弹塑性力学大题

1、10分考察一点的应力状态,对于法线为=危十加今十拜的斜截面分,心是直角坐标系三个坐标轴的单位基矢量,根据chauchy公式,其应力矢量为71户"4注7e耐+46排式中穴七,联分7X&是三个正截面上的应力矢量,假设某一应力状态的三个主应力5,5,5,试使用上面的公式计算八面体等倾面上的正应力和剪应力,并说明该剪应力只取决于偏应力,与体枳应力无关5一-f曲夕?百两/I二M二nhr十12二九6血+6'+T"G-6；nJy芹/5；叶内：的十应防广j-一如"J6、J*6ap0一6刈二7宿f¥&i内并/$lGz=%-%6.3=32；仿一5&#

2、39;3二St,.C=I:6<$*6F46rQa之力X取决于伸态力求息,豺用场总攵.一薄壁圆管,平均半径为心壁厚为“,承受内压P作用,学拉力工和扭转时联合作用,、'求任意一点应力状态的平均体鹘力和偏蹩第5不交专JJ.分''.二仙建,3嬴3部a_二丁_伴丁一r5=.二扇".量一.与一下I/一件t%0c/一-415分如下图的平面杆系结构由三个杆组成,杆件为理想弹塑性材札屈服也力箕5,各杆的截面枳均为/,中间第2杆的杆长为,它与相邻的第1杆和第3打的火角均为0=45°,在O点作用垂直向下的荷威尸,/1使用最小势能原理求出在弹性阶段0点位移5的表达声；

3、飞/2求杆件开始屈服时的荷载P,并讨论屈服开始后各杆的应力和变形情况；3求极限荷我入_杷更,倩木的卜壮心猿巨三2岫底内6产他遍遍示矩形裁面费走缆修瓣布箧就拜退二生能否成立.假设能成空翳嬴专舞眄喙脸砌詈器配“广加产十瓶配31X1113F1LID(1)的筒内部乂2).假设材料从Mises,除外受6二双入7)'g国嘈州不可历附3,96"0?)1三噜播可海的寸彳而笈都谖,又肠P而就济、物心修力磋会为/G；-f*十矣内人电旧油谒3程M励二sj=3二2大箝土号批帆为F徜Y5Mr+cr.：.0?二2C6二;十©加,)+2C洋等体力3)七二-F(百忸x必二*4/)4卜卜y喝4f十d

4、-w心卜x卜心切屉,以e%-华十Hr-“记+匕/(',=/=/£=彳=由才用怪勺团Ue=W6jz?,82胴猾得A一等J：工牙信利：b二一£»(卜等邛“卡善j»)r+苗6十国姐网南螭钏,1咋二H0r.e.2?才佝和6力旬._££_2CDu-忐/咔P£二Hr-/址f白,*,3学,%8工二古10V仿衣-叼“6)1二?为-5)二pW7z*MM日法洲f-2二P悬产品试用Ritz法和Galerkin法求跨度为1>抗弯刚度为£/的简支梁在均布下的挠度近似解,其中挠度的试验函数Ritz法设为：w(x)=cix(/r)

5、+.如(?一/)Galerkin法设为：1y=.1工4+6+.*2+.4+45式中5,C2以及m,内为待定常数,坐标原点设在梁的一端.(15分)解1)用Ria法求解门)设挠度的试验函数为<r)=G.rCZJ-)+qx2(尸一公)(a)此题的位移边界金件足两端支菽虫的挠度为零,即=0(b)显然.该挠度试验函数满足c(?)求总势能=u+V=£/口(胃?也:mdi仅取位移函数的第一项代人,得门一1n11:方EI(2c)"-cjgr(/jr),dxJ.L/J(3)求总势能的极苴辿一n_f/2九124HJ将q代入式43得梁的挠度为b-24EJ()7)畤中的最大施度为为与材料力学

