高代题库试题与答案

1、一填空题(每小题三分共15分)1A,B为n阶可逆矩阵，C=OO，则C1=2 A为n阶矩阵，A=1，则(3A)1A*=3设f是一个n元负定的二次型，则二次型f的秩等于.4 设1,2,.n线性无关，W=L(1,2,.n)，则W的维数为。5 数量矩阵A=aE的特征根为。二单项选择题(每小题三分共15分)1设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则()(A) 当m>n时，必有行列式AB0(B) 当m>n时，必有行列式AB=0(C) 当n>m时，必有行列式AB0(D) 当n>m时，必有行列式ab=02设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=ftB,贝U()(A) AB的秩与AC的秩不一定相等。(

2、B) AB的秩与AC的秩一定相等。(C) AB的秩与AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超过C的秩。3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是()A)r=1;(B)r=2;(C)r=m(有限数)；(D)r=1或4 数域F上n维向量空间V有()个基(A) 1；(B)n；(C)n!;(D)无穷多.5 设向量空间W=(a,2a,3a)|aR,则W的基为：()(A) (1,2,3,);(B)(a,a,a);(C)(a,2a3a);(D)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)三 (15分)2 2371 10X=1求X1 214四 （15分）把二此型f(,x2,x3)=x1x2+x1,

3、x3+x通过非退化线性替换化成平方和五 （15分）求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1)1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1)2)1(2,1,0,1)，21,1,3,7)六（10分）求矩阵A=的特征值与特征向量七证明题（15分）1设A为n阶矩阵，A3=2E,证明B=A2-2A+2E可逆，并求B12 设A,B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3设U是n维向量空间V的非平凡子空间,证明：存在不止一个V的高等代数（下）试题（9）一填空题（每小题三分共15分）1 若A=a,贝UAA=.12342 A=1245，则秩A=。1 10123 t满足寸二次型x2+4x；+x

4、；+2tx1x2+10x1x3+6x2x3为正定二次型。4 形如A=0a的矩阵（aF）作为M2（F）的子空间，a0其维数为。5设n阶矩阵A满足A=A，则A的特征根只有.二单项选择题（每小题三分共15分）的1 A,B为n阶矩阵，则下列式子成立的是（）（A）AB=A+B（B）（A+B）1=A1+B1（CAB=BA（D若AB=B+E贝U有BA=B+E2 A,B,C为n阶矩阵，AB=BC=CA=EUA2+B2+C2=（）(A)3E(B)2E(C)E(D)0矩阵3设1,2,.S与1,2,.m均为向量空间V中向量，L(1,2,.n)=L(1,2,.S)，则下列结论成立的是()(A)S=m;(B)1,2,.

5、S可由1,2,.m线性表出；（C）1,2，S是L（1,2,.m）的一个基（D）1,2,.S线性相关时，必有1,2,.m也相关+4设W1，W2都是V的子空间，则下列结论成立的是（）(A) W1+(WW2)=W(B) W1+(WW2)=W+W2(C) W1+(WW2)=W1(D)W1+(WW2)=W25设A=5151，则A的特征根为（A）1（二重）?（B）5（二重）(C)-4，6?（D）1，5三（15分）122已知A=212,求AA,B为n阶方阵，ABA=B1,证明秩（E-AB）+秩（E+AB=n.及(A*)1221四（15分）把二此型f(x1,x2,x3)=x12证明：若A为正定阶矩阵，则A1也

6、为正定阶矩阵。3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且V=V1+V2，证明：存在+2x22+4x23+2x1x2+4x2x3通过非退化线性替换化成平方和五（15分）在PV的非平凡子空间WVi,1=1,2,使得V=WW中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数1=（2，0，1，2）2=（-1，1，0，3）3=(0，2，1，8）4=（5，-1，2，1）六(10分)求矩阵310A=410的特征值与特征向量482七证明题（15分）高等代数（下）试题（8）一填空题（每小题三分共15分）1 A二,B为秩等于2三阶矩阵，则秩AB=。a?2a2a?2A=b1b2,B=b1b2,A=2,则

