弹性力学(本科级)

1、弹性力学与有限元基础胡雨村 博士2010年3月弹性力学部分主要符号介绍应力和应变（1）八面体剪应力八面体正应力剪应力正应力偏应力张量应力张量主应力，213213231JIsoctoctijij应力和应变（2）片应变张量应变张量主应变主应力偏量，平均剪应力）平均正应力（静水应力ijijmoctmesssJ3213212,52应力和应变（3）主偏应变张量，八面体工程剪应变八面体正应变体积应变工程剪应变正应变32121132231eeeJIIoctoct不变量（1）是相关定义的角度式中的量偏应力张量的第三不变量偏应力张量的第二不变应力张量的第一不变量，2/3233222222232112333cos

2、316121JJsssJssJIkijkijxyxyxyxzzyyxijij不变量（2）量偏应变张量的第二不变相关定义的静水长度相关定义的偏长度量偏应变张量的第一不变zxyzxyxzzyyxijijveeJIJI2222122116121312材料参数（1）泊松比弹性模量）等双轴压缩强度（单轴拉伸强度）（单轴压缩圆柱体的强度Efffffbcbctcc00材料参数（2）应力纯剪切中的屈服（破坏准则中的系数，角准则中的内聚力和摩擦，剪切变形模量体积模量agerDrucCoulombMohrcEGEKPrker)1 (2)21 (3其他（1）破坏准则或屈服函数材料柔度张量材料刚度张量矩阵矢量)(fD

3、Cijklijkl其他（2）交错张量轴之间夹角的余弦和，余能密度）（应变能量密度符号克朗内克笛卡尔坐标，或，ijkjijiijijijijxxxxlWKronecxxxzyx321)cos()(ker)(弹性力学理论 矢量和张量 应力分析（重点） 应变分析（自学为主） 弹性应力-应变关系（重要） 总结第一章 矢量和张量（1）引言基本概念定义：讨论应力、应变、本构方程时通常所采用的 符号。特点：对物理量优先采用这些符号而不是展开式，具有简洁的优点，各种关系可用数学形式表示，这样可以集中注意物理原理而不是方程本身。范围：矢量和张量的内容仅限于弹性和非弹性范围内有关的应力、应变及其相互关系的应用。（

4、2）坐标系：笛卡尔坐标系（右手法则）（3）矢量代数 矢量：既有大小又有方向的量（书写加箭头，印刷用黑体表示），如速度、力等。 标量：只有大小无方向的量，如温度、质量等。 单位矢量：大小为1个单位，表示某个方向。例：空间任一点P，坐标）（321,vvv矢量：321VVVV），（简式：或321332211vvvVevevevV关系：的分量，反之亦然为，VVVV321矢量相等：必须分量相等 矢量乘标量：平行四边形法则：332211,uvuvuvUViiiiuviuv或，简洁表示：321（4）标量积（点积、内积）：矢量乘法之一，结果为标量。定义：特例：一个矢量为单位矢量，则点积为另一矢量在单位矢量方向

5、上的投影长度。cosVUVU推论： 两垂直矢量点积为零，反之亦然。 一矢量长度平方可以由它与自身点积得到。 一矢量在其自身以外方向上的投影，可由其与在该方向上的单位矢量之点积得到。应用例子：功率计算（5）矢量积（叉积） 结果为一矢量（方向由右手系确定；大小为平行四边形面积） 矢量顺序不能互换 结合律不存在 一矢量与自身的矢量积为零矢量应用例子：力矩计算（6）三重积 三个矢量 的点积、叉积可得到几种有意义的乘积形式。 三重标量积（框积），点积与叉积可互换，不影响结果。 三重矢量积：必须用圆括号，结合律不适合。WVU)(WVU)(WVU（7）标量场和矢量场 标量场：一个标量值由空间一点位置决定，可

