高中数学2.2.2抛物线的简单性质二教案北师大选修1-1

1、第二章圆锥曲线与方程222抛物线的简单性质教学过程：一、复习引入:1. 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物图形ky-F一一yaFI/xy1c厂/10>xif方程2y2px(p0)2小/y2px(p0)2x2py(p0)2x2py(p0)焦占八、(P,0)2(上,0)2（0卫）2(0,上)2准线x2x卫2y卫2y卫2线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程：相同点：抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的丄，即2P卫.442不同

2、点：（1）图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为2px、左端为y2;图形关于Y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为2py，左端为（2）开口方向在y轴（或y轴）正向时，焦点在y轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在y轴（或y轴）负向时，焦点在y轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1. 范围2因为p>0,由方程y2pxp0可知，这条抛物线上的点M的坐标（x,y）满足不等式x>0所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2. 对称性以y代y,方程y22pxp0不变，所以这条

3、抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.3. 顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y22pxp0中，当y=0时，x=0,因此抛物线y22pxp0的顶点就是坐标原点.4. 离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1.对于其它几种形式的方程，列表如下:标准方程图形顶点对称轴焦占八'、八、准线离心率y22pxp00,0x轴x卫2e1y22pxp00,0x轴x卫2e12小x2pyp010,0y轴0,卫2yie1x22pyp00,0y轴0'iy1e1注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线

4、不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明.(反证法)假设抛物线y2=2px存在渐近线y=mx+n,A(x,上-一占I*八'、：yA0y)为抛物线H-*A-Or则有y2px和yi=mx+n.yiymxn2pAo(x,yi)为渐近线上与A横坐标相同的点如图,当m0时，若xt+8，贝Uyiy当m=0时，ynv;2px|，当xt+s，贝Uyiy

5、这与y=mx+n是抛物线y2=2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形.分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p.解：由题意，可设抛物线方程为y22px，因为它过点M(2,2.2),所以(2.、2)22p2，即p2因此，所求的抛物线方程为y24x.将已知方程变形为y2、.x，根据y2、x计算抛物线在x0的范围内几个点的坐标，得x0i234y024描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这

6、条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线.例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置.分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值.解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程是y22px（p>0）.由已知条件可得点A的坐标是（40,30），代入方程，得3022p40,45所求的抛物

7、线标准方程为y2兰x.2例3过抛物线y22px的焦点f任作一条直线m，交这抛物线于A、+yCBxjrHL，EOFx匸AB两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切.分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.证明：如图.设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线1引垂线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,则IAF|=|AD|,|BF|=|BC|所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH丄I，因而圆E和准线I相切.|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|四、课堂练习：21.过抛物线y4x的焦点作直线交抛物线于A治，力,BX2,y2两点，如果x1x26，那么|AB|=

8、(B)(A)10(B)8(C)6(D)42已知M为抛物线y4x上一动点,F为抛物线的焦点,定点P3,1,则|MP|MF|的最小值为（B）(A)3(B)4(C)5(D)63.过抛物线yax2a0的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的11长分别是p、q，则丄一=（c）pq14（A）2a（B）（C）4a（D）-2aa4过抛物线y24x焦点F的直线I它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是2（答案：y2x1）5定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标*5i125(答案：m,M到y轴距离的最小值为一)424五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等,六、课后作业：1根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图.(1) 顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于&(2) 顶点在原点，焦点在y轴上，且过P(4,2)点.(3) 顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P(m,3)到焦点距离为5.2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2,B2，则/A2FB等于3. 抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16,求抛物线方程.24. 以椭圆-y21的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在5准线所得的弦长.