7、2AB2223 实二次型f(x,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3,x2,x3)=x1+2x1x2-2x2-x3的秩为;符号差为4 是向量空设间V中的一个向量，贝U的负向量由唯一确定。5齐次线性方程组（EA）x=o的R是A的征向量。二单项选择题（每小题三分共15分）1 A,B,C都是n阶矩阵，且ABC=I,则（）成立（A）CBA=I（B）BAC=I（C）ACB=I（D）BCA=I2 A,B为n阶对称矩阵，下列命题不正确的为（）（A）A+B对称；（B）AB对称；（C）Am+Bm对称；（D）AB+BA寸称。3 设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）(A)r=1；(B)r=2；

8、(C)r=m（有限数）；(D)r=1或4数域F上n维向量空间V有()个基(A)1；(B)n；(C)n!(D)无穷多1 55设A=51，则A的特征根为（）（A）1（二重）；（B）5（二重）；（C）-4，6；（D）1,5三 （15分）解矩阵方程XA=B+2X其中5 102 31340A=216B=012四（15分）f(x把二此型通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)六 (10分)求矩阵4100130A=证明：如果V=V>V2，V1=V11V12，则V

9、=V11VV2.61的特征值与特征向量七 证明题(15分)1设A为n阶矩阵，A0,且A=0,B为n阶可逆矩阵，证明当AX=XB时，必有B=02设A实对称矩阵，证明：当t充分大后，tE+A是正定矩阵。高等代数（下）试题a21A=b1b22a2a2B=b1b2A=2,则2A021211130-A2,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=。23 二次型f(xi,x2,x3)=xi+2xix2+2x2x3则f的秩为。正惯性指标为o2224 t满足寸二次型2x1+x2+5x3+2tx1x2-2x1x3+4x2x3为正定二次型。1aa.aa1a.a5Ann=aaa.1特征值为二单项选择题(每小题三分共15分)

10、的2221 A,B,C为n阶矩阵，AB=BC=CA=EMA+B+C=()(A) 3E(B)2E(C)E(D)O矩阵2设A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则一定有()11(A) (A*)1=AA(B)A1=AA*1*A*1AA1*(C)AA=AA=AI(D)(A)=鬥A3设W，W2都是V的子空间，则不一定V的子空间的是（）(A)(1,2,3,)(B) (a,a,a)；(C)(a,2a3a)(D) (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)04设0是矩阵A的特征根，并且有A0，则01是的特征根(A)-A(B)/*A(C)A(D)A(A)WW(B)W1W2(C)W1+W(D)W1+Va5设向量空

11、间W=(a,2a,3a)(R,则w的基为:三（15分）1a12aa11n.n1n2.1A=aaa求A四（15分）把二此型22f（x1,x2,x3）=x1-3x2-2X1x2+2x1x3-6x2X3通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(2,5,1,5)2(1,2,2,3)1(1,2,1,2)2(3,1,1,1)J3(1,01,1)六（10分）求矩辽阵210121A=012的特征值与特征向量七证明题(15'分)1设A,B为n阶矩阵，A2=B2=1且A+B=0，证明（A+B不可逆。2为mn阶实矩阵，B=E+A/A,证明：当0时，

12、B为正定阶矩阵3 A为n阶实反对称矩阵，即A/=-A，证明：若是矩阵A的特征根，0则-也是矩阵A的特征根高等代数(下)试题填空题(每小题三分共15分)1 A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，贝UAA*=。4523412201111-A22223 实二次型f(x1,x2,x3)=x1+2X1X2-2x2-x3的秩为;符号差为4 数域F上任意n维向量空间V都可表为一维子空间的直和25 设n阶矩阵A满足A=A，则A的特征根只有。二单项选择题(每小题三分共15分)1设A是3矩阵,则2A等于()(A)-2A(B)2A(C)-8A(D8A2 A,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I,则()成立(A)CBA=I(