6、的斛不需相比,误爰为17%o96F7/6.8E7假设挠度试验函数取二项迸行求解那么按上面的方法可解得M_qCl,.24Ef24EJ此时给出的最大撰坟与材料力学的解比拟接近.2)用GabrkE法求解此题的力边界条件是两端支承点处弯融为零,即/d:w八II=0d/r/一0.4一,用Galerkin方法解题,要求设定的挠度试验函数既满足位移边界条件式(b)乂满足力边界条件式(.).选取多项式形式的先度试脸函数,由于一次、二次多项式不能同时满足这两方面的条件,二次多项式不稠足对称性要求应选取以下四次多看式w=十口2,'+4怒代人式(b)和式(C),那么要求处H=0,z2/2jI.4=4/3故得

7、8=.；(*一2反,+£、)某材料在纯苗作用下,弹性剪切模量为G,泊松比为V,剪切屈服极限为吆曳化后满足Jx/-const,假设采用Mises等向强化模型,试求材料单轴拉伸下的座力应泰高一'一期叵堂林治二.三甲册告打,二川加造得,以MU"工沌加南良力6gL倬J虬J珑发良/+Z点血沈训叫小小吓物*孑1机明孔L和二内常环.一3人/沆二以产dzJ&尸Jsl工外5二,3二九|3二.学心心2,丐毋赊黑里火"匕某材料在纯剪作用下应力一应变关系如下图,弹性剪切模量为G,Poisson比为v,剪切屈服极限为Ts,入强化后满足d7/d¥=G,=const.

8、假设采用Mises等向硬化模型,试求(1)材料的塑性模量(2)材料单轴拉伸下的应力应变关系.解：(1)由于i.vpiV31.卜31-ddE*22_h292儿所以dp*3*d.hh=3*=3G(2)弹性阶段.由于GJ,所以E=2G(11)由于是单轴拉伸,所以二E；塑性阶段.1开ff=(-d-kl)-hl-ii.材料服从吵ses屈服条件,它的一个微单元体在1方向茎型蚂/6.作用到达屈服,此时o尸5,然后保持6不变,.在2方向作用拉应力立.2方向与1方向垂直,问：-X一F一1在6跳开始除时,微单元件是处于加载还埠卸载一心假设是处于卸载,当6.为何值时才开始重新加载15分、二,wArr,*-r,J.&

9、quot;八1一例祕干网吁乱二七-抑也二前一/2,>=或-3(%+8)=WC-JbS3a森对,±f,士卜二351如一§Q/叫-m瓠/6工-畀,3Js2Po伐勺入8'露j"q0依林精处于钎教为了:百I忖：七L的儿当靠从呵次付,那么162do丁如乂8?75J人叫财Oz»b/%GzX%附,歙我材埼力就,一薄根厚度为/,其材料的弹性模量和泊松比分别是E、g,试分别导出它在平面应力状态下和横力作用方向与板垂直弯曲状态邙性典座变能由忠裁表示的表达式rni.OliJDu*-O?w薄板弯曲中三嗟=-ZQ'e,=不羽丁宝+诙=-2z赭15一对-屋&a

10、mp;/优£»+邪一即?小(15分)设矩形薄板的边长分别为力和冲,四边固支,受垂直于板面的横向均布荷载g作用,设弯曲挠度为Ex其中C1是椅定常敷.试,证实它濡足所有边界条件：2)使用Ritz法求饶度提示：不考虑横向剪切,应变能仅取决于板面内的应力和应变分量,面内应力分量与挽度的关系为.-备侍*v罗解：在板的固定端,挠度和转角为零.显然：X妾=侬)良=0满足()x-a=2G(x2-a2)2x(y2-b2)2=0:x一22222_(一)y=b=2C1(x2-a2)(y2-b2)22y=0二y一故0=01=Ci(x2-a2)2(y2-b2)2满足所有的边界条件2、用Ritz法求解

11、简支梁在均布荷载作用下的挠度(位移变分原理)步骤：(1)设挠度的试验函数w(x)=Cix(l-x)+C2x2(l2-x2)+显然,该挠度函数满足位移边界w(0)=0,w(l)=0.ll(2)求总势目匕口=U+V=J0;EI(w"fdx-'qwdx仅取位移函数弟一i项代入,得_l12n=0|-EI(-2c1)-c1qx(l-x)dx(3)求总势能的极值2/0寸器代入挠度函数即可1.假定矩形板支承与承受荷载如下图,试写出挠度表示的各边边界条件：解：简支边OCW边界条件是：1y卫=0：2.：2.Myy_0=D(2')y'=-M0y-二y:x自由边AB的边界条件是：2

