第十一动态电路的复频域分析学习教案

1、会计学1第十一第十一 动态动态(dngti)电路的复频域分析电路的复频域分析第一页，共56页。 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心(hxn)(hxn)是把时间函数是把时间函数f(t)f(t)与复变函数与复变函数F(s)F(s)联系起来，把时域联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。11.1 拉普拉斯变换(

2、binhun)的定义及其基本性质1. 拉氏变换(binhun)法下 页上 页返 回第1页/共56页第二页，共56页。例例一些一些(yxi)常用的变换常用的变换 对数变换对数变换 lglglgABABABAB乘法运算乘法运算(yn sun)变换为加变换为加法运算法运算(yn sun) 相量法相量法1212 iiiIII正弦量相量时域的正弦运算时域的正弦运算(yn sun)变换变换为复数运算为复数运算(yn sun)拉氏变换拉氏变换F(s)( (频域象函数频域象函数) )对应对应f(t)( (时域原函数时域原函数) )下 页上 页返 回第2页/共56页第三页，共56页。 (s)L( ) ( )L(

3、s)Ff tf tF-1简写，sj2. 拉氏变换(binhun)的定义定义定义 0 , )区间区间(q jin)函数函数 f(t)的拉普拉斯变换式的拉普拉斯变换式： d)(j21)( d)()(0sesFtftetfsFstjcjcst正变换正变换(binhun)反变反变换换s 复频率复频率下 页上 页返 回第3页/共56页第四页，共56页。000积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限从积分下限从0 + 开始，称为开始，称为0 + 拉氏变换拉氏变换 。 积分积分(jfn)(jfn)域域注意注意今后讨论今后讨论(toln)(toln)的均为的均为0 0 拉氏

4、拉氏变换。变换。0000( )( )d ( )d( )dstststF sf t etf t etf t et0 ,0区间(q jin) f(t) =(t)时此项 0 象函数象函数F(s) 存在的条件：存在的条件：0( ) dstf t et 下 页上 页返 回第4页/共56页第五页，共56页。如果存在有限如果存在有限(yuxin)(yuxin)常数常数M M和和 c c 使函数使函数 f(t) f(t) 满足：满足：( ) 0,)ctf tMets(s)00( )ddtc tf t etMetMsc 则则f(t)f(t)的拉氏变换的拉氏变换(binhun)(binhun)式式F(s)F(s)

5、总存在，因总存在，因为总可以找到一个合适的为总可以找到一个合适的s s 值使上式积分为有限值。值使上式积分为有限值。下 页上 页 象函数象函数(hnsh)F(s) (hnsh)F(s) 用大写字母表示用大写字母表示, ,如如I(s)I(s)，U(s)U(s)原函数原函数f(t) 用小写字母表示用小写字母表示，如，如 i(t), u(t)返 回第5页/共56页第六页，共56页。3.3.典型函数典型函数(hnsh)(hnsh)的拉氏变换的拉氏变换 (1)单位(dnwi)阶跃函数的象函数 d)()(0tetfsFst( )( )f tt0( )L ( )( )dstF stt et10stes 1s

6、0dstet下 页上 页返 回第6页/共56页第七页，共56页。(3)指数函数(zh sh hn sh)的象函数()10s a tesa 1sa(2)单位(dnwi)冲激函数的象函数00( )dstt et( )( )f tt0( )L ( )( ) dstF stt et01se( )atf te0( )LdatatstF see et下 页上 页返 回第7页/共56页第八页，共56页。拉普拉斯变换拉普拉斯变换(binhun)(binhun)的基本的基本性质性质1.1.线性性质线性性质(xngzh)(xngzh)11220( )( ) dstA f tA ftet112200( )d( )d

7、ststA f t etA ft et1122( )( )AF sA F s1122( )( )AF sA F s1122 L ( )( ) , L ( )( )f tF sf tF s若1 1221122 L ( )( )L ( )L( )A f tA f tAf tAf t则1 122 L ( )( )A f tA f t下 页上 页证证返 回第8页/共56页第九页，共56页。 : ( )(1)atf tKe求的象函数1112jjjss22s例例1解解 KKssa-( )L LatKeF sK-例例2 : ( )sin( )f tt求的象函数解解( )L sin()F st 1L()2jj