13、B)BAC=I(C)ACB=I(D)BCA=I3 设1,2,.S与1,2,.m均为向量空间V中向量，L(1,2,.n)=L(1,2,.S)，则下列结论成立的是()(A)S=m;(B)仆2S可由2m线性表出;(C)1,2,.S是L(1,2,.m)的一个基(D)1,2,.S线性相关时，必有1,厂m也相关4设向量空间W=(a,2a,3a)aR,则W的基为:(A)(1,2,3,)(C)(a,2a3a)(B) (a,a,a)；(D)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)0003001322001OOO-A设5则A的特征根是(A)1(四重);(B)1(二重)，2(二重)(C) 2(二重)，3(二重

14、);(D)1(二重)，2,3三(15分)*1设A是A的伴随矩阵，X满足AX=A+2X,求矩阵X,其中A=1111111四 （15分）把二此型f（,x2,x3）=2x1x2+2x1,x3-6x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五 （10分）在P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数1 （2,1,3,1），2（1,2,0,1）3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)六(15分）求矩阵122311A=221的特征值与特征向量七证明题（15分）1设A为n阶反对称矩阵，（即AT=-A）,E-A,E+A皆可逆,2 如果A1-Am是n阶正定矩阵，k1-km是正数,证明：kiAi+k

15、mAm也是正定矩阵。3 证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和高等代数（下）试题一填空题（每小题三分共15分）EnO1 A=EnEn,En为门阶单位矩阵，则A1=。21 *2 A为n阶矩阵，A=，则（3A）A=。3正定二次型的特征根都是。4设1,2,n线性无关，w=L（1,2,.n），则W的维数为5 齐次线性方程组（EA）x=0的R是A的特征向量。二单项选择题（每小题三分共15分）1设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则（）（A）当m>n时，必有行列式AB0（B）当m>n时，必有行列式AB=0（C）当n>m时，必有行列式AB0（D）当n>m时，必有行列式AB=

16、02 A,B为3阶矩阵，A=（,22,33）B=（,2,3）,，2，3三维列向量，A=18,B=2,AB=（）3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）（A）r=1；（B）r=2；（C）r=m（有限数）；（D）r=1或4设仆|21S与1121m均为向量空间V中向量，L(1121.n=L(11“.S），则下列结论成立的是（）(A)S=m;(B)1121.S可由1121.m线性表出；(C)1121S是L(112,.m）的一个基(D)112,.S线性相关时，必有112,.m也相关5设向量空间W=（a,2a,3a）aR,则W的基为:(B)(a,a,a)；(D)(1,0,0),(0,2,0),

17、(0,0,3)（A）（1,2,3,）（C）（a,2a3a）三（15分）解矩阵方程XA=B+2X其中5 102 31340A=2=(0,2,1,8)6B=0=(2,0，1,2)2四(15分)把二此型f(x1,x2,x3)=x2 221 +2x2+4x3+2x1x2+4x2x3通过非退化线性替换化成平方和五（15分）在P4中，求由向量i（1=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数2=(-1,1,0,3)4=(5,-1,2,1)的特征值与特征向量七证明题（15分）1设A为n阶反对称矩阵,(即at=-a),E-A,E+A皆可逆,2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3 设U是n维向量

18、空间V的非平凡子空间，证明：存在不止一个V的子空间W使得v=uw高等代数（下）试题（4）一填空题（每小题三分共15分）11 若A=A，贝uA=.2设A为n阶矩阵，秩A=n-1,B非零，n阶矩阵，AB=O,则秩B=。2223 t满足寸二次型x1+4x2+x3+2tx1x2+10x1x3+6x2x3为正定二次型。0a4 形如A=a0的矩阵（aF）作为M2（F）的子空间，其维数为<5 数量矩阵A=aE的特征根为。二单项选择题（每小题三分共15分）的1A1B为Jn阶矩阵，则下列式子成立的是()AB|A|B(E)=1+11(F)(A+B)1A1f1=A+B(GAB=BA(H若AB=B+E贝U有BA

