专题10：直角三角形的存在性问题探究

1、专题十：直角三角形的存在性问题探究专题与入1引例.如图，在平面直角坐标系中，点0（0,4）,射线CE/X轴，直线y=2x+b交线段OC于点B,交x轴于点A,D是射线0E上一点.若ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为.方法点睛是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程（组），求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点.解决方法如下方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题;方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90。）类型和母子相似型类型，尝试建构相应

2、的相似来进行处理；方法三：可利用直径所对的圆周角为90°来处理.4导例解析：分二种情况讨论：当/ABD=90时，如图1,b=-;当/ADB=90时，如3一8图2,b=-;当/DAB=90时，如图3,b=23国】1513典例精讲类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题例1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(aW0)的对称轴为直线x=1,且经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y=mx+n经过B,C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.第2题图【分析】(1)首先由

3、题意，根据抛物线的对称称轴公式，待定系数法，建立关于a,b,c的方程组，解方程组可得答案;(2)首先利用勾股这事不师古求得BC,PB,PC的长，然后分别从点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点去分析求得答案.类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题例2.如图，抛物线y=1x2+bx+8与x轴交于点A(-6,0),点B(点A在点B左侧)，3与y轴交于点C,点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E,连接AE,EC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;(2)如图，当EC/x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G,使AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在

4、，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由.【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式，令x=0时，求出y轴交点坐标;(2)先求出点P的坐标,出比例式求解即可；当/再分两种情况计算：当/EAG=90时，判断出AEG=90时，判断出EMa4APE得GNM4APE得到比例式计算.专题过关1 .如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点，当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D

5、的坐标.122 .如图，抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A(3,0),B(1,0)两点，过点B作直线BCLx3轴，交直线y=2x于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y=2x上;(3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P(点A除外)，使4PBC是以BC为直角P的坐标；若不存在，请说明理由.3 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M,使

6、4BDM的周长最小，求出点M的坐标;(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；4 .如图，在平面直角坐标系中，/ACB=90°,OC=2OB,tanZABC=2,点B的坐标为(1,0),抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点.过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,1使PE=拌.求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M,使4ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.5

7、.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P(2,4).(1)试写出b,c之间的关系式；(2)当a>0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D,E,F,且E,F的横坐标xi与X2之间满足关系X2=6xi.求ODEWOEF的面积比；是否存在a,使得/EPF=90°?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.6 .已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+3与x轴的交点为A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴的交点为COG=30A(1)请直接写出该抛物线解析式；(2)如图，D为抛物线的顶点，连接BD,BG,P为对称轴右侧抛物线上一点.若/ABD=/BGP求点P的

8、坐标(3)在(2)的条件下，M,N是抛物线上的动点.若/MPN=90°,直线MN5过一定点，请求出该定点的坐标.答案b例1.(1)由题意得一泊=-1,a=-1,卜n，解得h_2a+b+c=0,b-2,c=3c=3.，抛物线的解析式为y=x2-2x+3.对称轴为直线x=1,抛物线经过A(1,0),B(-3,0).设直线BC的解析式y=mx+n,把B(-3,0),C(0,3)分别代入y=mx+n,彳#-3m+n=0，n=3.解得m=1，.直线BC的解析式为y=x+3.M(-1,2);n=3.(2)设P(1,t),B(-3,0),C(0,3),BC=18,PE2=(1+3)2+t2=4+t

9、：PC2=(1)2+(t-3)2=t2-6t+10.若B为直角顶点，则BC2+pBPC2,即18+4+t2=t26t+10,解得t=2;若C为直角顶点，则BC2+PC=PB即18+t26t+10=4+t解得t=4;若P为直角顶点，则pB"+PC?=bC,即4+t2+t26t+10=18,解得t1=3+F,t2=eF.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：Pi(1,2),P2(-1,4),P3(1，T"),P4(-1,匕卢)例2(1)点A(6,0)在抛物线y=；x2+bx+8上,-0=-x(6)+(6b)+8,解得b=.33抛物线的解析式为y=1x22x+8,令x=0,得