8、tjtee 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘相乘(xin chn)及几个函数相加减的象函数时，及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘可以先求各函数的象函数再进行相乘(xin chn)及加减计算。及加减计算。下 页上 页结论结论 ()Kas sa返 回第9页/共56页第十页，共56页。2. 2. 微分微分(wi (wi fn)fn)性质性质0( )( )()d0ststef tf tset(0 )( )fsF s d ( ) Ls ( )(0 )df tF sft则： L ()( )f tF s若 ：00d ( )dd ( )ds

9、tstf tetef ttd ( ) Ldf tt下 页上 页证证uvuvvudd 利用若若 足够足够(zgu)大大0返 回第10页/共56页第十一页，共56页。2210ss22ss (1) ( )cos( )f tt的象函数例例解解1 dLcosL(sin()dtttdsin()cos()dttt下 页上 页利用导数性质求下列利用导数性质求下列(xili)(xili)函数的象函数函数的象函数1 d(sin)cos()dttt返 回第11页/共56页第十二页，共56页。推广推广(tugung)：2( )(0 )(0 )s F ssff (2) ( )( )f t t的象函数解解d ( )( )

10、dttt1L ( )std( )Ldnnf tt11( )(0 )(0 )nnns F ssff22d( )Ldf tt( )(0 )(0 )s sF sff101ssd ( )L( )Ldttt下 页上 页返 回第12页/共56页第十三页，共56页。下 页上 页3.3.积分积分(jfn)(jfn)性质性质 L ( )(s)f tF若：01 L( )d (s)stfF则：证证0 L( )d (s)tf tt令0dL ( )L ( )ddtf tf t tt应用应用(yngyng)微分性质微分性质00( )s ( )( )dttF ssf tt(s)(s)sF0返 回第13页/共56页第十四页，

11、共56页。2 : ( )( )(t)( )f tttftt求和的象函数下 页上 页0L2d tt t例例L( )t t21 11s ss0L( )d tt2L( )tt32s解解返 回第14页/共56页第十五页，共56页。4.4.延迟延迟(ynch)(ynch)性质性质00()dsttf tt et0( )steF s L ( )( )f tF s若：000 L () ()( )stf t tt teF s则：00000L() ()() ()dstf ttttf tttt et0()0( )dstfe0 tt令延迟因子 0ste下 页上 页证证返 回第15页/共56页第十六页，共56页。例例1

12、( )( )()f tttTs11(s)ssTFe( ) ( )()f ttttT( )( )() ()()f ttttTtTTtTss2211(s)sssTTTFee例例2求矩形脉冲的象函数求矩形脉冲的象函数(hnsh)解解根据根据(gnj)延迟延迟性质性质求三角求三角(snjio)波的象函波的象函数数解解下 页上 页TTf(t)o1Ttf(t)o返 回第16页/共56页第十七页，共56页。求周期函数求周期函数(zhu q hn sh)(zhu q hn sh)的拉氏变换的拉氏变换 设设f1(t)f1(t)为一个周期为一个周期(zhuq)(zhuq)的函数的函数111( )( )() ()

13、(2 ) (2 )f tf tf tTtTf tTtT231( )1sTsTsTF seee11( )1sTF se例例3解解11L( )( )f tF s2111L ( )( )( )( )sTsTf tF seF seF s下 页上 页.tf(t)1T/2 To返 回第17页/共56页第十八页，共56页。s/2111(s)()ssTFe1( )( )()2Tf ttt/211()1sTse )(11)(L 1sFetfsT/211 1()1sTsTees s L ( )f t下 页上 页对于对于(duy)本题脉冲序列本题脉冲序列5.5.拉普拉斯的卷积定理拉普拉斯的卷积定理1122 L (

14、)( ) L( )( )f tF sf tF s若：返 回第18页/共56页第十九页，共56页。下 页上 页t1212012 L ( )( )L()( )d ( )( )f tf tf tfF s F s则：证证t121200L ( )( )()( ) ddstf tf tef tft1200() ()( ) ddstef ttft tx 令1200( ) ( )( ) d dssxf xx feex 1200( ) ( )d( ) dsxsf xx exfe12 ( )( )F s F s返 回第19页/共56页第二十页，共56页。11.2 11.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换(binhu

