第4章 平面图形的几何性质

1、第第4 4章章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 4.1 静矩与形心静矩与形心4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 4.3 惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式 4.1 静矩与形心静矩与形心选择材料选择材料与材料的机械性质有关与材料的机械性质有关确定尺寸确定尺寸与截面大小、形状有关与截面大小、形状有关拉压：拉压：应力均布，仅需满足应力均布，仅需满足 ， 不考虑形状；不考虑形状；NFA 扭转：扭转：应力不均布，出现应力不均布，出现 ，APdAI2在面积在面积A相同，但形状不同的情况下，应相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。力分布不同。一、静矩一、静矩oyzAdAyz AydAzS A

2、zdAyS图形对图形对y y轴的静矩轴的静矩图形对图形对z z轴的静矩轴的静矩微面积微面积d dA A对对z z轴和轴和y y轴的一次矩。轴的一次矩。静矩的单位为静矩的单位为mm3或或m3。4.1 4.1 静矩与形心静矩与形心二、形心二、形心 平面图形的几何形状中心。平面图形的几何形状中心。 4.1 4.1 静矩与形心静矩与形心静矩：静矩： 0 0； 0 0； 0 0。三、静矩与形心坐标的关系三、静矩与形心坐标的关系 若图形形心若图形形心C C已知，由静力学可知：已知，由静力学可知：AydAyAASzAzdAzAASy 求静矩的另一公式：求静矩的另一公式：AySzAzSy讨论：讨论：, 0,

3、0zy则则。0, 0yzSSy y、z z轴称为形心轴。轴称为形心轴。yzAC若已知若已知, 0, 0yzSS 则可确定则可确定z z轴、轴、y y轴通过轴通过截面形心。截面形心。4.1 4.1 静矩与形心静矩与形心四、组合图形的静矩与形心四、组合图形的静矩与形心组合图形组合图形: :由若干简单图形组合而成的图形由若干简单图形组合而成的图形 。组合图形对组合图形对z z轴和轴和y y轴的静矩等于各部分图形对该轴静矩的轴的静矩等于各部分图形对该轴静矩的代数和，即代数和，即niiiniizzyASS11niiiniiyyzASS11组合图形的形心公式：组合图形的形心公式：niiniiiAzAz11

4、niiniiiAyAy11例例4.14.1 求图所示半径为求图所示半径为R R的半圆形对的半圆形对z z轴和轴和y y轴的静矩及轴的静矩及其形心坐标。其形心坐标。解：解：z z轴是半圆形的对称轴轴是半圆形的对称轴0y0zSdz2d22zRA332dRAzSAy因此因此34RASzy4.1 4.1 静矩与形心静矩与形心如果是如果是1/41/4圆，情况又如何？圆，情况又如何？ 例例4.2 4.2 计算由抛物线、计算由抛物线、y y轴和轴和z z轴所围成的平面图形对轴所围成的平面图形对y y轴和轴和z z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。轴的静矩，并确定图形的形心坐标。zhyb122yzo4.1 4.

5、1 静矩与形心静矩与形心zhyb122ydybhSzAyA2d解：解：Sy AzAd12102222bhybydyhybyb0221dyzO4152bhb h244.1 4.1 静矩与形心静矩与形心AAAd形心坐标为:833242bbhbhASyz52321542hbhbhASzy0221bhybyd23bh4.1 4.1 静矩与形心静矩与形心例例4.34.3 求如图所示槽形截面的形心位置。求如图所示槽形截面的形心位置。 解：该组合图形可以看成解：该组合图形可以看成3 3个矩形的个矩形的组合，也可看成是矩形组合，也可看成是矩形ABDEABDE减去矩形减去矩形abdeabde而组成，选取图示而组

6、成，选取图示OyzOyz坐标系，坐标系，由于由于z z轴是图形的对称轴，故形心必轴是图形的对称轴，故形心必在在z z轴上，即轴上，即y yc c= =0 0。 设矩形设矩形ABDEABDE的面积为的面积为A A1 1，其形心坐标为，其形心坐标为z z1C1C ；矩形矩形abdeabde的面积为的面积为A A2 2，其形心坐标为，其形心坐标为z z2C2C，则，则 A1=120mm160 mm=19200mm2， z1C =80mm A2= 80mm120 mm=9600mm2， z2C =60mm 于是由式可得槽形截面的形心坐标于是由式可得槽形截面的形心坐标zC mm100mm9600mm19