19、=B+E2222 A,B，C为n阶矩阵，AB=BC=CA=EUA+B+C=()(A)3E(B)2E(C)E(D)O矩阵3设11S与11厂m均为向量空间V中向量，L(112,-n)=L(1121S)，则下列结论成立的是()(A) S=m;(B)1121S可由1121m线性表出；(C) 1121S是L(1121m)的一个基(D) 1121S线性相关时，必有1121m也相关+4设W，W2都是V的子空间，则下列结论成立的是()(A)W+(WW2)=WW2(B) W1+(WW2)=W+W(C) W+(WW2)=W(D)W1+(WW2)=W25设A=，则A的特征根为（A）1（二重）；（B）5（二重）（C）

20、-4，6；（D）1，5三（15分）1a12aa1n.n1n2A=aaa.1求A1四（15分）把二此型22f(x1,x2,x3)=x1-3x2-2x1x2+2x1x3-6x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1)1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1)2 )1(2,1,0,1)，2(1,1,3,7)六 (10分)求矩阵1231的特征值与特征向量A=22七 证明题（15分）3 211设A为n阶矩阵，A=2E,证明B=A-2A+2E可逆，并求B2设A是实对称矩阵，证明：当t充分大后，tE+A是正定矩阵3设V1与V2是V的互不相同的

21、非平凡子空间，且V=Vi+V2，证明：存在V的非平凡子空间WVi，1=1,2,使得V=WW2高等代数(下)试题一填空题(每小题三分共15分)1221设A为n阶矩阵，A=2(B+E),且A=A，则B=。a22a2a22 A=blb2,B=blb2,A=2,则2AB=。223 二次型f(x1,x2,x3)=x1-2x1x2+x2+3x1x3的矩阵是4 是向量空设间V中的一个向量，贝U的负向量由唯一确定。5 设是F4的两个线性变换,=(x1,x2,x3,x4),()=(0,x1,x2,x3)贝卩2()=。二单项选择题(每小题三分共15分)2221 A,B,C为n阶矩阵，AB=BC=CA=EMA+B+

22、C=()(A)3E(B)2E(C)E(D)O矩阵2 A,B为n阶对称矩阵，下列命题不正确的为()(A)A+B对称；(B)AB对称；(C)Am+Bm对称；(D)AB+BA寸称。3 复数域C对于数的乘法与加法可以构成()上的向量空间(A)复数域C;(B)实数域C;(C)有理数域Q;(D)任意数域F4 数域F上n维向量空间V有()个基(A)1;(B)n；(C)n!;(D)无穷多5数域F上n维向量空间的维数为r,11nV,且任意V中向量可由112,.n线性表出,则下列结论成立的是(D)r>n(C)(15分)2 31 021四(15分)把二此型f(x1,x2,x证明：每一个n维向量空间V都可表为n

23、个一维子空间的直和)=x1x2+x1x3+x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)六(10分)求矩阵210121A=012的特征值与特征向量七证明题(15分)1设A为n阶矩阵，A0,且Am=0,B为n阶可逆矩阵,证明当AX=XB时，必有B=012 设A,B都是n元正定矩阵，试证：A也是正定矩阵。高等代数(下)试题一填空题(每小题三分共15分)1221 设A为n阶矩阵，A=2(B+I),且A=A,贝UB=。2A=°11,B为秩等于2的三阶

24、矩阵，则秩AB=。23 二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x1x2+2x2x3则f的秩为<正惯性指标为。3011t34A=124的一个特征值为2,则t=1aaaa1aa5Ann=aaa.1特征值为二单项选择题(每小题三分共15分)的1设A,B分别是mn,np矩阵，则§A是()(A)mp矩阵(B)pm矩阵(C)nn矩阵(D)nm矩阵2设A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则一定有()1*A1IA*(A)AA=AA=AI(B)A=IAA11(C)(A-)1=Aa(D)(A*)1=AA1-3 W1,W2都是线性空间V的子空间，则下列关系式不一定成立的是()(A)W1W2W1,W1W