15、n)(binhun) 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要(xyo)把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用(lyng)公式cc1( )(s)d2jjstjf tFes (2)对简单形式的对简单形式的F(s)可以可以查拉氏变换表得原函数查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项的组合12( )( )( )( )nf tf tf tf t部分分式部分分式展开法展开法返 回第20页/共56页第二十一页，共56页。利用

16、利用(lyng)(lyng)部分分式可将部分分式可将F(s)F(s)分解分解为：为：101101( )( ) ()( )mmmnnna sa saN sF snmD sb sbsb1(1) D( )0nsnpp若有 个单根分别为下 页上 页象函数象函数(hnsh)的一的一般形式般形式1212( )nnKKKF sspspsp待定常数待定常数(chngsh)讨论讨论12n12n( )p tp tp tf tK eK eK e返 回第21页/共56页第二十二页，共56页。n321 )(、ipssFKipsii待定常数待定常数(chngsh)(chngsh)的确定：的确定：方法方法(fngf)(fn

17、gf)1 1下 页上 页21112() (s)()nnKKsp FKspspsp方法方法(fngf)(fngf)2 2求极限的方法求极限的方法p(s)(s)lim(s)iiisNpKD令令s = p1返 回第22页/共56页第二十三页，共56页。p(s)(s)(s)lim(s)iisNpND)()(iiipDpNK 下 页上 页p(s)(s)lim(s)iiisNpKD24s5 (s) s5s6F求的原函数12s2s3KK124s53s3SK 2s34s57s2K例例解法解法(ji (ji f)1f)124s5(s)s5s6F返 回第23页/共56页第二十四页，共56页。23( )3( )7(

18、 )ttf tetet 1121()453()25sN psKD ps 2232()457(25sN psKD p )s解法解法(ji (ji f)2f)2下 页上 页121212()()()( )()()()np tp tp tnnN pN pN pf teeeDpDpDp原函数的一般原函数的一般(ybn)形式形式返 回第24页/共56页第二十五页，共56页。12pjpj1(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)NNFDjjD1211(s)ss(s)KKNjjD(2) ( )0 D s 若具有共轭复根下 页上 页K1、K2也是一对(y du)共轭复数注意注意j1 2j( )( )(j )

19、( )ssN sKF s sD s ，返 回第25页/共56页第二十六页，共56页。j()j()1()(t)jtjtK e eK eefj()j()1(t)tttK eeef12 Kcos()f (t)tetjj12e eKKKK-设：(j)(j)121( )()(t)ttf tK eK ef下 页上 页返 回第26页/共56页第二十七页，共56页。23 ( ) ( )25sF sf tss求的原函数1 21j2,p 1s1 j230 5j0 50.5 245( 1 2j)sK.s 2s1 j2s+30.5 2 45s( 12j)K ( )2cos(245 )tf tet例例解解2250 ss

20、的根：1s1 j2(s)s+30.5 245(s)2s2NKD 或：下 页上 页返 回第27页/共56页第二十八页，共56页。1011( ) (p )mmmna sa saF ss1111112211111( )()()()nnnnKKKKF sspspspsp(3) ( )0 D s 若具有重根下 页上 页111()( )nnspKspF s1111d()( )dnnspKspF ss11111s11d()( )(1)!dnnpnKspF sns返 回第28页/共56页第二十九页，共56页。121222(1)(1)KKKsss24( ) (t)(1)sF sfs s求：的原函数10244(1

21、)ssKs22143ssKs 2211d(1)( )dsKsF ss1d44dssss ( )443ttf tete例例解解24( )(1)sF ss s下 页上 页返 回第29页/共56页第三十页，共56页。 n =m 时将F(s)化成(hu chn)真分式和多项式之和 1212(s)sssnnKKKFAppp由由F(s)F(s)求求f(t) f(t) 的步骤的步骤(bzhu)(bzhu)： 求真分式分母的根，将真分式展开求真分式分母的根，将真分式展开(zhn ki)(zhn ki)成部分分式成部分分式 求各部分分式的系数求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分