7、200mm60mm9600mm80mm192002222212211AAzAzAzCCC4.1 4.1 静矩与形心静矩与形心一、惯性矩一、惯性矩oyzAdAyz AydAzI AzdAyI图形对图形对y y轴的惯矩轴的惯矩图形对图形对z z轴的惯矩轴的惯矩4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 微面积微面积d dA A对对z z轴和轴和y y轴的二次矩。轴的二次矩。 惯性矩的的单位为惯性矩的的单位为mm4或或m4。讨论讨论（1 1）惯矩恒）惯矩恒 0 0；二、极惯性矩二、极惯性矩oyzAdAyzAdAI2图形对图形对o o点的极惯矩点的极惯矩单位：单位：4m讨论讨论（1 1）222yz

8、AdAI2AdAyz)(22AAdAydAz22zyII 4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 oyzAdAyzyzzy222yz且且AdAI2AdAyz)(22zyII即即对对o o点极惯矩点极惯矩 = =对过对过o o点同一平面内任意一点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和对相互垂直轴的惯矩之和zyII I所以所以 只与原点只与原点o o有关，即有关，即constIIzy（2）0, 0yzII0恒I4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 yzbh例：例：4-44-4 矩形。求矩形。求yzII ,解：解：dAzIAy2zdz222hhbdzz2233hhzb3121bh同理

9、同理dAyIAz23121hbc4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 2 2圆形圆形32D4I644DIIzy3 3三角形三角形123bhIy123hbIz4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 三、惯性半径三、惯性半径将惯性矩表示为图形面积将惯性矩表示为图形面积A A与某一长度平方的乘积，即与某一长度平方的乘积，即 yI2yAizI2zAi=或改写为或改写为AIiyyAIizzi iy y和和i iz z分别称为图形对分别称为图形对y y轴和轴和z z轴的轴的惯性半径。惯性半径。4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 四、惯性积四、惯性积惯性积：惯性积：yzIAAyzd=

10、 惯性积惯性积I Iyzyz与坐标轴有关，因为坐标的乘积与坐标轴有关，因为坐标的乘积yzyz可为正或可为正或负，所以惯性积负，所以惯性积I Iyzyz的数值可为正或负，也可为零。的数值可为正或负，也可为零。 惯性积的单位为惯性积的单位为mm4或或m4。 0dAyzAyzI1 1、主惯性轴和主惯性矩、主惯性轴和主惯性矩主惯性轴：主惯性轴：若在坐标系的两个坐标轴中，有一个是图形若在坐标系的两个坐标轴中，有一个是图形的对称轴，则图形对这对坐标轴的惯性积必为零。的对称轴，则图形对这对坐标轴的惯性积必为零。这这一一对轴称为对轴称为主惯性轴。主惯性轴。主惯性矩：主惯性矩：图形对于主惯性轴的惯性矩。图形对于

11、主惯性轴的惯性矩。 2 2、形心主惯性轴和形心主惯性矩、形心主惯性轴和形心主惯性矩形心主惯性轴：形心主惯性轴：通过形心的主惯性轴。通过形心的主惯性轴。 形心主惯性矩：形心主惯性矩：图形对于形心主惯性轴的惯性矩。图形对于形心主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性平面：形心主惯性平面：横截面的形心主惯性轴与杆件轴横截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面。线所确定的平面。 凡是两形心主惯性矩相等的几何凡是两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所有轴均为形心主图形，通过形心的所有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。惯性轴，且形心主惯性矩均相等。 注意：对称轴一定是注意：对称轴一定是主轴，主轴不一定是

