()()()()()()()(xxfdttfxFdttfxFxaxa 则则2213sin xxdt dtdx例221si

7、nxxdt dtdx解解222sin2 sin(1)xxx2222sinsin(1)(1)xxx莱莱布布尼尼兹兹公公式式牛牛顿顿 定理定理3上上的的在在是是且且上上连连续续在在若若函函数数,)()(,baxfxFbaf则则一一个个原原函函数数， baaFbFdxxf).()()(分析分析: 前提条件前提条件.)()2(,)()1(,存存在在原原函函数数存存在在连连续续在在xfdxxfbafba .)(就就是是它它的的一一个个原原函函数数 xadttf微积分基本定理微积分基本定理二二、 证明证明: 连连续续在在因因为为,)(baxf的的一一个个原原函函数数是是故故)()(xfdttfxa ，xf

8、xF的的原原函函数数是是又又)()().(0)(aFCdttfa，xaa 得得到到则则由由在在上上式式中中令令移移项项得得).()()(aFxFdttfxa 即即得得令令b，x ).()()(aFbFdxxfba 此式称为定积分的基本公式此式称为定积分的基本公式.又称牛顿又称牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式常表示为常表示为.)()(CdttfxFxa 所所以以babaxFdxxf)()( )()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( (1) 一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区

9、区间间,ba上上的的增增量量. (3)当当ba 时时，)()()(aFbFdxxfba 仍仍成成立立. (2)求定积分问题转化为求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题的的问题.例题 例例4 .sin baxdx计算计算 解解 : xxsin)cos( 且且，bax连续连续在在因因,sinbabaxxdxcossin 所所以以.coscosba 例例5 以及以及直线直线计算由抛物线计算由抛物线3, 12 yxxy.S坐坐标标轴轴所所围围图图形形的的面面积积 解解 : 如如右右图图由由于于抛抛物物线线oxy13与直线与直线)2 , 1(相交于点相交于点(1,2)故所围曲边梯形面

10、积故所围曲边梯形面积.)(30 dxxfS . 31,3, 10, 1)(2xxxxxf其其中中 10312)3()1(dxxdxxS312102)23()3(xxxx .313 .)(30 dxxfS . 31,3, 10, 1)(2xxxxxf其其中中例例6 6 设设 0,0,1)(2xexxxfx 31)2(dxxf求求解解 1131)(2)2(dttftxdxxf令令 eettdtedtttt13731)1(100130101102 例例7 7 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2c

11、os xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内为单调增加函数内为单调增加函数. . 10202)(2)()(dxxfdxxfxxxf例例9 9 知知 求求)(xf解解21