22、式和多项式逐项求拉氏反变换0(s)(s)(s)NFAD下 页上 页小结小结返 回第30页/共56页第三十一页，共56页。22911( ) 56ssF sss求：的原函数245156sss37123ss 32( )( )(73)ttf ttee例例解解22911( )56ssF sss下 页上 页返 回第31页/共56页第三十二页，共56页。11.3 11.3 电路元件和电路定律电路元件和电路定律(dngl)(dngl)的运算形式表示的运算形式表示基尔霍夫定律基尔霍夫定律(dngl)的时域表示：的时域表示：( )0i t ( )0u t 1.1.基尔霍夫定律基尔霍夫定律(dngl)(dngl)的

23、运算形式的运算形式下 页上 页(s)0I(s)0U根据拉氏变换的线性性质得根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式的运算形式对任一结点对任一结点对任一回路对任一回路返 回第32页/共56页第三十三页，共56页。u(t)=Ri(t)( )( )I sGU s( )( )U sRI sGsYRsZ)()(2.2.电路元件的运算电路元件的运算(yn sun)(yn sun)形式形式 电阻电阻R的运算的运算(yn sun)形式形式取拉氏变换取拉氏变换(binhun)电阻的运算电路电阻的运算电路下 页上 页-+i(t)uR(t)R时域形式：时域形式：R+-( )U s( )I s返 回第33页/

24、共56页第三十四页，共56页。d ( )( )di tu tLt( )( )(0 )( )(0 )U sL sI sisLI sLi(0 )( )( )iU sI ssLssLsYsLsZ1)()( 电感电感(din n)L的运的运算形式算形式取拉氏变换取拉氏变换,由微分由微分(wi fn)性质得性质得L的的运算运算(yn sun)电电路路下 页上 页i(t)+ u(t) -L+ -sL(0 )LiU(s)I(s)+-时域形式：时域形式：sL+ U(s)I(s )(0 )is -返 回第34页/共56页第三十五页，共56页。01( )(0 ) ( ) dtu tuiC(0 )1( )( )uU

25、 sI ssCs( )( )(0 )I ssCU sCusCsYsCsZ)(1)( 电容电容(dinrng)C的的运算形式运算形式C的的运算运算(yn sun)电路电路下 页上 页i(t)+ u(t) -C时域形式时域形式(xngsh)：取拉氏变换取拉氏变换,由积分性质得由积分性质得+ -1/sC(0 )usU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+ U(s)I(s ) -返 回第35页/共56页第三十六页，共56页。12112122ddddddddiiuLMttiiuLMtt11 11 1222222 211( )( )(0 )( )(0 )( )( )(0 )( )(0 )U ssL I

26、sLisMIsMiUssL IsL isMI sMi 耦合电感耦合电感(din n)的运算形式的运算形式下 页上 页*i1L1L2+_u1+_u2i2M时域形式时域形式(xngsh)：取拉氏变换取拉氏变换,由微分由微分(wi fn)性质得性质得sMsYsMsZMM1)()(互感运算阻抗互感运算阻抗返 回第36页/共56页第三十七页，共56页。耦合电感耦合电感(din n)的运算电路的运算电路下 页上 页11 11 1222222 211( )( )(0 )( )(0 )( )( )(0 )( )(0 )U ssL I sLisMIsMiUssL IsL isMI sMi+-+sL2+sM+ +

27、2( )UssL12( )Is2 2(0 )L i1(0 )Mi1( )I s1( )U s-1 1(0 )Li2(0 )Mi- +返 回第37页/共56页第三十八页，共56页。1121/iuRii1121( )( )/( )( )IsUsRIsIs 受控源的运算受控源的运算(yn sun)形式形式受控源的运算受控源的运算(yn sun)电路电路下 页上 页时域形式时域形式(xngsh)：取拉氏变换取拉氏变换 i1+_u2i2_u1i1+R1( )U s1( )I s2( )Us1( )I s+_+R2( )Is返 回第38页/共56页第三十九页，共56页。3. RLC3. RLC串联串联(c