12、主轴，主轴不一定是对称轴。对称轴。4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 三、组合图形的惯性矩与惯性积三、组合图形的惯性矩与惯性积dD根据定义：根据定义：整个图形对某一轴的惯矩（惯性积）等于各个分图形对同一轴的整个图形对某一轴的惯矩（惯性积）等于各个分图形对同一轴的惯矩惯矩（惯性积）（惯性积）之和。之和。IIIIIIyz4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 例如例如: :IIIIIIAAAA则则dAzIAy2IIIIIIyzdAzdAzdAzIIIIIIAAA222yIIIyIIyIIIImiyiI1同理同理,1mizizII4.2 4.2 惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积 一、平行

13、移轴公式一、平行移轴公式 图形对形心轴图形对形心轴y yC C和和z zC C的惯性矩和惯性积为的惯性矩和惯性积为CyIACAz d2CzIACAy d2CCzyIACCAzyd= ， =， = 由图可知由图可知y=yy=yC C + b+ b ， z=zz=z C C + a+ a图形对图形对y y轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：yIAAz d2ACAazd)(2ACAz d2ACAzad2AAa d2=+yICyI故故=+ a2A4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式 yICyI= =+ + a2AzICzI= =+ + b2A yzICCzyI= =+ + abA注意：注意：（1）y、z轴

14、必须是轴必须是yyC ，zzC ；（2）a和和b是形心是形心C在在Oyz坐标系中的坐标，可为正，坐标系中的坐标，可为正，也可为负；也可为负； （3），），CyICzI和和CCzyI是图形对形心轴的惯性矩和惯性积；是图形对形心轴的惯性矩和惯性积； （4）对形心轴的惯性矩最小。）对形心轴的惯性矩最小。同理可得同理可得4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式 例例4.54.5 求图中槽形截面对形心轴求图中槽形截面对形心轴y yC C的惯性矩。的惯性矩。 解：解： 4423Imm104864mm160mm120)mm20(12mm)160(mm120CyI4423IImm102688mm120mm80

15、)mm40(12mm)120(mm80CyI444444Imm102176mm102688mm104864CCCyyyIII4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式 例例4.64.6 求图所示求图所示T T型截面对形心轴型截面对形心轴y yC C的惯性矩。的惯性矩。 （1 1）确定截面的形心位置）确定截面的形心位置 mm3 .1031402020100701402015020100212121AAzAzAzCCC（2 2）求图形对）求图形对y yC C轴的惯性矩轴的惯性矩 423121I1044320100) 3 .103150(12)20(1001AaIICCyy423222II106872

16、0140)3 .10370(12)140(202AaIICCyy4444Imm1012111076810443CCCyyyIII4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式 例例4.74.7 两个两个8 8号槽钢与两块号槽钢与两块100mm100mm10mm10mm的钢板相连接组成图的钢板相连接组成图所示截面。求该组合截面对形心轴所示截面。求该组合截面对形心轴y yC C 、z zC C的惯性矩。的惯性矩。 解：（解：（1 1）计算截面对形心轴）计算截面对形心轴y yC C的惯性矩的惯性矩 CyI利用平行移轴公式，求得每一块钢利用平行移轴公式，求得每一块钢板对板对y yC C轴的惯性矩为轴的惯性矩

17、为 423Icm3 .032110)5 . 4(12) 1 (10CyI从型钢表中查得每一槽钢对从型钢表中查得每一槽钢对y yC C轴的惯性矩轴的惯性矩 为为 4cm3 .101CyI因为整个截面由两块钢板和两个槽钢组成，所以因为整个截面由两块钢板和两个槽钢组成，所以 4Icm2 .609) 3 .2023 .203(2)( 2CCCyyyIII4.3 4.3 平行移轴公式平行移轴公式 （2 2）计算截面对形心轴）计算截面对形心轴z zC C的惯性矩的惯性矩 CzI每一块钢板对每一块钢板对z zC C轴的惯性矩为轴的惯性矩为 43Icm3 .8312)10(1CzIC从型钢表中查得每一槽钢的形心从型钢表中查得每一槽钢的形心到外侧边缘的距离到外侧边缘的距离y0=1.43cm，则该形心，则该形心到到z zC C轴的距离为轴的距离为 Ca =5cm1.43 cm=3.57