2018版高中数学小问题集中营专题2疑难点与球体有关的组合体问题

1、问题2疑难点与球体有关的组合体问题、问题的提出有球体有关的组合体问题是每年必考的内容，几何体的内切球，外接球问题都是高考中的热点，也是难点，在学习中必须对重、难点进行突破二、问题的探源1 .正方体的内切球a,.球与正方体的K个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1=2，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）.2 .球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有2=4梃，如图（2）.3 .长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直1,径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a,b,c,则过

2、球心作长方体的对角面有球的半径为3=-a+b2+c2,如图（3）.4 .正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R=43a.5 .正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R=乎a.三、问题的佐证【典型例题】在三麴隹S-ABC中，底面AABC是直角三角形，其斜边AB=4,SC_L平面ABC,且SC=3,则三棱锥的外接球的表面积为（）A.25二B.20二C.16二D.13二【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：B则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于AB=4,SC=3,且AABC是直角三角形，5平面ABC,长方体的对角线长为Acc2bbc2+

3、sc2=Jab2+sc2=742+32=5,二三棱锥的外接5.5一.球的半径R二,二二梭锥的外接球的表面积为4nx=25n故选A.24考向1球的内接正方体问题例1已知正方体棱长为4,则正方体外接球的体积为.【答案】32点冗【解析】设外接球半径为r,2r=G+42+42=4«,r=2，3.V=43=32/3%.3考向2球内切于正方体问题【例2】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）C.A.【答案】A【解析】选A由题意知，此球是正方体的内切球,根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是nJU考向3球的内接正四面体问

4、题【例3】正四面体-CD的棱长为a其外接的体积与内切球的体积之比是.【答案】27#«V外/Ri【解析】正四面体ABCD的棱长为叫其外接球的半径为R=，其内切球的半径为三,所以=_1=27,412，内I门故填27.考向4.球的内接圆锥问题【例4】球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为.r【解析】如图所不，设球半径为r,则球心到该圆锥底面的距离是万，于是圆锥的底面半径为371r3该圆锥的体积为1X兀xi惮）x3r=!兀r3,球体积为4兀r3,.该圆锥的体积和此球体积的比值为8一32.12o3433兀r932.答案:932考向5.球的内

5、接直棱柱问题【例5】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为2A.aaB.：兀a2311C.三兀3D.5兀a2解析：选目由题意知I,该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为品如图,尸为三柱柱上底面的中心，。为球心,易知但所以球的半径43满足公倬J+g内四、问题的解决与球体有关的切、接问题要注意，一般要过球心并计算半径即可得出球体的表面积和体积。1.三棱锥P-ABC中，PC_L平面ABC,且AB=BC=CA=PC=2,则该三棱锥的外接球的表面积A.B.4二C.【答案】D16nD28立【解析】作AABC的外接圆，过点C作外接圆的直径CM连接PM则PM为

6、三锥P-ABC的外接球的直径,如图所示.AB=BC=CA=2CM_2=4一sin60一.3又PC_L平面ABC.PC_CM2-2-216282PM2=PC2+CM2=4+,即PM2=(2R33cr228二S=4nR=，故选D.32 .三棱锥A-BCD,AB=AD=J6,BD=2，3,底面BCD为等边三角形，且平面ABD_L平面BCD，求三棱锥A-BCD外接球的表面积.【答案】16二【解析】取BD的中点E,连接AE、CE,取CE的三等分点为O,使得CO=2OE,则O为等边三角形BCD的中心，由于平面ABD1平面BCD,且平面ABDc平面BCD=BD,CE1BD,则平面CE1平面ABD,由于AB2

7、+AD2=BD2,AABD为直角三角形，E为AABD的外心，则OA=OB=OD,又OB=OC=OD,O为三棱锥ABCD外接球的球心，球的半径OC=2xY3m2J3=2,三棱锥3 22.A-BCD外接球的表面积为S球=4n父2=16元.3.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为12,则这个球的表面积为.【答案】6二【解析】设正方体的棱长为工，则正方体的表面积为61,:正方体的表面积为12,；=12,解得二点:一个正方体的所有顶点在一个球面上,正方体的体对角线等于球的直径，即辰&=2R，R=*2,则球的表面积为489=6汇4 .刘徽(约公元225年一295年)是魏晋时

8、期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国宝贵的古代数学遗产.九章算术商功中有这样一段话：“斜解立方，得两遒堵.斜解遒堵，其一为阳马，一为鳖月需.”刘徽注：“此术月需者，背节也，或日半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.”其实这里所谓的“鳖月需(bienao)”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.如图，在三棱锥A-BCD中，AB垂直于平面BCD,AC垂直于CD,且AB=BC=CD=1,则三棱锥A-BCD的外接球的球面面积为.【答案】3二【解析】由条件知道AB垂直于平面BCD,AC垂直于CD,故AB垂直于CD,从而得到CD垂直于面ABC

9、故三角形ABD三角形ACCfB是直角三角形，则外接球球心在AD的中点上，记作O点，BD=乏AD=J3,R=Y3.表面积是4nR2=4n4=3124故结果为：3二.则7M-5 .点P是底边长为2g高为2的正三棱柱表面上的动点，MN该棱柱内切球的一条直径,的取值范围是（）A.0,2B.0,3C.0,4D,-2,2【解析】选C由题意知内切球的半径为L设球心为内则两两二（而+帝）（而+曲）=popot府+次）+次av=|p5|=-i,且iwi例w北,，屈西ELM.【方法结论】解决与球有关的切、接问题的方法（i）一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系.（2）若球面上四点P,A,B,C中PAPRPC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径