计量经济学 时间序列

1、内容回顾： 什么是虚拟变量？ 它有什么作用？ 引入虚拟变量的方式有几种？各在什么情况下引入？ CHOW（邹）检验需要首先判断出什么点？如何操作？其检验的原理是什么？CHOW检验的自由度如何确定？第第四四章章 时间序列时间序列第一节第一节 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验第二节第二节 时间序列模型的识别时间序列模型的识别、估计估计、预测、预测第三节第三节 协整分析与误差修正模型协整分析与误差修正模型一、问题的引出：非平稳变量与经典一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型回归模型1.经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析经典回归分析暗含暗含着一个重要着一

2、个重要假设假设：数据是平稳的。数据是平稳的。 数据非平稳数据非平稳，大样本下的统计推断基础，大样本下的统计推断基础“一致一致性性”要求被破怀。要求被破怀。 经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变是非随机变量，只能有一个均值。因变量无此限制。量，只能有一个均值。因变量无此限制。 放宽该假设：放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关 Cov(X, )=0nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收敛：依概率收敛： (2) 表现在表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却两个

3、本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性有很高的相关性（有较高的R2)： 例如：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。 在现实经济生活中在现实经济生活中： 情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。2 2 数据非平稳与数据非平稳与“虚假回归虚假回归”问题问题二、时间序列数据的平稳性二、

4、时间序列数据的平稳性 时间序列分析中首先遇到的问题首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性平稳性问题。 假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列）生成的，即假定时间序列Xt（t=1, 2, ）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：满足下列条件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数； 3）协方差

5、）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，与时间有关，与时间t 无关的常数；无关的常数； 平稳列就是一列水平的数据平稳列就是一列水平的数据, ,有趋势就不是平稳有趋势就不是平稳 例：例：一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列： Xt=t ， tN(0,2)该序列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。三、平稳性检验的图示判断三、平稳性检验的图示判断 给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径

6、图时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。 一个平稳的时间序列平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程； 而非平稳序列非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。 tX tX t t (a) (b) 图图 9 9. .1 1 平平稳稳时时间间序序列列与与非非平平稳稳时时间间序序列列图图 四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验序列类型 白噪声： 随机游走 带漂移项的随机游走 趋势平稳过程 确定性趋势非平稳tttttttttttttxtxtxxxwhenxxx11010111, 对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验

7、则是更为准确与重要的。 单位根检验（单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。1 1、DFDF检验检验我们已知道，随机游走序列 Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成是随机模型 Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。也就是说，我们对式 Xt=Xt-1+t （*） 做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根单位根。 （*）式可变形式成差分形式： Xt=( -1)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（*）式判断是否有 =0(若等于零就存在单位根,如果小于零则不存在单位根,即数列是平稳的

8、)。 一般地一般地: : 检验一个时间序列检验一个时间序列XtXt的平稳性，可通过检验的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型带有截距项的一阶自回归模型 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的参数中的参数 是否小于是否小于1 1。 或者：或者：检验其等价变形式检验其等价变形式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* * *）中的参数中的参数 是否小于是否小于0 0（为什么不检验（为什么不检验 =1？）？） 。 注：请证明，（*）式中的参数 11或或 =1=1时，时间序时，时间序列是非平稳的列是非平稳的; ; 对应于（*）式

9、，则是 00或或 = =0。 因此，针对式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 我们关心的检验为：零假设零假设 H0： =0。 备择假设备择假设 H1： 0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。 然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为 统计量统计量），即DF分布分布（见表9.1.3）。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。 因此，可通过OLS法估计 X Xt t=

10、 = + + X Xt-1t-1+ + t t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较： = = -1 -1 如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0： =0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。(注注意：此时运用的是意：此时运用的是T左尾单侧检验，所以与正左尾单侧检验，所以与正常的常的T检验判断相反！）检验判断相反！） 进一步的问题进一步的问题：在上述使用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t对时间序列进行平稳性检验中，实际上实际上假定了时间序列是由假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一

11、阶自回归过程具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。 但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。此时需将因变量自回归项加入模型。 另外另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随自相关随机误差项问题机误差项问题。 为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性

12、，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验）检验。 2 2、ADFADF检验检验ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的： 模型模型3 中的中的t是时间变量是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。 检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1: 0,检验检验 H0： =0，即存在一单位根即存在一单位根。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。模型 1： tmiitittXXX11 （*） 模型 2： tmiitittXXX11 （*） 模型 3： tmiitittXX

13、tX11 （*） 实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止(只要证明 0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，则认为序列X1t,X2t,Xkt是(d,b)阶协整，记为XtCI(d,b)， 为协整向量（协整向量（cointegrated vector）。d,整合前阶数;b,整合后阶数.0b=d. 从这里，我们已经初步认识到：从这里，我们已经初步认识到：检验变检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。型中是非常重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系而且，从变量之间是否具有