12、23风(写+专0,M-D名+切fix出两自由边的交点B：1丫*=0(2Mxy)上=Rb是B点支座的被动反力.x=a,yb国3n息W梁受集中荷共悬着梁一端受集中力作用,粱鬲为3跨度为L-如阿33所示.假设不考虑冰积力,求何是I的应力弱.卜面使用应力许数第=4芯/十"y求解.将群代人协阳方程叩峰一.显搬活足.由应力函数求应力分量,博=6"¥,?=一：-Q,4匚一一$3一b(aj应力分量应满足力也畀条件；在了一士专时,5；水工=小(口/一离广.(b)将武仃,分别代入式?h人得一3M(g)-.=0Cc)在#=的辿界：/=-L*m-上、力由罪条件誓求T工一酎上+,枇卢=-1

13、,%=Sdry=0(d)Ty,阳)=-.&=3dyz+h(启)显然,式能精确满足,式(.要求端部截面作用分布面力,而卖除作用的是集中力,因此+不能精确满足,需应用圣维南原理近似满足.I,1上P-Iydy1=C出'+by>=了小斗-|脑(f)与3联立方程(力和方程(c),解得将常数代入式U)-得所求的应力分量为如右图所示,矩形板在四个角点作用分别作用大小为F的集中力,其中A点和C点的集中力向上,B点和D点的集中力向下,四条边均为自由,求板的挠度.解：板边的边界条件为:(MxX?=0,MX号=0Myy_b=0,Vyy_b=0一2一24个角点的边界条件均为：(2Mxy)ab=F

14、x=-,y=-由于横向分布荷载q=0,因此根本微分方程变为：卡夕,=0假定坐标圆点的挠度为零,上式的解是.=Pxy式中的P是待定常数-2-2-2-2.2w二ww二wwMx-D(r、-T)My-D(-2、-2)Mxy-D(1-、.)一二x二y二y二x二xy-3-3-3-3w/c、:ww/c、二w,Vx=-D_3(2-.)_2Vy=-D_3(2-D2一二x二xy二y二x二y-2-_一二w2二,2Rb=2(Mxy)B=-2D(1-.)bQx=Dt2,Qy=-D2-cx:yex：y贝有：Mx=My=0,Mxy=-D(1-V)P,Qx=Qy=0,Vx=Vy=0显然板边的边界条件能自然满足,为满足角点的边

15、界条件,应有F=2Mxyb,y=-2Gt3：3FGt挠度解就是：二一热设有半无限空间体,密度为p,在水平边界上受均匀分布压力q作用.如图4.3.半今网体的水平位移产巳=0,假定在之=力处.使用位移法求半无限空间体中的位移与应力a得半无限不受均布向我根据问题的对称性,位移应只是.的函数UzU'(z)体积应变为代人位移表加的平衡微分方程式(4.6),前两个式子自然满足,而第三式变为(A+2G)鳖十疼=0利用弹性常数之间的关系,整理后得d-w_(Ip)(I2p)d/EC1-0年积分后得江,=_Q_Q(I_23(,A1H2E(1-P)佯式中A和B是枳分常数.确定积分常数需要应用边界条件.由位移

16、计算应力得%=G.=_?pg(之工,A)1-VOn=(J(Z,八)=TyZ=L：=.在半空间体的外表边界上有力边界条件/=m=0.T,=T=0.1=q代人力边界条件式(&4),前两个式子自然满足.而第二代贾求“=q求得二=Q/将它代入位移y的表达式,并利用位移约束条件(必)=(),便得B="-"将常数4和8的值代回位移和应力的友达式中,那么位移和应力完仝确定.应力分取中,二内是垂直面上的水平应力应是水平截面上的垂直正应它们的比仙是2二空=p%o：In这个比值在上力学中称为侧二力系数.如图5,4所示,简支梁受均匀分布荷载作用,梁的高度为人,跆度为25试求应力分黄和跨中