28、hunlin)(chunlin)电路的运算形式电路的运算形式下 页上 页u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)时域电路时域电路(dinl) (0 )0 (0 )0cLui若：0d1ddtciuiRLi ttC1( )( )( )( )U sI s RsLI sI ssC拉氏变换拉氏变换(binhun)运算电路运算电路1( )()( ) ( )I s RsLI s Z ssCsCsLRsYsZ1)(1)(运算阻抗运算阻抗返 回第39页/共56页第四十页，共56页。)()()()()()(sUsYsIsIsZsU下 页上 页运算运算(yn sun)形式形式的欧姆定律的欧姆定律

29、u (t)RC-+iL(0 )0 (0 )0cLui若：+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)(0 )cus拉氏变换拉氏变换返 回第40页/共56页第四十一页，共56页。C1() ( )( ) ( )(0 )( )(0 )RsLI sZ s I ssCuU sLis下 页上 页C(0 )1( )( )s( )(0 )( )uU sI s RLI sLiI ssCs+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)(0 )cus返 回第41页/共56页第四十二页，共56页。 电压、电流用象函数电压、电流用象函数(hnsh)(hnsh)形式；形式； 元件元件(yunji

30、n)(yunjin)用运算阻抗或运算导纳表用运算阻抗或运算导纳表示；示； 电容电压电容电压(diny)(diny)和电感电流初始值用附加电和电感电流初始值用附加电源表示。源表示。下 页上 页电路的运算形式电路的运算形式小结小结例例给出图示电路的运算电路模型。给出图示电路的运算电路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解解t=0 时开关打开时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路时域电路返 回第42页/共56页第四十三页，共56页。注意附加注意附加(fji)电源电源下 页上 页1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5

31、V5IL(s)UC(s)t 0 运算(yn sun)电路返 回第43页/共56页第四十四页，共56页。11.4 11.4 用运算法计算用运算法计算(j sun)(j sun)动态电路动态电路 由换路前的电路由换路前的电路(dinl)(dinl)计算计算uc(0-) , uc(0-) , iL(0-) iL(0-) ； 画运算电路模型，注意画运算电路模型，注意(zh y)(zh y)运算阻抗的表运算阻抗的表示和附加电源的作用；示和附加电源的作用； 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数； 反变换求原函数。反变换求原函数。下 页上 页1. 1. 运算法的计算

32、步骤运算法的计算步骤返 回第44页/共56页第四十五页，共56页。例例1 (0 )0Li(2) 画运算(yn sun)电路s1Ls111s 1ssC(0 )1Vcu解解(1) 计算(j sun)初值下 页上 页电路电路(dinl)(dinl)原处于稳态，原处于稳态，t =0 t =0 时开关闭合，试用时开关闭合，试用运算法求电流运算法求电流 i(t) i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回第45页/共56页第四十六页，共56页。(3) 应用回路(hul)电流法下 页上 页1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s1( )I s2( )I

33、sC12(0 )111(1) ( )(s)0usI sIssss C12(0 )111(s)(1)(s)uIIssss-返 回第46页/共56页第四十七页，共56页。下 页上 页121( )( )(22)I sI ss ss312( )1j(s 1j)KKKI sss (4)反变换(binhun)求原函数123D( )03: 01j1jsppp 有 个根，101(s)2sKIs21 j1( )(1j)2(1j)sKI s s 31 j1( )(1j)2(1j)sKI s s 返 回第47页/共56页第四十八页，共56页。下 页上 页1 21 2(1j)1 2(1j)( )1j(1j)I ssss 11L( )( )(1 ecose sin )2ttI si ttt例例2，求，求uC(t)、iC(t)。( ),(0 )0scitu图示电路图示电路RC+ucis解解画运算画运算(yn sun)(yn sun)电路电路C( )Is1/sC+Uc(s)( )1sI s R返 回第48页/共56页第四十九页，共56页。1( )( )1/CsRUsIsRsCsC(1/)RRC sRC( )( )1CCRsCIsUs sCRsC111RsC /1(0)t RCcue