6、根据该点坐标表示为一个函数 表示一个面。 矢量场：依赖于位置和方向，如流体粒子的速度 常数，)(321xxxf。，)(321xxxV 标量场的梯度：为矢量算子的梯度称为，的三个分量矢量），的导数，即、，对坐标一个标量gradGGGixGxxxiii321(321 矢量的散度不能互相交换。不存在，点积量。不像矢量那样有三个分一点它只有一个值，是一标量，在空间的任注意：为这个矢量的散度与一个矢量的点积定义算子VVVxvxvxvVdivV332211 矢量的旋度321321321vvvxxxeeeVcurlVVVV分量形式：的旋度。的形式，称为的叉积可写成与 几点结论：0)()5(0)()4()32

7、12232222212VVcurldivVgradcurlVVVxxx的旋度的散度的梯度的旋度（）（为标量场和式中，）（）（拉普拉斯算子）（的偏导数存在），（如果V（8）指标记法与求和约定 指标记法一个矢量可采用不同方式表示： V = (v1，v2，v3）= v1e1 + v2e2 + v3e3 在三维空间里，矢量有三个分量，采用一般化指标将它们用一个简单的分量进行缩写是有用的。指标记法中， vi 代表矢量 V 的所有分量，指标 i 的值从 1 到 3 变化。 求和约定 求和约定是指标记法的补充，并考虑到在处理求和时进一步简化，采用下面的约定： 只要一个下标在同一个式子中出现两次，就理解为这个

8、下标是从 1 到 3 进行求和。例如：两个矢量U和 V的点积。 说明： 缩写，要求指标 i 要重复，但不采用求和符号（爱因斯坦首先提出）。 指标自身可以随意选择，这些重复的下标称为哑标。 在等式或表达式中只有在同一项中出现两次标记符号，求和约定才有效。 例子：三个联立方程式 说明 因指标字母选择没限制，故通常将重复指标作为哑标。 自由指标必须在方程两边采用同一个指标，如例子中最后的i。 一个自由指标的存在表明与矢量有关 出现两个自由指标时，表明与张量有关（后叙）。 标约下定三规则： 规则 1 规则 2 规则 3继续 规则1：如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则称之为“自由指标

9、”。这种自由指标在方程或表达式的每一项中必须只出现一次。返回 规则2：如果在一个方程或表达式的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑标”。它表示从1到3进行求和。哑标在其他任何项中可以刚好出现两次，也可以不出现。返回 规则3：如果在一个方程或表达式的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。返回 微分的记法在下标中，用一个逗号表示微分。如： 第一个指标表示矢量的分量 逗号表示关于第二个指标的偏导数 第二个指标对应于相应的坐标轴3,32,21,1,vvvvxvViiii（9） 可看做是一个单位矩阵的缩写形式，即符号）符号（kerKronecij301100010001332211jji

10、jjiijijijijjiji由求和约定得：矩阵是对称的。，所以。的分量是时，当的分量是时，所以，当（10） 符号（交错张量） 一个矢量可以被认为是一个具有3（3的下标数次幂）个元素的张量。 交错张量有 或 27个元素，这些元素根据下标值规定为+1、-1或0。 这种定义是根据将下标交换成1、2、3的自然顺序所需交换的次数而定。 下标交换次数为偶数，则元素值为1；下标交换次数为奇数，则元素值为-1；下标出现重复，则元素值为0。 不论交换方式如何，交换的次数总保持为奇数或偶数。ijk3311232311132 利用交错张量和克朗内克的定义，可用展开法很容易地验证：恒等式ksjtktjsistijk

11、例题：利用指标证明证明：CBABCACBA)()()(CBABCACBADCBABCADDCBADCBACBADcbcEADbCBEaCBADCBEijissittijsitjtisitsjkstkijikijijktsjkstijktskstjijkikjijkitskstk)()()()()()()()(因此：为置换算子）（或恒等式，有利用（下标交换偶数次）因为得）代入式（将式（和积可写出所以，由两个矢量的叉，设：（11）坐标的变换 常常需要重新取参考轴，并在新坐标系下重新计算 V 的分量值。 矢量在两个坐标系中的分量可用两轴正向夹角的余弦联系起来。有关。与所选择的坐标轴方向，或、的分量值

