高中常见数列求通项公式

1、高中常见数列通向公式的求法数列在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的很好载体，高考对数列知识的考察也逐年增重，数列在高中阶段有着重要的作用。新课标将数列从大纲版高考考题的压轴题放到解答题的第一个或者第二个题位置，也是对数列考查的常规解法作进一步的强调，而数列通向公式的求法是考察该知识点的一个热点。本文想总结一下在高中阶段，求数列的通项公式的常用方法和策略。高中常见求通项公式的方法有：定义法、公式法、迭加法、迭乘法、构造法(构造等差或等比数列，其中用到待定系数法)以及倒数法。1定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例1等差数列an是递增数列，前n项和为

2、Sn，且a!,a3,a9成等比数列，S5a2求数列a.的通项公式.解：设数列an公差为d(d0)Tai,a3,a9成等比数列，二a；玄念，即(ai2d)2a,ai8d)d2aidtd0，-S5a5由得：a1a1d5a1(a14d)2an3(n1)3|n555点评：此类方法着重考查学生对等差数列和等比数列定义和公式的应用，利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。2.公式法：已知Sn(即印a2Lanf(n)求a.，用作差法：(n2)。aS1,(n1)nSnSn1，例题2.数列an的前n项和为的通项公式。Sn,a1=1,an12&(*N)，求an解：由a1=1

3、，a22S=2，当an1an=3，因此an是首项为a2=2,2),而a1=1不满足该式1(n=1)所以an=23n2(n2)。1n2时an=SnSn1=2(an1q=3的等比数列。故an=23an)得2(nan点评：利用公式S1Sn1n1n2求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并.3.迭代法，分为累加法和累乘法累加法：若an1anf(n)求anan(ana*i)(anian2)L(a2ai)ai(n2)。例3已知数列an满足an1an2n1a11，求数列an的通项公式解.由an1an2n1得an1an2n1则卩an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1(221

4、)(211)12(n1)12(n2)1L2(n1)(n2)L21(n1)12(n1)12(n1)(n1)12nan1an2n1转化为而求出所以数列an的通项公式为ann2。点评：本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1进(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1即得数列an的通项公式。这个问题通常和数列的求和练习在一起，下面这个求通项之后转化为用裂项相消来求和。11aa1匚an1an2a例题4已知数列an满足2，nn，求anan1an解：由条件知：分别令n1,2,3,(n1)(a2aj(a3a?)(a4a?)1111n2nn(n1)nn1，代入上式得(n1)个等式累加之，

5、即(anan1)1、11、Z11、(1)()()22334d1ana11-所以n11d1a1an一122n312n(亡亠累乘法：形如电an1f(n)(n=2、3、4),且f(1)f(2)f(n1)可求，则用累乘法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式,然后用这种方法求解。已知空anf(n)求an，用累乘法：an例5.已知数列anan1解：由条件知an(n1)个等式累乘之，即亞？a1满足n1anan1an1an2nann1La1(na1，求an。分别令1,2,3,a3a4a2又a1a323anan12an3n2)。，(n1)，代入上式得an1a1n例6已知数列an满足an1项公式。2(n1)

6、5nan,ai3，求数列an的通an解：因为12(n1)5%，anan1a3a2L一一aian1an2a2a12(n11)5n12(n21)512L2n1n(n1)L325an2n(n1)52n!3，所以an(n1)(n2)L2(21)21an1，则an2(n1)5n522(11)513所以数列an的通项公式为an32n1n(n51)n!.点评：乩2(nan公式。本题解题的关键是把递推关系1)5n亘也l，进而求出an1an2an12(n1)5nan转化为a3a2电a1a1即得数列an的通项5.已知递推关系求an，用构造法(等比数列、构造等差)构造等比数列法原数列an既不等差，也不等比。若把an

7、中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出an。该法适用于递推式形女口an1=banc或an1=ban(1)构造等比数列进行求解通项公式形如ankan1b、a.ka.1bn(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an0ankan1b解法：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其池，再利用换元法转化为等比数列求解。bi例7.已知数列an中，a11，设递推公式an12antt3.故递推公式为an132an3解：2ana13an12an3求an3可以转化为an1t2(ant)即an132(an3)令bnan3则bn14,且Sbn是以2门1b4为

8、首项，a2n13所以an23.例8已知数列an满足a11，an1项公式；*解：Qan12an1(nN),an1bn所以42n12为公比的等比数列，则2an1(nN求数列an的通anan12(an1),是以a112为首项,2n.2为公比的等比数列。即a(2)构造等差数列进行求解通项公式n*2n1(nN).构造等差数列ankambn解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1，得：半q卫？窪1引入辅助数列bn(其中bnqqqan)n丿，q得：Sibn再应用ankan1b的方法解决.qq例9项公式。已知数列an满足an12an32nai2，求数列an的通n解：an12an32两边除以121是以22

9、为首项,aian2n3an1an32，则2n12n2，an12n1，得2n13以2为公差的等差数列，由等差数列即1(n1)3I的通项公式，得22，所以数列an的通项公式为!)2n2o%(|n本题解题的关键是把递推关系式32，说明数列3n公式求出2n点评:an1ann1n22nan12an32转化为是等差数列，再直接利用等差数列的通项1(n1)12，进而求出数列an的通项公式。例10.已知数列1an1Tan解:在2an中,(2)a11an112an令bn2?an则bn1n1n1两边乘以2nbn11得:,解之得：bn2n1?am(2n?an)1anbn所以“2n6.倒数法形如1的递推数列都可以用倒

10、数法求通项。b例11:例:等差数列，并求an解：1已知数列an满足an的通向公式an13an1an1ananai1,anan3an1，求证：an是an即an3.an是首项为3n2,1,an公差为；13n23的等差数列。例题12已知数列an,解：把原式去倒数变形得-务是首项为1，d=1an1an1anN，求an二anan11的等差数列故an(n1)(1)n1变式练习公式。an已知数列an满足2an，ai1，求数列an的通项1解：求倒数得K1112anan1an1an1丄K为等差数列,1首项a11，公差为2，1an1),an7.构造数列an1an，使其为等比数列an2pan1qan1该类型中递推公

11、式为an2=pan1+qan（p、q均为常数）（又称二阶递归），含有三项的递推关系解法：将原递推公式an2=pan1+qan，转化为an2-an1=（an1-an）并且由p解出、因此可以得到数列an1-an是等比数列。q例题13:已知数列an满足a1的通项公式。1,a?3an2解：设an2an1an1an1，即an2an1an17则an2an1an1,与an23an12an1比较后的得3,22,1或1,2当1,2时an2an12an1an1，an1an是以3an12an1，求ana12为首项，2为公比的等比数列an1an2nananan1an1an2a2a1a1a22门12n222n1（n2）.an2n1也得到2经验证，n=1时适合上式,同理，当2，1时,综上知an21.点评：解决此类问题主要是要把构造的等比数列找出来，也就是题目中的的值求出来。552an2=3an1-3an求数列an532例题14已知数列中a仁1,a2=3的通项公式an。解：令务2_an1=2(an1.an3解得:22则由此可得an2_.an1=3(%1_3n),a2-a1=3n12a