17、的挠度.设外仅是3的函数,据此找配应力的数华的表达式力=W,KJ网=E=f<y式中6是待定函数.积分后面的式子得3=彳工"'一.t/iy,fAy式中力y和/式W是序定函数.代人协调方程军'7=o.得1,dV.dfdf«仁2ayaydyay对于-L0.4L,上由方程都应成立,因此有dV_rd/一d"3经积分得f(y)=AV+Byz+Q+Df、y)=Ey5+卜炉+(内+Kf式3)=-Ay5+Hy'宁Ky?&Ly+M1.o因此有0=-ijCAv14-By*-1Cy5LO4上身42y,+Qv*4十一如一於V,十“必十必,注意在应力函数

18、表达式中的线性的锹被略去由于它不影响应力计算.使用上面的应力函数求得应力分录为力一山71Ay48-M6与+2F-2A-?-2By2+6%+2K%一?nAy?4-By24-Cy+Da%r%一一f生T3Ay:+2Ey+C-3Ay|2Fy+Ga叉力下面利用边界条件求得定常数.在考虑边界条件之前,先考虑问腱的对称性u现在的可题关于了轴时称,所以应力分布应当关于N轴对称、,因此9,和外应当是Z的偶函数,而5应当是1的奇函数于是由式8就有E=/=；»=0考忐上下南边的边界条件,它们是<b)GtJla；j=q.匕,“0.7-4,2=.,=U将式a代入式b求得AJ.B=0,h.'再考虑

19、两端边界条件,由于问题的对称性,只需考虑一端的边界条件.例如右端x=LU=Lm6上,力边界条件要求fcr1"心“心=0CT=frTy-THffy=1q/i=Mj答了一称d'firZfi猿然,式c不能精确满足,式d要求端部截面作用分布面力,而实际作用的是集中力.因此,也不能精确满足.通常梁的跨度远大梁的高度时,可以应用圣法南原理近似满足.即要求Tjdj=.hr2-hI符应力表达式.代人式&,得H=见聘上面的常数代人应力分量的去达式4,并整理得应力解为C.22分布为G对任意截面的弯矩为仞k§炉上、,或力为Q：=一qr|_|如下图的楔形体受水压力作用,水的容重为匕

20、试写出边界条件解：在x=0上,1=一1,m=0,二xx=0,-1+yxx=00=yxyx=0,-1+二yx=00=0二xx=0=yxyx=0在斜边上1=cos,m=-sin：-xcos-yxsin:=0xyCOSfySin=0【例6*工】如图6,11所后,姮形板在4个角点清楚作用大小为尸的集中力.图6.11电影扳角点受集中力作用其中A高和匕皮的集中力向上.日忒箱口点的集中力向下*四条边均A自由,求核的挠度口解板过的边界枭件为CAr耳一.IK?"十号1=i.匕、._小C:4个角点的边界条件均为,“4九环十二等F由于横向分布向1载LU.因此根本微分方程娈为D*R二m0假定坐标画点的挠度为

21、零,1二式的解是叼=pry式中的户是待定常数,使用式也16和式6.28,那么有MtMy不0,=/X3RQ,=Q*=0,vv=o显然板出的功界条件能目然满足,为漪足角点的边界条件I应有F=.dT=_萧"一等“6IF浦3因此得13F"一"提度解就是W=-3FXY/G3正方形薄板,三边固定另一边受均匀压力q作用,应力函数取为12223*=-qx+Axy+A?y,基于应力辩分原理Ritz法求解v=0.3:2;步骤：有应力函数求得应力:x=I_Fxx=2Alx26A；:y_2,22-%=-2"-Fyy=-q+2Aiy,柄=一=-4Axy二x二x二y满足力边界条件,

22、一定满足平衡方程.由于位移边界位移余势能就是应变余能,平面应力与线弹性情况下,应变余能为为0,外力余势能为0,总01U=U=n"(axSx+ay®y+%y；xyfaxdy,将应变由应力表达得Uc=口tx2+by2-2xCTy+2(1+U>xy2dxdy,将所求应力代入方程,求；:IIc/沾=0,：IIc/：A=0,即30q_-5q-2,A2一一2217a217a例6.3如田6.12所示,矩形板全分加为qQ,V的愦的有飘作用.板四冏迪均为他支求坂的优度和极微面内力.图6.12四边他支板殳分布横向佝钱作用<6,29a)C6,29b)(6.30)M,=eem-I.Oe

