二次函数中有关围成矩形面积的最大值问题的探究

1、二次函数中有关围成矩形面积的最大值问题的探究山东省莱芜市实验中学张明271100围成矩形面积的最大值问题，是二次函数应用中非常重要的一类问题，解决这类问题，往往要根据题目所提供的信息，把矩形的面积表示成关于矩形一边的二次函数，从而把实际问题转化成数学问题，归结为二次函数模型，再用二次函数的相关知识，使问题得以解决，在这一过程中，把矩形面积表示成矩形一边的二次函数是解决问题的关键，除此之外，把握已知信息，结合自变量的限制条件，数形结合，也是准确求解所必需的，下面结合实例加以说明。类型一：用已知定长的线段围成矩形例1、有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S与它的一边长x之间的函数

2、关系式？当x为何值时，矩形面积S取得最大值，最大值是多少？分析：这是一道常规题，只要把矩形的另一边用X表II示出来，矩形面积S等于矩形两邻边之积，顺利得到关于xsx的二次函数，从而得解。解：矩形的另一边是60-x=30-xx>0,30一x>0:0<x<30S=x(30-x)=-x2+30x=-x2+30x,(0<x<30):当x=-册=15时，S最大=2255cm2)类型二：一边靠墙围矩形在围成矩形问题中，除了类型一，还有一种类型就是一边靠墙，只围另三边，这一类型中，有两个条件与类型一不同，一是围矩形的四条边改为只围三边；二是墙长作为一个限制条件影响自变量的

3、取值范围。抓住这两点就能准确求解。例2、在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m),花园的面积为y(m2).(1) 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；(3)根据(1)中求得的函数关系式，判断x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：同例1一样，只要把矩形的另一边用x表示出来，矩形面积S等于矩形两邻边之积，顺利得到关于x的二次函数，只是利用墙长作为一个限制

4、条件求出自变量的取值范围。问题解决必须在自变量允许的取值范围内进行。解：1）根据题意得：矩形的另一边是,40-x240-xy二x._21=x2+20x2x>00<x<154>02x<151(2) 当y=200时，即丄x2+20x=2002解得x=x=20>15,12.花园面积不能达到200m2.1（3）Ty=x2+20x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=20,2当0VxW15时，y随x的增大而增大.x=15时，y有最大值，1y=一x152+20xl5=187.5m2最大值2即当x=15时，花园的面积最大，最大面积为187.5m2.评析：本题第（3）问是最

5、大值偏离抛物线最高点的情形，这种情形下，一定要看对称轴是否在在自变量的允许值范围中，如果在在自变量的允许值范围中就按常规进行，抛物线的最高点即为围成面积的最大值，否则，就要按函数在对称轴两侧的增减性，结合自变量的取值范围进行。在这里，也可数形结合，从图形上直观得出，如本题第（3）问函数图像如图：1函数y=x2+20x的图象是开口向下的抛物2线，对称轴为x=20，顶点为（20，200）。而与实际问题相符的是0VxW15的部分（图中实线部分）,最大值在x=15时取到，为：1x152+20x15=187.5m22类型三：两边靠墙围矩形这类问题中，除了像类型二一边靠墙围矩形外，还有一种借助两边围矩形的

6、情况，此类型的关键也是要依赖题目的信息，利用所给的限制条件求所围成矩形面积的最大值。例3、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），C用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB=xm.（1）若花园的面积为192,求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值分析：因为AB=x，所以，BC能用含x的代数式表示出来，从而得到关于矩形面积的二次函数表达式，根据已知条件进一步确定自变量x的取值范围，结合方程和函数的相关知识解决。解：(1)tAB=x,BC=28-X花园ABCD的面积=(28-x)x根据题意得：(28-x)x=192解得x=12m或者x=16m(2)tAB=x,BC=28-X花园ABCD的面积S=(28-x)x=-x2+28xx>628-x>156<x<1328又函数S=-x2+28x的对称轴为x=-一=142x(-1)而当x<14时，s随x的增大而增大.当x=13时，面积最大