25、2W2(B)W1W1+W2,W2w+w(C)W1+WWW2,(D)W1ww+w04设特征根0是矩阵A的特征根，并且有A°01则是()1(A)-A(B)A*(C)A(D)A5 B为mn矩阵，则方程组BX=O只有零解是B，B=O为正定矩阵的()(A)充分条件(C)充分必要条件(B)必要条件(D非充分条件也非必要条件三(15分)*4设A是A的伴随矩阵，X满足AX=A+2X,求矩阵X,其中A=1四(15分把二此型f(x1,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(2,5,1,5)2(1,2,

26、2,3)1(1,2,1,2)2(3,1,1,1)3(1,01,1)六(10分)求矩阵4 100130A=361的特征值与特征向量七证明题(15分)1设A,B为n阶矩阵，A2=B2=I,且A+B=0,证明(A+B不可逆。2 设A为mn阶实矩阵，B=E+A/A，证明：当0时，B为正定矩阵。/03 A为n阶实反对称矩阵，即A=-A，证明：若是矩阵A的特征根,0则-也是矩阵A的特征根高等代数(下)试题一填空题(每小题三分共15分)1设A是一个n阶方阵，且Am=0,则(E-A)(E+A+Am1)=2设A为n阶矩阵，且秩A=r,P,Q为n阶可逆矩阵，则秩(AQ=秩(APQ=3 二次型f(x1,x2,x3)

27、=-6x1x2的矩阵是4 设W1,W2是有限维线性空间V的子空间，W,W2,W1W2W+W2之间的维数公式为。5设。是矩阵A的一个特征根，且A0,则J是的一个特征根。二单项选择题(每小题三分共15分1设A，B,C均为n阶矩阵，则下列论断正确的有()若AB=BA则(A) 若AB=AC贝UB=C(B) A(B+C=(B+CAmnmn(C) AA=A22(D) (A+B(A-B)=A-B2设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=ftB,贝U()(A) AB的秩与AC的秩不一定相等。(B) AB的秩与AC的秩一定相等。(C) AB的秩与AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超过C的秩。3设W，W2都是V

28、的子空间，则不一定V的子空间的是()(A)WW(B)W1W2(C)W*W(D)W1+V4 设w=(a，0,0)aFW2=(0，b,c)b,cF、w3=(a，b，0)a，bF则下列结论不成立的是()3(A)dimW+W=F(B)W2+w是直和(C)W+W+W"=F(D)W1+W2是直和4设是向量空间V的一个线性变换，则下列结论成立的是()(A) 一定有特征根，从而有特征向量。(B) 有特征根，但无有特征向量。(C) 若有特征根，则一定有特征向量。D)不一定有特征根，但一定有特征向量15分)1221已知A=1*,求A及(A)四(15分)把二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1,

29、x3-6x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量i(I=1,2,3,4)生成的子空间的基与维数1(2,1,3,1)，2(1,2,0,1)3 (1,1,3,0)，4(1,1,1,1)六(15分)A=求矩阵511602311的特征值与特征向量七证明题(15分)11设A,B为n阶矩阵，且ABA=B，证明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n2 如果A1-Am是n阶正定矩阵，k1-km是正数,证明：kiAi+kmAm也是正定矩阵。3 证明：如果V=VV2,V>=WV12，则V=ViiV12V2.高等代数（下）答案1,E2,r3,5A14,dimW1+dimW2=dim(W