23、5.一I、：$1一'7.mn7-J用RJwrrnnJ'Psic-ir1氧工"iC皿寸ank.v方X)'sinsin-解设捷度为三角级数形式a=w$二人,而也巴9M2：0b它能胸足所有的边界条件,即3一0.含L0,wj=.,薨一=.=丘3L仇第i=.将g展开表示成三/级数qCny=X2czsmsin写利用三角级数的正交性,求得Cnn=Uj4i.、sin"d_rdy代人方程DWZeqA7炭式中/e为干是,捷度为3一1?2片加产M“in.二R九6ub当qO,5=仇为常数时,那么有4q(1coswrarXloonir>=<r/fm“Ea2.4.6

24、因此执耀可以表示为IS/.(,C【,Mn.a,力Q-XX:/sm-sin-rDmj.n-ff"b将t布的拉度去达式代入式6.】B得旁印:印刖矩分别为coscosMrab一_72也上面的式子可M,在板的中央.r/2.y=b,2处.捷度最大弯矩M和M,最大,而M,为咨在板山M,和M,为穹,而M-龄大,F.图8.4二角形桁理【例胤3】如由8.4所示折架,在节点“作用垂龙力/3和水平力年.在多点C作用水平力Pa,住节岳B产生的嚏丸也移上水平但移分刖为g和心,在节点C产生的水平但移为一假设节点位移.走节点力,解根据几何关系,可求得备肝的伸长为整个桁架系统的应变能为U祟必2十M尸+Y门代人卡氏第

25、一定理式&28,得=遐_七9匕.iHit：-江卜他T2lhJUE"1二丽FLP._您一叫q1.5一菽一五2小_?山4ML面3个式子可表示为Pr(8.29)式中3K"=第扪lT将Tksb屈服条件和Mises屈服条件作一简单比拟.在I平酊上.单轴拉伸或压缩应力状态位丁6轴或e.轴、或e；轴上,而纯剪应力状态那么位于轴或3轴、或e：轴的垂百线卜,如假定单轴栉:伸时两个屈服上重令,那么Usch六边形内接于Mises画.汕图11.4所示,这时.两个忖服面在纯的状态时差异最大,使用式11.7c和式1l12J知,M.的剪切屈服极限与Tresca的剪切期服极限之比是r,M5Gl27

26、3=1.135:、如假是纯剪时两个屈服面重合那么Treca六边形外切fMise圆,这时两个屈服面在单轴拉伸或压缩差异第七同样使用式1L7c和式1L12c可知：Tresca的拉伸屈服极限与Mix"的拉伸国服极限之比是G"：gm=2=1,155,1,【例9.3】如图9.1所示一边固定.三边白由的背板,3个£由边受均布苗应力T伤期.不计体力设位移分量为60人1十八2+A»+>,"n=十星1+场卜试用展子佗移交分原理的Ritz法求薄板的位移.解所设位移满至固定辿的位移边界条件对于平固间翘,应变能为图$1三边受分布叫力作用,一边囿定的板将木构方着代

27、人,并将应变分量用位移分重表示得到由位移表示的应变水平用：卷上卷广+2噜姓鬻偿门假设仅取一项作为近似位移解.即取位移为%=乙.为=工8.代入上式得应变能为u=科伟+我板的上边、下边和右边的力边界条件是在了=Q；z=r,r,=o在?=归r,=r.,-o在,=：T.«0,7=r外力挎为V=一JTaMx+rvu>4-T«uJdSrAjjrdlx.Jr/3jttdy4JnA.jr<Lr=一出j必做势施为=uJy=寻号Af+国卜力H由福¥t.,亍音=.,解得A1=o、R=2Q击&.最后物体的位移为cFrxtjt这就是物体发4均匀假设切变形时的位移.粗咐柯

