1.2向量的内积ppt课件

1、中南财经政法大学信息系中南财经政法大学信息系第四章第四章 向量空间向量空间定义定义4.44.4维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxxnnTyxyxyxyx 2211. ,）记记作作（的的内内积积与与为为向向量量称称yxyxyxT一、内积的定义及性质内积的运算性质内积的运算性质 :,为为实实数数维维向向量量为为其其中中 nzyx);,(),()1(xyyx );,(),()2(yxyx );,(),(),()3(zyzxzyx . 0),(0, 0),)(4( xxxxx时时有有当当且且仅仅当当非非负负性性. 1齐齐次次性性. 2向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：;

2、 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx 二、向量的长度及性质 . 或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数定义定义4.5 4.5 ,),(22221nxxxxxx 令令 Tnxxxx,21 施瓦茨不等式施瓦茨不等式柯西柯西 . 3.),(yxyx .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量单位向量与向量的单位化：单位向量与向量的单位化： 2。即令即令可单位化，可单位化，任意非零向量任意非零向量 三角不等式三角不等式. 4.yxyx 三、正交向量组的概念及求法 夹角的概念夹角的概念.),(yxyx 施施瓦瓦茨茨不不等等式式由由柯柯西西 1),( yxyx1),(1 y

3、xyx即即.),(arccos,),(cosyxyxyxyxyx 即即，令令的的夹夹角角为为与与记记向向量量例例1 1 求下列向量的夹角求下列向量的夹角.20,0121 解解: :2121),(cos 222220012001 0 .20arccos 3 3 正交向量组的概念正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组2 2 正交的概念正交的概念. ,0),(正正交交与与称称向向量量时时当当yxyx 与与任任何何向向量量都都正正交交；则则若若由由定定义义知知 0 1.xx, 2.与自身正交的向量只有零向量。与自

4、身正交的向量只有零向量。注：注：4 4 正交向量组的性质正交向量组的性质, 0021111 T由由.01 从而有从而有. 02 r 同同理理可可得得.,21线线性性无无关关故故r 使使设有设有r ,21证明证明02211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T线性无关.线性无关., , , ,则则非零向量,非零向量,是一组两两正交的是一组两两正交的, , , ,维向量维向量若若rrn2121性质性质1性质性质2.222yxyxyx 时，时，与与当当正交正交5 5 向量空间的正交基向量空间的正交基我们仅讨论实数域上的我们仅讨论实数域上的n n维向量空间维向量空间 . .nRn

5、n维向量空间维向量空间 的基：的基：nR 中任意n个线性无关nR.n，向向量量21.,的的一一组组正正交交基基是是则则称称组组是是两两两两正正交交的的非非零零向向量量且且的的一一组组基基是是向向量量空空间间若若nnnnnRR212121 的正交基的正交基: :nR例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量 121,11121 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.3 321 , 即即 0203213232131xxxxxxTT 则有则有0),(),(3231 ., 0, 213213正正交交且且分分别别与与设设 Txxx解解解之得解

6、之得. 0,231 xxx则有则有若令若令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.321 ,6 6 标准正交基标准正交基.e ,e ,e,e ,e ,e,Re ,e ,ennnnn的的一一个个标标准准正正交交基基是是称称则则量量两两两两正正交交且且都都是是单单位位向向如如果果个个基基的的一一是是向向量量空空间间维维向向量量设设定定义义n212121 R .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2

7、 , 1, 1),(. 4 , 3 , 2 , 1, 0),(jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321的的一一个个标标准准正正交交基基为为所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一个标准正交基的一个标准正交基也为也为R（1正交化，取正交化，取 ，11ab ,),(),(1111222bbbbaab ,21的一个基的一个基为向量空间为向量空间若若Vaaar7 7 求标准正交基的方法求标准正交基的方法称称为为这这样样一一个个问问题题价价等等与与使使位位向向量量的的单单就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的一一个个标标准准

8、正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设, 21212121rrrreeeeeeVV ., 21准准正正交交化化这这个个基基标标把把r 111122221111),(),(),(),(),(),( rrrrrrrrrbbbbabbbbabbbbaab.,111等等价价与与且且两两两两正正交交那那么么rrraabbbb（2单位化，取单位化，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一个个标标准准正正交交基基为为那那么么Veeer222231111333),(),(),(),(bbbbabbbbaab 例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组

9、)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交规范化正交规范化.解解 先正交化，先正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程1111222),(),(bbbbaab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再单位化，再单

10、位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe222231111333),(),(),(),(bbbbabbbbaab 例例.,014,131,121 321量规范正交化量规范正交化特正交化过程把这组向特正交化过程把这组向试用施密试用施密设设 aaa解解;11ab 取取 12164131;11135 222231111333),(),(),(),(bbbbabbbbaab 1111222),(),

11、(bbbbaab 1113512131014.1012 再把它们单位化，取再把它们单位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eee例例.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.),(),(1111223 a于于是是得得其其中中, 2),( , 1),(1112 ,101

12、2 a.12121101211103 a证明证明EAAT 为为正正交交阵阵，则则若若A定义定义 ., 1正交矩阵正交矩阵为为称称则则即即满足满足阶方阵阶方阵若若AAAEAAAnTT 定理定理 nAA 21 按按列列分分块块将将四、正交矩阵 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交AA EnTnTT ,2121EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111 njijijiijjTi, 2 , 1, 0;, 1 当当当当 即即A的列向量组是两两正交的单位向量组。的列向量组是两两正交的单位向量组。例例 判别下列矩阵是否为正

13、交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 注：该定理说明若注：该定理说明若n n阶方阵阶方阵A A为正交阵，则为正交阵，则A A的列向量的列向量组是组是 的一组标准正交基的一组标准正交基nR解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 9794949491989498912正交

14、矩阵的性质正交矩阵的性质:2.2.若若A A是正交矩阵，那么是正交矩阵，那么.1 A1.1.若若A A是正交矩阵，那么是正交矩阵，那么.1TAA 3.3.若若A A，B B是正交矩阵，则是正交矩阵，则ABAB也是正交矩阵。也是正交矩阵。4.4.若若A A是正交矩阵，那么是正交矩阵，那么 也是正交也是正交矩阵。矩阵。*1,AAAT 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A ;21TAA ;1EAAT ;3单单位位向向量量的的列列向向量量是是两两两两正正交交的的A .4单单位位向向量量的的行行向向量量是是两两两两正正交交的的A3 3将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化五、小结1 1向量内积的定义与性质；向量内积的定义与性质；2 2向量正交与正交基，标准正交基的概念；向量正交与正交基，标准正交基的概念；4