第六章静定结构的位移计算学习教案

1、会计学1第六章静定结构第六章静定结构(jigu)的位移计算的位移计算第一页，共57页。AAAPAxAyt 第1页/共57页第二页，共57页。铁路(til)工程技术规范规定: 二、 计算(j sun)位移的目的(1) 刚度(n d)要求在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。(2) 超静定、动力和稳定计算(3）施工要求第2页/共57页第三页，共57页。（3）理想(lxing)联结 (Ideal Constraint)。(1) 线弹性 (Linea

2、r Elastic),(2) 小变形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method)第3页/共57页第四页，共57页。 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(x n)(Virtual Work)P力在非自身所产生的位移上所作的功PCtt第4页/共57页第五页，共57页。 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(x n)(Virtual Work)1P11122P21221P2P12位移(wiy)状态（虚力状态）（虚

3、位移状态）（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；第5页/共57页第六页，共57页。 (Principle of Virtual Work)二、广义(gungy)力(Generalized force)、广义(gungy)位移(Generalized displacement)PMABMMPPABP1 P2 第6页/共57页第七页，共57页。（1）质点系的虚位移原理(yunl)具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要(byo)和充分条件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0对于任何(rnh)可

4、能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即第7页/共57页第八页，共57页。（2）刚体系(tx)的虚位移原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要(byo)和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用于刚体系(tx)的所有外力所做虚功之和为零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/2第8页/共57页第九页，共57页。原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体(xngt)，当发生任意一个虚位移时，变形体(xngt)所受外力在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变形体(xngt)各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立We =

5、Wi（3）变形体的虚功原理第9页/共57页第十页，共57页。 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意(rny)一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明(zhngmng): xq1.利用变形(bin xng)连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功 dW= dWe+dWn所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W微段外力功分为两部分在

6、刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段外力功 dW= dWg+dWi所有微段的外力功之和: W=dWi =Wiabab微段位移分为两部分刚体位移变形位移baab baba 故有We=Wi成立。abab b第10页/共57页第十一页，共57页。 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意(rny)一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明(zhngmng): xq1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力(wil)虚功之和 W微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互

7、作用力功dWn微段外力功 dW= dWe+dWn所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段外力功 dW= dWg+dWi所有微段的外力功之和: W=dWi =Wiabab微段位移分为两部分刚体位移变形位移baab baba 故有We=Wi成立。abab b几个问题:1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。3. 原理

8、可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。第11页/共57页第十二页，共57页。Wi 的计算(j sun):Wi =N+Q+Mds微段外力(wil): 微段变形可看成由如下几部分(b fen)组成:（4）变形体虚功方程的展开式MdMM NdNN QdQQds微段剪切ds微段拉伸dsds微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:We =N+Q+Mds外力功也就等于内力功，即第12页/共57页第十三页，共57页。 1）虚功原理用于虚设(xsh)的协调位移状态与实际的平衡力状

9、态之间。例. 求 A 端的(dund)支座反力(Reaction at Support)。解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)PX C (c)直线待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态由外力虚功总和为零，即：baCX/将代入得:abPX/通常取单位位移法(Unit-Displacement Method)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题0 BM1 x第13页/共57页第十四页，共57页。例. 求

10、 A 端支座(zh zu)发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . 2）虚功原理用于虚设(xsh)的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置(shzh)单位荷载。ABaCbAC c1ABCAY由 求得： 0BM解得： 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是找出

11、虚力状态的静力平衡关系。(4)是用静力平衡法来解几何问题。虚功方程为：第14页/共57页第十五页，共57页。单位位移法的虚功方程 平衡方程单位荷载法的虚功方程 几何方程 第一种应用一些文献称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要(byo)性命题。上述两原理都是充分、必要(byo)性命题，它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个(y )力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立. 虚力原理:一个(y )位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。第15页/共57页第十六页，共57页。 3.3 荷载(h

12、zi)作用产生的位移计算一.单位(dnwi)荷载法kiP1P求k点竖向位移(wiy).由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)We =Wi We =P iPWi =NiP +QiP +MiP ds iP =NiP +QiP +MiP ds 适用于各种杆件体系(线性,非线性).第16页/共57页第十七页，共57页。 3.3 荷载作用(zuyng)产生的位移计算一.单位(dnwi)荷载法kiP1P求k点竖向位移(wiy).变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)iP =NiP +QiP +MiP ds -适用于各种杆件体系(线性,非线性).对于由线弹性直杆组成的结构，有：适用

13、于线弹性直杆体系,第17页/共57页第十八页，共57页。PQPM1 PiQiMxl dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例 1：已知图示粱的E 、G,求A点的竖向位移(wiy)。解：构造虚设(xsh)单位力状态.1PxlhbA)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3钢砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24设24GAlEIkMQ1001MQ 对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲(wnq)变形相比可略去不计.第18页/共57页第十九页，共57页。例 2：求曲梁B点的竖向位移(wiy)(EI、EA、GA已知)ROBAP解：构造(guzo)虚设的力状态如图示