14、协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的的，其统计性质是优良的。二、协整检验二、协整检验 1 1、两变量的、两变量的Engle-GrangerEngle-Granger检验检验 为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。 第一步，第一步，用OLS方法估计方程 Yt= =0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到： tttttYYeXY10称为协整回归协整回归( (cointegrating)或静态回归静态回归( (static regression) )。 第第二二步步，检验

15、 et的单整性。如果 et为稳定序列，则认为变量Y Xtt,为(1,1)阶协整； 如果 et为1阶单整， 则认为变量Y Xtt,为(2,1)阶协整； 。 的单整性的检验方法仍然是的单整性的检验方法仍然是DF检验或者检验或者ADF检验。检验。 由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需再用截距项。再用截距项。如使用模型1 ettpiititteee11进行检验时，拒绝零假设拒绝零假设H0： =0，意味着误差项et是平稳序列，从而说明说明X与与Y间是协整的间是协整的。 而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的

16、机会比实际情形大。 于是对于是对e et t平稳性检验的平稳性检验的DFDF与与ADFADF临界值应该比正常临界值应该比正常的的DFDF与与ADFADF临界值还要小。临界值还要小。 例：例：检验中国居民人均消费水平检验中国居民人均消费水平CPCCPC与人均国内生产与人均国内生产总值总值GDPPCGDPPC的协整关系。的协整关系。已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，它们的回归式 ttGDPPCCPC45831. 0764106.49R2=0.9981 通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验模型 32127. 249. 155. 1tttteeee （-4.47） (3.93) (3

17、.05) t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是稳定的，因此中国居民人均消费水平与人均中国居民人均消费水平与人均GDPGDP是是(2,2)(2,2)阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡均衡”关关系。系。 JOHANSEN COINTEGRATION TEST JJ检验：是基于回归系数的检验，可以同时对多个序列进行协整检验，其结果更为准确与直接。利用EVIEWS检验协整 调用Quick Group statistics Cointegration test 在窗口中给出相关变量名称 协整可以发生的多个变量间 允许

18、加入影响协整的外生变量 按随后窗口的信息要求，给出协整方程的形式（常数项、趋势）、滞后期、样本区间等信息 EVIEWS给出相应的统计检验结果：在某概率下存在几个协整。63三、误差修正模型三、误差修正模型 前文已经提到，对于非稳定时间序列，可通过差分的方对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。 如：如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X）之间的回归模型： 1 1、误差修正模型、误差修正模型tttXY10tttvXY1式中， vt= t- t-1差分差分X,Y成为平稳序列建立差分回归模型建立差

19、分回归模型 如果如果Y与X具有共同的向上或向下的变化趋势 (1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系 Yt= =0+1Xt+t且误差项t不存在序列相关，则差分式差分式 Yt= 1 Xt+ t中的 t是一个一阶移动平均时间序列一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的是序列相关的； 然而，这种做法会引起两个问题这种做法会引起两个问题： (2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这时模型只表达了这时模型只表达了X与与Y间的短期关系，而没间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系有揭示它们间的长期关系。 因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化，还取决于X

20、与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。 另外另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。 误差修正模型（误差修正模型（Error Correction Model，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为称为DHSY模型模型。 为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。 假设两变量X与Y的长期均衡关系为: Yt= =0+1Xt+t 由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观

21、测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式tttttYXXY11210 该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。 由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。对上述分布滞后模型适当变形分布滞后模型适当变形得 tttttttttXYXYXXY12101111211011)1 ()1 ()(或 tttttXYXY)(11011式中， 1)1 (00)1 ()(211（*） 如果将（*）中的参数，与Yt= =0+1Xt+t中的相应参数视为相等，则（*）式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。 （*）式表明：）式表明：

22、Y Y的变化决定于的变化决定于X X的变化以及前一时期的的变化以及前一时期的非均衡程度非均衡程度。同时，（*）式也弥补了简单差分模型 Yt= 1 Xt+ t的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y Y的值已对前期的非均衡程度作出的值已对前期的非均衡程度作出了修正。了修正。 称为称为一阶误差修正模型一阶误差修正模型( (first-order error correction model) )。 tttttXYXY)(11011（*）式可以写成： （*）tttecmXY1知，一般情况下|1 ，由关系式=1-得01。可以据可以据此分析此分析ecmecm的修正作用：的修正作用

23、：（*）其中:ecmecm表示误差修正项误差修正项。由分布滞后模型分布滞后模型tttttYXXY11210 (1)(1)若若(t-1)(t-1)时刻时刻Y Y大于其长期均衡解大于其长期均衡解 0 0+ + 1 1X X，ecmecm为正，则为正，则(-(- ecm)ecm)为负，使得为负，使得 Y Yt t减少；减少； (2)(2)若若(t-1)(t-1)时刻时刻Y Y小于其长期均衡解小于其长期均衡解 0 0+ + 1 1X X ，ecmecm为负，为负，则则(-(- ecm)ecm)为正，使得为正，使得 Y Yt t增大。增大。 （* * * *）体现了长期非均衡误差对的控制。）体现了长期非

