垂直平分线的性质

1、 经过线段经过线段中点中点并且并且垂直垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的条线段的垂直平分线垂直平分线。垂直平分线垂直平分线: :图形轴对称的性质图形轴对称的性质: : 如果两个图形关于某条直线对称，那么如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴对称轴是任是任何一对何一对对应点所连线段对应点所连线段的垂直平分线。的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的类似地，轴对称图形的对称轴对称轴，是任何一对，是任何一对对应点对应点所连线段所连线段的垂直平分线。的垂直平分线。线段线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点与这条线段两个与这条线段两个端点端点的距离相等。的距离相等。线段垂直平分线的

2、性质线段垂直平分线的性质: :证明证明:直线直线MNAB于于C且且AC=CB，点点P在在MN上上.题设：题设：ABPMNC线段线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点与这条线段两个与这条线段两个端点端点的距离相等。的距离相等。一、线段垂直平分线的性质一、线段垂直平分线的性质: :结论：结论：PA=PB求证：求证：已知：已知：直线直线MNABMNAB于于C C，AC=CBAC=CB，点，点P P在在MNMN上上PA=PBPA=PB一、线段垂直平分线的性质一、线段垂直平分线的性质: :数学表达：数学表达：直线直线MNMN垂直平分垂直平分ABAB，点，点P P在在MNMN上上PA=PBPA=PBABPM

3、NC也可以说：也可以说：P P是线段是线段ABAB垂直平分线上的点，垂直平分线上的点，PA=PB PA=PB 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等还可以说：还可以说：依据是：依据是：证明证明: 线段线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点与这条线段两个与这条线段两个端点端点的距离相等。的距离相等。线段的线段的垂直平分线垂直平分线可以看作是和线段两端点距离相等的所有可以看作是和线段两端点距离相等的所有点的点的集合集合。 线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义：已知：如图，已知：如图，ABCABC中，中，AC=16cmAC=1

4、6cm，DEDE为为ABAB的垂直平分线，的垂直平分线， BCEBCE的周长为的周长为26cm26cm，求，求BCBC的长。的长。做一做做一做解解:DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线EA=EB(EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）段的两个端点的距离相等） C CBCEBCE=CE+EB+BC=CE+EB+BC又又AC=CE+EA=CE+EBAC=CE+EA=CE+EB BC=C BC=CBCE - (CE+EB) =C =CBCEBCE-AC-AC =10cm =10cm解解:做一做做一做已知：如图，已知：如图，P P为为MON

5、MON内一点，内一点，OMPAOMPA于于E E，ONPBONPB于于F F，EA=EPEA=EP，FB=FPFB=FP，若，若ABAB长为长为15cm15cm，求，求PCDPCD的周长。的周长。OMPAOMPA于于E E，EA=EPEA=EP，点，点C C在在OMOM上，上，CA=CP(CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）段的两个端点的距离相等）同理，同理，ONPBONPB于于F F，FB=FPFB=FP，点，点D D在在ONON上，上，DB=DPDB=DP C CPCDPCD=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB=CP+CD+DP

6、=CA+CD+DB=AB又又AB=15cmAB=15cm C CPCDPCD=15cm=15cm二、线段垂直平分线的判定二、线段垂直平分线的判定: :与一条线段两个与一条线段两个端点端点距离相等的距离相等的点点，在这条线段的，在这条线段的垂直垂直平分线平分线上。上。证明证明: :题设题设: : CA=CBCA=CB结论结论: : C C在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上已知已知: :求证求证: :证明证明: : 过过C作作COAB于于O 则则 AOC= BOC=90 在在 RtAOC和和Rt BOC中，中， AC=BC OC=OC RtAOC Rt BOC（HL） OA=OB 又又COA

7、B于于O C在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上如何用数学语言表达呢？如何用数学语言表达呢？已知已知: :如图如图,AC=AD,AC=AD，BC=BDBC=BD，求证：求证：ABAB垂直平分垂直平分CDCD。AC=ADAC=AD点点A A在在CDCD的垂直平分线上（的垂直平分线上（ ）证明证明: 与一条线段两与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上平分线上同理，同理，BC=BDBC=BD点点B B在在CDCD的垂直平分线上的垂直平分线上ABAB垂直平分垂直平分CDCD（两点确定一条直线）（两点确定一条直线）如图，如图，ABCABC中，边中，边

8、ABAB、BCBC的垂直平的垂直平分线交于点分线交于点P P。结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。（2 2）点）点P P是否也在边是否也在边ACAC的垂直平分线的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？上呢？由此你能得出什么结论？（1 1）求证：）求证：PA=PB=PCPA=PB=PC。证明证明:点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上PA=PBPA=PB（线段垂直平分线上的点与线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等这条线段的两个端点的距离相等）同理，同理，点点P P在在BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上PB=PCPB=PCPA=PB=PCPA=PB=PCPA=PCPA=PC点点P P在在ACAC的垂直平分线上（的垂直平分线上（与一条线段与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）垂直平分线上）解解:与一条线段两个与一条线段两个端点端点距离相等的距离相等的点点，在这条线段的，在这条线段的垂直平分垂直平分线线上。上。一、线段垂直平分线的性质定理：一、线段垂直平分线的性质定理：PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段