30、1+W2)+dim(W1w2)122三（15分）已知A=212221122100解：（A日212010221001121009922010992210019991122A1:12A92211,C2,A3,A4,B5,C四(15分)求A1.2*及(A)112210003621040092214分1122=27(A*)1：12A27213-6x2x3把二次型f（x1,x2,x3)=2x1x2+2x1,x通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f（x1,x2,x3）的矩阵011212103103A=130230100100010110001001X1w1w2W3X2w1w22分X3W3五（10分）2

31、分在P4中，求由向量i（|=1,2,3,4生成的子空间的基与维数。20100220201112010001f(X21,x2,x3)=2w1-2w2-6w；200020006八6分1111100011(2,131),2(1,2,0,1)3 (113,0),4(1,1,1,1)211122112010解:30313011111001000000003110201，3，4是L(1，23维数为3六（15分）求矩阵511A=602311511解：62=（i3111100分431203分4）的一组基3分的特征值与特征向量3=06分矩阵的特征值与特征向量1=2=3=233x1x2x30解方程组6x12x22

32、x303分3x1x2x30A的特征向量为k1(1,3,0)+k2(0,1,1)七证明题(15分)1设A,B为n阶矩阵，且ABA=B1，证明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n证明：因为ABA=B1，所以ABAB=E(E-AB)(E+AB)=0秩(E-AB)+秩(E+AB)=n秩(E-AB)+秩(E+AB)秩(E-AB+E+AB)=n2所以，秩(E-AB)+秩(E+AB)=n1分2如果A1-Am是n阶正定矩阵，k1-km是正数，证明：k1A1+kmAm也是正定矩阵。证明：A1Am是n阶正定矩阵，所以XA,X0XAmX021分X(k1A1+kmAm)X02所以，k1A1+kmAm也是正定矩阵。3证明

33、：如果VVV2,V1=V11V12，则v=V11V12V2.证明：显然有V=V11V12+V2.设1112+2=0因为(1112)+2=0，V=V1V2所以1112=0，2=0有因为，V1=V11V12，所以11=12=0从而，V=V11V12V2.高等代数（下）答案(2)一I2,23,324,65，1=1-(n-1)a,2=n=1-a二1B，2，A3C4，D5，C三（15分）设A*是A的伴随矩阵，X满足A*X=A1+2X，求矩阵X，其中111111A111A=10111101解：A=:20114分1011110*A=20113分1*1分X=A（A-2E)3111X=405分四（15分）把二此

34、型f（x1,x2,x3）=x1x2+4x1x3-62x3通过非退化线性替换化成平方和。10221032230100010解A=0013分002244P=f(x1,x121202,X100110,X=PY,123)=y2-4Y22+24y3五（15分）求由向量，生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(2,5,1,5)2(1,2,2,3)1(1,2,1,2)2(3,1,1,1)3(51,01,1)解:=X11+X22=-y11-y22-y334分解方组组的秩为46分所以dim(W1W2)=1，2分（53，119，-19，-134）是WW2的一组基。3分六（10分）A=O阵136矩求413

35、的特征值与特征向量解:2)=03分4 1001303 61矩阵的特征值与特征向量1=2=1,3=-20解方程组X13x110x22x26x22x110x20x-!5x203为6x23x30得A的征向量为k1(-2,1,0)T+k2(0,0,1)七证明题（15分）2设A,B为n阶矩阵,2A=B=1且A+B=0,证明(A+B)不可逆。证明:AEEB=ABBAAB=AB（IA+IB所以（A+B=0，（A+B不可逆。2=0所以2设A为mn阶实矩阵，B=证明：XBX=X（/E+AA)XEX0XA/AX=-1，XBX=X(E+A/A)X所以，当0时,3A为n阶实反对称矩阵,证明:EA=(-1)/E+AA,

36、证明:B为正定矩阵即A/=-A，证明:A)/0时，B为正定矩阵0是矩阵0A的特征根，则-也是矩阵A的特征根0若是矩阵A的特征根，则也是矩阵A的特征根0高等代数（下）答案3-20O(0,0,xi,X2)1,E2,123,1,B,2,A3,A,4,B,5,A三（15分）223711011214X=求X223100110010心121001解：（AE）2分1100100431200111014分1003130103230013244分3133231324A=71114X=A=四（15分）把二此型f（X1,X2,X3）=X1X2+X1X3+x2X3通过非退化线性替换化成平方和。X1y1yX1y1y解：