12、，表示成矢量ivvvvV321（12）笛卡尔张量的定义 新坐标系中每一个新矢量的分量是原来分量的一个线性组合，这种变换规则方便且有用。 一阶张量：具有3个分量，具有前述的变换特性。零阶张量（标量）有1个分量。 二阶张量：类似地推广，有9个分量。 一个矢量完全可由三个标量来定义，一个二阶张量完全可由三个矢量来定义。 表示物体内某点的应力状态的量构成了一个二阶张量，即某点的应力状态完全可由三个应力矢量来定义。 三阶张量：有27个分量 虽然所有的矢量都是张量，但并不是所有的矩阵都必定是张量。 工程应变分量不构成一个张量，即应变矩阵不能按变换规则变换（换句话说，如果物理量不是一个张量中的分量，则不能画

13、Mohr圆）。说明： 由于具有变换的特性，所以只要知道某一坐标系中的张量，则它在所有坐标系中的张量就全知道了。 在特殊情况下，如果在一个坐标系下的所有分量都为0，则在所有坐标系下所有分量都为0。 这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助。（13）张量性质 张量的运算方法与矢量相类似。 相等：两个张量对应的分量相等时，它们相等。 相加：两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量。（相应分量相加或相减定义运算结果）。张量方程：如前所述，一个张量方程在一个坐标系中成立，则在所有坐标系中都成立。乘法：i.张量与标量乘积构成一个同阶的张量。ii.张量与张量相乘，构成一个新的张量，其阶数是原张量的阶数之和。

14、缩并：三阶张量，如果将两个指标赋给相同的字母，即成为一个一阶张量。（变换规则可证明）（14）各向同性张量 定义：一个张量的分量在所有坐标系中都具有相同的值，则它是各向同性的。如标量（零阶张量）量为一个三阶各向同性张由变换方程可证明量的定义。这就是二阶各向同性张用变换规则得到对于都是各向同性的和张量ijkijjrirrsjsirijijijkijllll（15）商法则是一个张量则是一个标量）有中的值对任何张量如果它们在任一坐标系，个量的坐标系中有考虑在ijijijijijiaccbabax(9 交错定理商法则可以写成交错形式是张量。和那么，的一个标量，、是对任意矢量的一个矢量；是对任意张量的一个

15、矢量；是对任意矢量kijijiiikjikijijikjkijiiijijaawvucwvuacbcbabuvuaa)()()(（16）面积分体积分（散度定理） 在连续介质力学中，作用在物体体积上的全部力包括体力（如重力）和面力（如压力）。在推导平衡方程和运动方程的过程中，这两种力分别写成体积和面积的积分，为了两者结合，将面积分表示成体积分是很有必要的，反之亦然。 高斯散度定理可适用于这种情况。 高斯散度定理证明略外法向的单位矢量。为垂直于曲面指标记法：上的体积分。的体积的散度在该曲面所包围等于矢量上的面积分曲面的法向分量在一个封闭一个矢量SNdVudAnudivUdVdANUVUSUViiS

16、iiSV,（17）习题 是一个单位矢量。，证明如果第二题、为标量证明：第一题、利用指标记法ijjiiBAAABAAAbAa),()()(.0)(.（18）小结 重点在指标记法与求和约定；克朗内克符号；交错张量；张量性质等。 一般了解，尽可能记忆。第二章 应力分析1、引言 应力和应变分析，对任何可当作连续介质的物体都适用。 为了研究一个物体不同部分的作用，通常采用的截面法用于连续介质力学方法和材料力学方法都是合适的。一些常用定义 自由体：一小单元体连同其上作用的外力，割离出来后，它不再受其余部分的约束，即成为自由体。 平面：截开物体的面，由它的位置与法线方向确定。 截面法：物体被截成两部分（想向

