一,隐函数的求导法则

1、2022年5月5日20时11分1一一,隐函数的求导法则隐函数的求导法则 二二,由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数的导数的导数2022年5月5日20时11分2一、隐函数的求导法则定义定义: :.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的

2、与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分3隐函数的导数设函数y=f(x)由方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则其求导方法： 在方程F(x,y)=0的两边各项关于x求导，遇到y时先对y求导数再乘y，最后解出y即可。例八、求隐函数的导数y：解：两边各项关于x求导：解出y：说明：一般地，隐函数的导数是同时含有x,y的表达式。xxyxcos223xyxyyxsin42322xyxyxy4sin23222022年5月5日20时11分4例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0

3、dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 的复合函数的函数看成的函数，看成将xyxy目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分5例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程

4、为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分6例例3 3.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy目录目录后退后

5、退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分7 反函数求导法则 反函数的导数，亦可以用隐函数的求导方法求出。 2022年5月5日20时11分8yxxysinarcsin可得由dxdyycos1ycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例1 1解解求导，得两边同时对x)(arcsinx同理可得同理可得目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导的导数求) 11(arcsinxxy2022年5月5日20时11分9例

6、：求函数2)2(arcsinxy 的导数，的导数，解解：;42arcsin221)2(112arcsin222xxxxy2022年5月5日20时11分10；）（解：的导数（例：求函数22222222222222112211lnxaxaxaxxaxxaxxaxyxaxy2022年5月5日20时11分11例例1，求函数，求函数xylnlnln的导数，的导数，；解：xxxxxxylnlnln11ln1lnln1例例2，设函数，设函数f（x）可导，求）可导，求的导数；)(cos)(sin22xfxfycossin2sinsincos2coscossin2sin2222）（）（）（）（）（解：xfxfx

7、xxxfxxxfy2022年5月5日20时11分12;1112,12)1(1)1(2)1()1(2)1(1)1()2(2)1(2)12(112222222222222222ttttttttttttttttty例例4 4，求，求212arcsintty的导数；的导数；解：解：2022年5月5日20时11分13；）（）（解：2arcsin442arcsin422212112arcsin2222xxxxxxxxxxxy例例3，求，求242arcsinxxxy的导数，的导数，2022年5月5日20时11分14对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方

8、程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分15例例2 2.的导数求函数xay axylnlnadxdyyln1dxdyax )(aylnaaxln解解,两边取对数，得隐函数特别地特别地.)(xxee目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导得求导两边同时对,x2022

9、年5月5日20时11分16对数求导法 若求导函数是幂指函数或多项乘方、开方、乘除的形式时，可考虑使用对数求导法：先取对数，再求导数。例九、求导数：解：两边取对数：两边求导数：解出y：说明：最后结果中，一定要将y代回原来的表达式。xxysinxxylnsinlnxxxxyysinlncos1).sinln(cossinxxxxxyx2022年5月5日20时11分17例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4

10、(1)1(23yexxxyx 求求设设目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分18例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分19一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxd

11、xfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分20.,)(sincosyxxyx 求求设设例例6 6解解)(ln yyy)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx 2022年5月5日20时11分21四、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间

12、的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分22),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(t

13、t dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分23,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分24 设参数方程为 ，则导数例十、求导数y：解：由公式得：说明：参数方程的导数中一定含有参变量。

14、上页上页下页下页)()(tytx)()(ttdxdyttyttxsincosttttxydxdyttsin1cossin2022年5月5日20时11分25例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分26.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即目录目录后退后退

15、主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分27例例6 6解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 2022年5月5日20时11分28总结：初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的

16、导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分292211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuv

17、uvu.( ( 是常数是常数) )C 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分303.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分31

18、例例1 1.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分32例例2、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：21xy32)sin(xxyxy1arctanlnnxy)ln(arcsin解：解：222221)2(121)1 (121)1(xxxxxxxy目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分

19、33其余：其余：)2sin1 ()sin(322xxxyxxy1arctan)1 (12xxxnyn21ln11)ln(arcsin目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分34例例4 4.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a2022年5月5日20

20、时11分35例例6 6.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例7 7.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 2022年5月5日20时11分36注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;目录目录后退后

21、退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分37高阶导数.求法：要求n阶导数，先求n-1阶导数；求导法同一阶导数。例十三、求二阶导数：解：求一阶导数再求二阶导数例十四、求二阶导数：解：xexy22xexxy22)22(xexxy22)482( 0sin21yyx.)cos2(sin4)cos2(sin2cos220cos21132yyyyyyyyyyy 2022年5月5日20时11分38复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函

22、数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分39例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求设设解解,12xu 设设,11ln41arctan21 uuuy则则)1111(

23、41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 2022年5月5日20时11分40.,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 例例4 4解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy2022年5月5日20时11分41.,arctan1ln222dxyddxdytytx导导数数数数的的求求有有参参数数方方程程所

24、所确确定定函函设设 例例5 5解解ttttttdxdy1111)1(ln)(arctan222 222221)1(ln)1()1(tttttdxddxyd 2022年5月5日20时11分42一、思考题一、思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分43思考题解答思考题解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和目录目录后退后退主主页页退退出出

25、本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分44一一、 填填空空题题： 1 1、 设设xxysin ，则则y = = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 设设xeayxx23 ，则则dxdy= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 设设)13(2 xxeyx, ,则则0 xdxdy= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 设设1sectan2 xxy, ,则则y = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5、 设设553)(2xxxfy , ,则则)0(f = =_ _

26、 _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、 曲曲线线xysin2 在在0 x处处的的切切线线轴轴与与 x正正向向的的夹夹角角为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分45二、二、 计算下列各函数的导数：计算下列各函数的导数：1 1、 211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、 21csc2xxy ； 4 4、ttxf 11)(, ,求求)4(f ； 5 5、)0, 0( baaxxbbaybax. .三、三、 求抛物线求抛物线cbxaxy 2上

27、具有水平切线的点上具有水平切线的点. .四、四、 写出曲线写出曲线xxy1 与与x轴交点处的切线方程轴交点处的切线方程. .目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分46一、一、1 1、)cos2sin(xxxx ；2 2、22ln3xeaaxx ； 3 3、2 ； 4 4、)tansec2(secxxx ；5 5、253；6 6、4 . .二、二、1 1、 22)1(21xxx ； 2 2、2)110(10ln210 xx； 3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ； 4 4、181； 5 5、)(ln)(

28、)()(xbabaaxxbbabax . .三、三、)44,2(2aacbab . .四、四、022 yx和和022 yx. .练习题答案练习题答案目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分47一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设4)52( xy, ,则则y = =_._.2 2、 设设xy2sin , ,则则y = =_._.3 3、 设设)arctan(2xy , ,则则y = =_._.4 4、 设设xycosln , ,则则y = =_._.5 5、 设设xxy2tan10 ，则，则y = =_._.6 6、

29、设设)(xf可导，且可导，且)(2xfy ， 则则dxdy= =_._.7 7、 设设xkexftan)( , ,则则)(xf = =_， 若若ef 4 ，则，则 k_._.练练 习习 题题目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分48二、二、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8

30、8、xxy 11arcsin. .三、三、 设设)(xf，)(xg可导，且可导，且0)()(22 xgxf, ,求函数求函数)()(22xgxfy 的导数的导数 . .四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 . .目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分49一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln10

31、22tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；练习题答案练习题答案目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分50 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年5月5日20时11分51一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设nxxyln ，则，则y = =_._.2 2、 设设xy1cosln ，则，则y = =_._.3 3、 设设xxy ，则，则y = =_._.4 4、 设设tttteeeey ，则，则y = =_._