37、令X3y33分f(X1,X2,X3)=222(y1y3)2-y2-y34分4分非退化线性替换为X1Z1Z2Z3X1Z1Z2Z3X3Z34f(x1,x2,x3)=z21-z2-Z3五（15分）求由向量生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数i(3,1,2,1)2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)2(2,3,1,6)解：=x11+x22=-y11-y224解方组组的秩为34所以dim(W1W2)=1，21+2=122W1W2，31+2是WW2的一组基。2分分分分分六（10分）求矩阵210121A=012210121解：012=（2）（22)的特征值与特征向量2+2)=05分矩阵的特征值设

38、A为n阶矩阵，A0,且=0，B为n阶可逆矩阵,=2，2=2+-2，3=2-2，3解方程组得特征向量为1=(1，0,-1)，2=(1,-5/2，1)3=（1，2，1）5分A的特征向量为k11+k22+k332分七证明题（15分）AmX=XBm=0B可逆，所以必有X=02设A是n元正定矩阵，试证：证明：A可逆，存在可逆矩阵C使得TA=CC3分2分1A1也是正定矩阵。2分11T1=C1（CT）(C1)T)T(CT)证明证明：当AX=XB时，必有X=0AX=XB1所以，A1也是正定矩阵。证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和证明：设V为n维向量空间，而1,2，n为它的一组基，贝UL(i

39、)都是V的一维子空间，且L(1)+L(2)+.L(n)=L(1,2，n)=V2分而1,2，n为它的一组基，所以零向量的表示方法唯一2分故以上的和为直和所以，每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和高等代数(下)答案12,22,3-5t04,15,a二1D,2,A3,三（15分）1a12aa1n.n1n2aaaA解：A=11a1a1A=四(15分)把二此型22f(x1,x2,x3)=x1-3x2-2x1x2+2x1x3-6x2x3通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f(x1,x2,x3)的矩阵111101133022130120100110010010A=00100110002000

40、3110011001222f(x1,x2,x3)=w1+2w2-3w3X1ww2X2w2W3X3W3五（15分）求由向量生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1) i(1,2,1,0),2(1,1,1,1)2) 1(2,1,0,1),2(1,137)解：=X11+X22=-y11-y22所以dim(W1W2)=1，矩阵的特征值与特征向量1=2=1,3=-3解方组组的秩为3(5,-2，-3，-4)是WW2的一组基3分1+2=122W1W2，3分1+2是WW2的一组基。2分六（10分）122311求矩阵A=221的特征值与特征向量122311解：221=（3)3=03分分2x12x22x3

41、03%2x2X30解方程组，2x12x22x303A的特征向量为k(1,-2,1)2七证明题(15分)321设A为n阶矩阵，A=2E,证明B=A-2A+2E可逆，并求B证明：B=A(A+2E)(A-E)A2A1=22分312A-E=E,(A-E)=A+A+E13A+8E=10E,(A+2日1=10(A2-2A+4E)2分1A2B12=10(A+A+E)2(A-2A+4E)21分2设A是实对称矩阵,证明：当t充分大后，tE+A是正定矩阵。证明：A是实对称矩阵，tE+A是实对称矩阵,令f1(t),f2(t),，为tE+A的顺序主子式,它们都是首项系数为1的多项式当t充分大后，f1(t),f2(t),-fn(t)0所以，当t充分大后，tE+A是正定矩阵。3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且V=V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间WVi,1=1,2,使得V=WW。证明：设V的一组基为1,2，nL(1,2,n)=V则L(i)都是V的一维子空间，2V=V1+V2W=L(1,2，r)V1,w2=L(r,r1，n)