10、y=8,C(0,8);33(2)存在.如图，连接EGAG过点G作GMLl,GNLx轴，垂足分别为M,N,图,EC/x轴，EPCO8.把y=8代入y=1x2±x+8,贝U8=-1x2-x+8,解得x=33330(舍去)或x=2.P(2,0).APAdP0=4.(i)如图，当/AEG=90°时，./MEGZAEF90°,/AE%/EA之90°,./MEG=/EAP又./APE=/EMG=90°,.EM。APEE.巴=吧.设点G(m-ni-m+8)(m>0),APEP、33122=-m+-mi33122EM=EPMP8-(-m-m+8)、33，

11、1m2+3m2+mMG=P*P0+ONk2+mm=-2(舍去)或01=|.G(|,§(ii)如图，当/EAG=90°时,图/NAO/EAP=90°,/AEP+/EAP=90°,/NAG=/AEP./APE=ZGNA=90°,.GNMAPEGNANAPEP设点G(n,-1n2-2n+8)(n>4),.GN=-n2+2n-8,AN=AOH-0N=6+n.'33331nn=-6(舍去)或11n=2Gg,综上，符合条件的g点的坐标为（2,25）或（9,-23）.专题过关1.(1)由题意得32+3b+c=0，解得b=-4，抛物线的解析式为y

12、=x2-4x+3;c=3.c=3.（2）如图，过点P作PG/CF交CB与点G.图由题可知，直线BC的解析式为y=-x+3,OC=OB=3,，/OCB=45°.同理可知/OF上45°.CEF为等腰直角三角形PG/CF,GPE为等腰直角三角形.F(0,m),C(0,3),CF=3-m.CEDGEP.EF=?CF=/(3m),PE=1PG设P(t,t24t+3)(1<t<3),则G(t,t+3)PE=9pG=(1+3tm)=(-m-2t+3).,一点P是直线y=x+m与抛物线的交点，t24t+3=t+mPE+EF='(3-m)+,(-m-2t+3)='

13、(2t2m+6)=-v2(t+m-3)=S(t2-4t)=-V2(t-2)2+4v2.当t=2时，PE+EF最大，最大值为4V2;(3)由(1)知对称轴x=2,设点D(2,n),如图.x2图当BC皿以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(i)D在C上方D位置时，由勾股定理得CD2+BC=BD2,即(20)2+(n3)2+(3v2)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5;(ii)D在C下方D位置时，由勾股定理得BD2+BC2=CD2即(23)2+(n0)2+(3W)2=(20)2+(n3)2,解得n=-1,综上所述，当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2,5)或(2,1).

14、12，.,、_*,2. :(1)+bx+c与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点，3y=1x2-x1;，33，1X32+3b+c=0,b_2132解得b=-3,，抛物线的解析式为-x(-1)-b+c=0.c=-1.3(2)由y=；x2|x1=1(x-1)2,.抛物线的顶点D的坐标为(1,-4).33333把x=1代入y=2x中得y=2.4丰2,顶点D不在直线y=-2x上;3(3)存在.理由如下：如图，过点C作x轴的平行线，与该抛物线交于点P1,P2,连接BR,BP2.直线Bdx轴，PiBG4P2BC都是直角三角形.把x=1代入y=2x中得y=2X(1)=2.，C(1,2).二把y=2代入y

15、=-x2x1中)得-x1=2,3333解得x1=aM+1,x2=-V10+1.P1(v10+1,2),P2(许+1,2).23.(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),即y=ax2ax3a.2.2a=2,解得a=1，抛物线解析式为y=x+2x+3.当x=0时，y=-x2+2x+3=3,则C(0,3).设直线AC的解析式为y=px+q,把A(1,0),C(0,3)代入得-p+q=0解得p=3.直线AC的解析式为q=3.q=3.(2)./=x2+2x+3=(x1)2+4,顶点D的坐标为(1,4).如图，作B点关于y轴的对称点B',则B'(3,0),连接DB交y轴于M.y=