28、维青由式中应力由内力的表达式退化为在2轴方同位移平面应变时的弹性模量应使用处在平面应变状态下0xyxyx0zzx故是纯剪状态第二项为静水压力状态00000000了一项.据对称性就梁是平面应力状态,根据第5章内容使用上面的关系,前面薄板有关挠暧.应力和内力的一系列表达式将得到简化薄板弯曲的根本微分方程式013退化为为单宽窄条横截面的惯性能,内力与挠度的关系式退化为来代替.这样,就多出rLevy-Mises增量理论了与材料力学中的梁理论比拟+F面只给出/达式退化为y0yx0-000-00造成这的原因是；板单位宽度的窄条处平面应变状态由于根且材料体积是不可压缩的,考察其中的一个微单元体,试证实式中5

29、培单宽窄条横截面的面积矩一口由内力表示的平衡方程退化为将上面的表达式身材料力学中爱理论的相应表达式比拟.不难发现.所有不包含弹性模量E的表达式与梁理论一样：而在所有包含弹性模量e的表达式中多出d%m平面内的有关分量.应力的表板将弯曲成柱帮曲面.柱面母健与了粘干这样.可取屈第一清,方向为单付宽度的窄条I如四自£中府加门柒分航.这时粒为零的曲率和应变分量只"相和,它11分岗上=0,所以,所以平面应变状态：2=2=故屈服条件重合考察一科特爆情如果电也报的一个方向比JJy方向足善甚,分作.荷费沿了方位而变化而只是沿F方向变化.即寸式#,且沿1万向凿国虫的汾界支市条件也沿了方向行整,

30、那么嵌忖提度业港,只是M的闲散1其应力状态分量可分解为静水压力状态与纯剪应力状态之和2Tresca和Mises屈服条件重合.y-00x-0yx01)aijyz3；z=0的理想刚塑性体,其材料的应力应变关系服从【例2.3电阻应变计是一种量测物体外表一点沿一定方向相对伸长的装JL.逋常利用它可以量测得到一点的平面应变状态.如图2.8所示,在一点的3个方向分别枯贴皮变片.假设测得这3个应变片的相对伸长为,舐=0.0005,0.0008,也=0.0X3求该点的主应变和主方向,图2.8应变片布置解先求出剪应变皿使用式2.17a考察43.方向线元的线应变,将M8£=/vz=/zx=0代入其中可得

31、Xrv-2£人、,会心,-£(/-£8=-700X10"$代入式?229?求主应变,有50()e-350|x1(广=0-350800-el解得主应变白=1031X10-e2=269X10-6,ej=0o将最大主应变和代回式匕29-5001031-35035.,8001031l,m上式只有1个方程是独立的,可解得与与才轴的夹角为Tvt531-ice*Tanol=1,016j于是有a尸一56.6°.同理,可解得£2与轴的夹角为Q1=33.4在单轴应力状态下,弹性应变是而塑性应变是0-CsE'塑性模量应是h_d£_Er4一

32、,h-ZP-E(2)加载判别：dw当应力状态到达初始屈服后,下一步应力增量是否产生塑性变形,取决于该题各路径下的应力状态偏量均可表示为：sz=cz,sx=sy=-az,s6z=sz0=T0z,(cf/aij)daij是否大于零.由于(3)2,1一220sJ2z-z-3-3f32dH(qCzdQ2.泉t)：；.ij2J236d0同号,ad施同号,因此,/J画°使用流动法那么求塑性变形1开h：:：方fd-ij一13232(c-zd；=z2-zd-z)Czh2J23-2J23cf1、32,上.,、3用Jh卒7(3.西+2阻d%)/田11h2J2(二zd,3的w)力(4)按上述路径进行积分,

33、塑性变形路径(1):az=as,材料屈服,再增加剪应力d脸匍,daz=°,工31327(?d?)二s=三h二s3?2h229/cacInx2+曳/Fn2(3；2h二s.arctan33q/3°路径(2)：当剪应力Kz=os/、3,材料屈服,增加应力二z,即d；:z;°,d.1z=°.iz=；:.s/3口3131°hdRz二z-'"sarctanIn2324"V;亲薄壁圆管受拉与扭转作用,材料单拉时的应力应变关系为二二-csZ=+EE试按以下三种加载路径到达最后应力状态,分别求其对应产生的应变(1)首先沿z轴加载至oz