24、均衡误差对的控制。 由协整与误差修正模型的的关系，可以得到误差修正可以得到误差修正模型建立的模型建立的E-G两步法：两步法： 第一步第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）； 第二步第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。 需要注意的是需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。 另外另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。Engl

25、e-Granger两步法两步法 经济理论指出，居民消费支出是其实际收入的函数。 以中国国民核算中的居民消费支出经过居民消费价格居民消费支出经过居民消费价格指数缩减得到中国居民实际消费支出时间序列（指数缩减得到中国居民实际消费支出时间序列（C）； 以支出法GDP对居民消费价格指数缩减近似地代表国对居民消费价格指数缩减近似地代表国民收入时间序列民收入时间序列(GDP) 时间段为19782000（表9.3.3） 例：例： 中国居民消费的误差修正模型 表表 9.3.3 19781998 年年间间中中国国实实际际居居民民消消费费与与实实际际 GDP 数数据据（单单位位：亿亿元元，1990 年年价价） 年

26、份 C GDP 年份 C GDP 年份 C GDP 1978 3810 7809 1985 7579 14521 1992 11325 23509 1979 4262 8658 1986 8025 15714 1993 12428 27340 1980 4581 8998 1987 8616 17031 1994 13288 29815 1981 5023 9454 1988 9286 17889 1995 14693 31907 1982 5423 10380 1989 8788 16976 1996 16189 34406 1983 5900 11265 1990 9113 18320 1

27、997 17072 36684 1984 6633 12933 1991 9977 20581 1998 18230 39008 （1 1）对数据）对数据lnC与与lnGDP进行单整检验进行单整检验 容易验证lnC与lnGDP是一阶单整的，可直接使用单位根检验。 首先，建立首先，建立lnC与与lnGDP的回归模型的回归模型（2）检验）检验lnC与与lnGDP的协整性，并建立长期均衡关系的协整性，并建立长期均衡关系 ttGDPCln923. 0047. 0ln （0.30） (57.48) R2=0.994 DW=0.744 发现有残关项有较强的一阶自相关性。考虑加入适当的滞后项，得lnC与ln

28、GDP的分布滞后模型 11ln361. 0ln622. 0ln698. 0152. 0lnttttGDPCGDPC (1.63) (6.62） （4.92） （-2.17） R2=0.994 DW=1.92自相关性消除，因此可初步认为是lnC与lnGDP的长期稳定关系。 (*)残差项的稳定性检验：残差项的稳定性检验： （-4.32） R2=0.994 DW=2.01 LM(1)=0.04 LM(2)=1.3419975. 0ttee t=-4.32-3.64=ADF0.05 说明lnC与lnGDP是（1，1）阶协整的，（*）式即为它们长期稳定的均衡关系: 11ln361. 0ln622. 0l

29、n698. 0152. 0lnttttGDPCGDPC(*) 以稳定的时间序列（3）建立误差修正模型）建立误差修正模型 te 做为误差修正项，可建立如下误差修正模型误差修正模型: :111163. 1ln484. 0ln784. 0ln686. 0lnttttteGDPCGDPC （6.96） (2.96) (-1.91) (-3.15) R2=0.994 DW=2.06 LM(1)=0.70 LM(2)=2.04由(*)式 可得lnC关于lnGDP的长期弹性： (0.698-0.361)/(1-0.622)=0.892；由（*）式可得lnC关于lnGDP的短期弹性：0.686短期弹性是变动量

30、之间对数值,长期弹性是绝对值.11ln361. 0ln622. 0ln698. 0152. 0lnttttGDPCGDPC(*)四、VAR模型 VAR，即模型向量自回归模型(vector autoregresion)，是指在一个含有n个被解释变量的VAR模型中，每个被解释变量都对自身以及其它被解释变量的若干期滞后值回归，若令滞后阶数为k，则VAR模型的一般形式可用下式表示：ktititi 1ZAZVVAR模型应用 建立脉冲响应函数：是指在向量自回归模型中，在扰动项上加一个标准差大小的冲击，通过建立变量之间的动态联系，反映对变量的当前值和未来值所带来的影响； 替代结构性联立方程组； 用于经济预测。VAR模型优缺点 优点 简单，所有变量直接放入即可，不须确定内生、外生 估计简单，用OLS 更准确 缺点 没有理论基础 无法解释 自由度损失严重五、格兰杰因果关系检验 对于VAR(p)模型X1t= +1X1t-1+. . + pX1t-p + 1X2t-1 + . + pX2t-p + u1t用F统计检验H0: 1 = . = p = 0 格兰杰因果关系