16、3x+3.MB=MB,MBFMD=MB+MD=DB,此时MBMD勺值最小.,BD的值不变，此时BDM的周长最小.易得直线DB的解析式为y=x+3.当x=0时，y=x+3=3,.,点M的坐标为(0,3).(3)存在，符合条件的点P的坐标为(7当或(2,-23).39394. (1)在RtABC中，由点B的坐标可知OB=1. .OG=2OB，OG=2,贝UBC=3.又tan/ABC=2, .AC=2BG=6,则点A的坐标为(一2,6).把点A,B的坐标代入抛物线y=x2+bx+c中，得-4-2b+c=6，-1+b+c=0.解得b=-3，该抛物线的解析式为y=x23x+4.c=4.(2)由点A(-2

17、,6)和点B(1,0)的坐标易得直线AB的解析式为y=-2x+2.如图，设点P的坐标为(m,一后一3出4),则点E的坐标为(m,-2m+2),点D的坐标为(m,0),则PE=-ni-m+2,DE=-2m+2,由PE=gDE得一ni-m+2=1(-2m+2),解得m=±1.又一2<m<1,m=1,点P的坐标为(一1,6).在直线PD上，且P(-1,6),设M(1,y),.AMi=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,BM2=(1+1)2+y2=4+y2,aB!=(1+2)2+62=45.分三种情况：(i)当/AMB=90°时，有AM+bM=aB.1+(y

18、-6)2+4+y2=45,解得y=3±Vn.M(-1,3+小)或(1,3用')；(ii)当/AB时90°时，有aB"+bM=aM,.45+4+y2=1+(y6)：解得y=1,.M(1,-1).(iii)当/BA时90°时，有AlM+AEbM, -1+(y-6)2+45=4+y2,解得y=:.M(1,；).综上所述，点M的坐标为(-1,3+v11)或(-1,3v11)或(-1,1)或(1,).5. (1);抛物线顶点坐标为(2,4),，抛物线解析式为y=a(x2)2+4=ax2-4ax+4a+4,b=-4a,c=4a+4.b+c=4;(2)由题意可

19、知OD讶口ODF的底边DEDF边上的高相同，-SaodESaod=DEDF=X：X2=1：6.SaodeSaoef=1:5;如图，分别过E,F作x轴的垂线，垂足分别为GH,交直线DP于点MN,直线y=x+4,设点E坐标为(m,m+4,则点F的坐标为(6m6m+4).EM=EGMG=m+44=mFN=FHFNH=6m+44=6mPM=PBMD=2-m,PN=DN-PD=6m-2,./EPF=90,.EPM它FPN=90,且/FPN+ZPFN=90./EPMWPFN.EPMhAPENEM=PM,即/一二2m整理可得6m+7m+2=0解得m=1或m=2,PNFN'6m-26m231 .19当

20、m=2'时，点E(2,-),F(3,7),把F点坐标代入抛物线解析式可得a+4=7,解得a=3,.抛物线解析式为y=3(x-2)2+4,当x=2时，代入可求得y=432,即点E不在该抛物线图象上，不符合题意.当m=|时，点E(2，)，F(4,8),把F点坐标代入抛物线解析式可求得a=1.，抛物线解析式为y=(x-2)2+4.当x=|时，代入可求得y=52*134,即点E不在抛物线图象上，不符合题意，综上可知不存在满足条件的a的值.6. (1)当x=0时，y=ax2_2ax+3=3, .C(0,3),OC=3O上3.O上1,A(-1,0).把点A(-1,0)代入抛物线解析式，得：a+2a

21、+3=0,解得a=-1.，抛物线解析式为y=-x2+2x+3;(2)如图1,若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方，过点P作PEE/y轴交BC于点E,PF,BC于点F,过点D作DHLx轴于点H, ./CFP=/BHD=90°.;当y=-x2+2x+3=0时，解得：x1=-1,x2=3.A(-1,0),B(3,0).1y=-x2+2x+3=(x1)2+4,顶点D(1,4).DH=4,BH=31=2. BD=JBH2DH2J22422石.BDH中，sinZABD=DH-425BD2,55-C(0,3)BC=J3232=3拒，PC=VP一(设直线BC解析式为y=kx+b,'3kb0,解得:3.1,3.(p,-p+3)p2+3p.'''S»ABCP=1PE?OB1BC?PFPF=PEOB3(BCP2323P)P23P2./A