34、=as,并保持oz不变,然后再增加剪应力至(2)先增加剪应力至前z=os/、3,并保持前z不变,然后再增加拉应力至(3)比例加载,按oz：T0z=3：1增加应力至oz=as,铠z=os/、3.解：(1)求塑性模量：路径(3):在加载中oz=巾Q,az=as/、2材料屈服,且dcrz=?3d迎I-2；"z)；z='；3h/2h2d2(2czdcz)Cz=30s3h1-1212塑性变形与加载路径有关三种应力路径下的弹性应变都是3G薄壁圆筒平均半径为R,壁厚为t,轴线方向为z,轴部受轴向拉力T和扭矩M共同作用,材料的弹性模量为E,剪切*II量为G,拉伸屈服条件为仃s.试：写出单位体

35、积弹性应变能的表达式；分别写出Mises以及Tresca屈服条件的具体表达式；使用Mises屈服条件给出：轴向拉力T和扭矩M满足何种关系时,圆筒处于加载状态.解：应力状态为c-j12nR2tM_22nR2t0T2nRt,根据-C-ij=0得出其三个主应力分别为2二Rt二二2二0,二32nRt、l2nRt)4(M)22)2二R2t第一不变量Ii二32二Rt,第二不变量J24ibRtJ单位体积应变能wI；E+*2,将I1,J2代入此式即可.其中K=一E3(1一2)3(1-2*3K-2G3KG丁化简此式得k=Me_2(2)Mises屈服条件为f=J2-二,代入J2即得.3Tresca屈月艮；：；s,

36、将.1尸3代入即得.,3_3_5dr=szd；-zSd；-r(3)不会,别人的答案.s_d；1Jr1=3Lzd二z-sz-d-I0一一-2.J2-时加载,反之卸载,上式等于零时中性变载.设变长为a的正方形薄板,四边均固定,受均布横向荷载q作用,求板弯曲内力应力变分原理步骤：对于线弹性力学问题,应变余能与应变相等,此题位移边界位移均为零,因此外力余势能为0.总余势能用内力表不|c=uc=u=12JJ(M2+M220MxMy+2(1+uMXydxdy(1)2D(1)所设内力试验函数应满足平衡方程和力边界条件.本问题没有力边界,仅需满足平衡方程Mxc：2Mxyf2My几MxX2Myy2c2+2+2+

37、q=0设=6-,=C1,Mxy=0.x；x:y；yq4q4满足平衡方程代入1求出总余势能.使用例|C/dG=0,得弓=22/48代入2得弯矩Mx1/12-x2/a2t例12,8】有一堂内水压力作用的薄壁圜筒,内半径为小壁厚为九两端封闭口假设材料是体积不可压缩的,在忽略弹性变影的情况下,试求圜筒进入理性状态后主应变的比生解同筒的环向、轴向和径向的应力分别为-?=°,工恻=丁收=rlF0匕I平均应力为%=二；1与十内一.=故偏应力张盘的分量为2r7；,5程=5淅=0I本时满足简单如裁的条件因此可采用全晟理论,那么有/>r-pr=A力,q=0,%=-A%=0显然"力和三方向

38、为主方向.由于材料是体积不可压缩的,体枳应变为;.于是这3个方向的应变分量为、?尸、PrJ一工考.生一+gX2f它们的比值是S,q士1t.t1E=中(尸p).且其剪切屈服应假设材料为Mises硬化材料,它在纯剪作用下的剪应力与塑性剪应变关系为力为Ts,试写出塑性模量和加载面的表达式.解：Mises材料的加载面方程可写成k-k(tp)=0p-如取内变量为累积塑性应变tp=Jd¥,那么上式变为灯-k(Jd¥p)=0纯剪状态下的等效应力为a=V,3J7=J37由于-dYp=l|liITdT*2、2j2仄2n-1rlt.所以dp=*3*d.h=3*-=3'(p)hdp加载面的方程为、3.-k(dp)-0岩土材料处于平面应力状态,一点的应力分量为(x'bxTxy),假设z为中主应力,试：(1)使用应力分量写出Mohr-Coulumb屈服条件的具体表达式.(2)应用关联流动法那么写出塑性