14、P=1RPRPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNiPPPipii )(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3钢砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPREIPRNQM4,4,4:3设12001MN4001MQ 小曲率杆可利用直杆公式近似计算;轴向变形,剪切变形对位移的影响(yngxing)可略去不计第19页/共57页第二十页，共57页。 3.3 荷载(hzi)作用产生的位移计算一.单位(dnwi)荷载法1.梁与刚架二.位移(wiy)计算公式2.桁架3.组合结构4.拱第20页/共57页第二十一页，共57页。解：例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平(shupng)位移.Paak10

15、0PPP2NP11122Ni练习:求图示桁架(hngji)(各杆EA相同)k点竖向位移.aaPk1110200P2PNPNi第21页/共57页第二十二页，共57页。例: 1)求A点水平(shupng)位移 3.3 荷载作用(zuyng)产生的位移计算一.单位(dnwi)荷载法二.位移计算公式 所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.三.单位力状态的确定PAB2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角1P1P1P1P第22页/共57页第二十三页，共57页。 在杆件数量(shling)多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法.刚架与梁的位

16、移(wiy)计算公式为：第23页/共57页第二十四页，共57页。一、图乘法(chngf)(对于(duy)等截面杆)(对于(duy)直杆)图乘法求位移公式为:图乘法的适用条件是什么?第24页/共57页第二十五页，共57页。例. 试求图示梁B端转角(zhunjio).解:ABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI为什么弯矩图在杆件同侧图乘结果为正?第25页/共57页第二十六页，共57页。例. 试求图示结构(jigu)B点竖向位移.解:EIycPlMPMi1lPEIBEIll第26页/共57页第二十七页，共57页。二、几种常见图形的面积和形心位置

17、(wi zhi)的确定方法C2nl2)1(nln1nhl h二次抛物线第27页/共57页第二十八页，共57页。M图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM图281qlBAq1例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角B解:第28页/共57页第二十九页，共57页。三、图形(txng)分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMiABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB第29页/共57页第三十页，共57页。三、图形(txng)分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020M

18、PMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB 当两个图形(txng)均为直线图形(txng)时,取那个图形(txng)的面积均可.第30页/共57页第三十一页，共57页。4/PlMP三、图形(txng)分解B求1Mi)(16)21421(12EIPlPllEIB 取 yc的图形(txng)必须是直线,不能是曲线或折线.AB2/ lEI2/ lP2/1能用 Mi图面积(min j)乘MP图竖标吗?第31页/共57页第三十二页，共57页。三、图形(txng)分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EIMPMi)(1

19、00)21102032601021(1EIEIB402060204020第32页/共57页第三十三页，共57页。三、图形(txng)分解B求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42qlq第33页/共57页第三十四页，共57页。三、图形(txng)分解求C截面(jimin)竖向位移MPMi16/3l4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lq第34页/共57页第三十五页，共57页。三、图乘法(chngf)小

20、结1. 图乘法(chngf)的应用条件：（1）等截面(jimin)直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。cy2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。cycy3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.第35页/共57页第三十六页，共57页。 例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 。CD 三、应用(yngyng)举例AlqBhqh11hMPiM解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图CD第36页/共57页第三十七页，共57页。 例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。C三、应用(yngyng)举例解：作荷载(

21、hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql第37页/共57页第三十八页，共57页。 例 3. 图示梁EI 为常数(chngsh)，求C点竖向位移。三、应用(yngyng)举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C第38页/共57页第三十九页，共57页。32/2ql 例 4. 图示梁 EI 为常数(chngsh)，求C点竖向位移 。三、应用(yngyng)举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C2/2ql2/2ql第39页/共57页第四十页，共5

22、7页。 例 4. 图示梁 EI 为常数(chngsh)，求C点竖向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql第40页/共57页第四十一页，共57页。4. 5 静定结构温度变化(binhu)时的位移计算变形(bin xng)体虚功方程为:We =Wi We =1kPWi =MikPds kP =MikPds 其中(qzhng):荷载作用求K点竖向位移.We =1kP温度作用求K点竖向位移.Wi =Nit + Qit +Mikt ds 关键是计算微段的温度变形第41页/共57页第四十二页，共57页。设温

23、度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度 ，上、下边缘的温差 ,线膨胀系数为 .0tt微段的温度(wnd)变形分析无剪应变若,/ 221hhh2120/)(ttt第42页/共57页第四十三页，共57页。温度引起(ynq)的位移计算公式:对等 截 面 直 杆:上式中的正、负号(f ho)：若 和 使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。 Mt 第43页/共57页第四十四页，共57页。例： 刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为 0 时A点的竖向位移 。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 解：构造(guzo)虚拟状态lMi1N

24、i第44页/共57页第四十五页，共57页。例： 求图示桁架(hngji)温度改变引起的AB杆转角.解：构造虚拟(xn)状态Nia4ttttaABa21a210a/1a/1)( t 4第45页/共57页第四十六页，共57页。1c2c3cKKKC1K1R2R3R变形(bin xng)体虚功方程为:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中(qzhng):计算公式为:第46页/共57页第四十七页，共57页。例1：求?CxCBAP=11AX1CY1AY解：构造(guzo)虚设力状态1c2c3cCBAll第47页/共57页第四十八页，共57页。解：构造(guzo)虚设力状态( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例 2：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求第48页/共57页第四十九页，共57页。制造误差引起的位移(wiy