17、），两面上的内力，用分布表面力代替。截面有两个侧面，一个侧面认定为正，则另一个侧面就为负。2、一点的应力状态 连续体D中一点P0，坐标为xi，由微体 包围，其上作用两种力： 体力（体积力）：合力R和对一定点的合力矩Gv表示单位体积上的体力和假设：FvGFvRvv0limlim00DkjijkiDDiiDiidVFxMdVFrMModVFBdVFBxFF或为的合力矩体力对原点或全部体力：续体上的连续函数，在整个连是的分量假定。和作用与反作用：有的合力矩。作用的合力和对是在和。的平面域具有单位法线面力（接触力）：nninnGPxAGPAn0 应力矢量：是单位面积上的力。相关的应力矢量，单位与截面点

18、表示在有关）与固定截面矢量（和所以，极限力矩集度为零：假设集度存在一个确定的极限力：假设nxnTTTAGTTAPTinnnAnnA0000lim2lim1 一点的应力状态的定义：某点的应力状态由该点上全部应力矢量 的总体确定。 过一点的三个互相垂直面上的应力矢量。（画图）nT 应力张量：（用板书说明） Von Karman 标记表示剪应力分量。表示正应力分量；其中，：标记，应力张量的分量采用zzyzxyzyyxxzxyxijKarmanvon），且对称，（用代入法可得：的双指标标记表示形式应力张量321333231232221131211innTijjijjjinizzyzxyzyyxxzxy

19、xzzzyzxyzyyyxxzxyxxijij也就知道了。下的，在其他坐标下的知道某坐标是一个二阶张量。理，根据商法则中的交错定的一个矢量。是对应任意矢量值的计算出对应任何可以从量表示可用该点的应力张量分量分量的任意平面上的应力矢上式表示过某点法线为,ijiijiijiiniiijxxnTTnn3、Cauchy (柯西)应力公式 前面的表达是Cauchy应力公式的一种表达形式。实际中，常需根据某点的应力张量分量来直接表示作用于过该点任意平面上的任意矢量的正应力分量和剪应力分量。即：nnijS和直接表示由例题：证明投影定理（板书讲义内容）平面应力状态（见讲义）平面应力状态充分必要条件是一个主应力

20、为零（即，应力张量的行列式为零）。4、应力主轴画图示意主平面：主方向：主平面的法线方向主应力：每个点上至少存在三个主方向。的平面法线为（无剪切应力）和nSTnnn0ininnTnT或是正应力）（特征方程和应力张量不变量zzyzxyzyyxxzxyxyyxxyxzzxxzxzzyyzyzyxIIIIII333231232221131211322211211333113113332232223322111322130特征方程：从三次方程根的特性：是特征根。，其中，321321313322123211III 结论： 三次方程无论在坐标系 1-2-3 中，还是在坐标系 x-y-z 中，都是一样的，故I

21、1、I2、I3是应力张量不变量（无论坐标轴怎样转，值不变）。 如果三个主应力不同，则所有主方向正交。 如果主应力各异，则对每个应力值正好有两个独立方程。 所有三个根以及三个相应主方向都是实数。 应力张量不变量321313221211333231323222123211321232PPPPQPPQPQPPPIIIktjsirrstijkktjsistijkkmijmijkijkkijkijjiijiiij得出可采用交错张量另外，应力张量不变量惟一的不变量。不是应力张量和、三个不变量不变量Q和P，以及不变量I1、I2和I3之间关系：)23(6161)(212121321313322122111PPPPQIPPQIPQI5 正应力和剪应力的驻值设定主正应力为驻值（证明略）主剪应力：在某截面上的剪应力为驻值，则称之为主剪应力。6 纯剪切状态定义：一个应力状态成为纯剪切状态的充分必要条件是