弹性力学简明教程第四版-课后习题解答

1、【3-13-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-152-15）, ,将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确

2、的应力边界条件（公式 2-152-15）, ,就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。【3-23-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的，因而可以不必校核。【3-33-3】如果某一应力边界问题中

3、有 m m 个主要边界和 n n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在 m m 个主要边界上，每个边界应有 2 2 个精确的应力边界条件，公式（2-152-15）, ,共 2m2m 个；在 n n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有 2n2n 个；如果不能满足公式（2-152-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替 2 2 个精确应力边界条件，共 3n3n 个。【3-43-4】 试考察应力函数 6 6=ay=ay3在图 3-83-8 所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）? ?【解答】相容条

4、件：3不论系数a取何值，应力函数G=ay总能满足应力函数表示的相容方程，式（2-252-25）. .求应力分量当体力不计时，将应力函数中代入公式（2-242-24）, ,得二x二6ay,二y=0,xy=yx=0考察边界条件2-15),2-15),而在O1Txhly一图3-8上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力左右边界上；当 a0a0 时，考察 O Ox x 分布情况，注意到Txy=0,=0,故 y y 向无面力左端：fxJx)x36ay0yhfy=.xyx=0=0右端：fx=；Lx=6ay(0_y_h)1=()幺阡0应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢

5、，主矩主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距 e e：因为在 A A 点的应力为零。设板宽为荷载 p p 的偏心距 e e：b b，集中纠 F FP P同理可知，当（二x）APbh2=0=,e=h/6bh/6a0hlh 的浅梁，修正项很小，可忽略不计。【3-133-13】图 3-143-14 所示的悬臂梁，长度为l,高度为h,l?h,在上边界受均布荷载q,试检验应力函数：，=Ay5-Bx2y3Cy3Dx2-E攵昉否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。【解答】用半逆解法求解。（1 1）相容条件：将应力函数中代入相容方程式（2-252-25）, ,120Ay24

6、By=0图 3.14要使中满足相容方程，应使A1rA二一一B5(a)(a)（2 2）求应力分量，代入式（2-242-24）32二x=20Ay6Bx2_y6Cy=20Ay-30Axy6Cy二2By2D2Ey-10Ay2D2Ey|xy-6Bxy2-2Ex=30Axy2-2Ex(b)(b)（3 3）考察边界条件在主要边界y=h/2上，应精确到满足应力边界条件103(仃y)y2=0,即Ah3+2D+Eh=08103(Oy)ya2=-q,即三Ah3+2D-Eh=-q8302(%)y自j2=0，即1Axh2Ex=0(c)(c)(d)(d)(e)(e)应力分布图A,D=E 乌乐5h344h在次要边界x=0上

7、， 主矢和主矩都为零， 应用圣维南原理,边界条件：h/2fh/2(x)xdy=0满足条件_h/2h/2h/23/2(二x)x卫ydy=/2(20Ay6Cy)ydy=0=【3-143-14】矩形截面的柱体受到顶部的集中力 J2FJ2F 和力矩 M M 的作用（图 3-153-15）,不计体力，试用应力函数233.9=Ay+Bxy+Cxy+Dy求解其应力分重。【解答】采用半逆解法求解。（1 1）相容条件：将应力函数代入相容方程（2-252-25）, ,显然满足。（2 2）求应力分量：将中代入（2-242-24）二x=2A6Cxy6Dyy=0j(a)xy二一B-3Cy2（3 3）考察边界条件。在主要

8、边界y=b/2上，应精确满足应力边界条件满足将 A A 的值带入（g g）, ,得h/2/2(xydy=0满足qh3写出三个积分的应力Ah53+Ch=0(g)2将各系数代入应力分量表达式（b),b),得2y/y-q-(4hh2x一67)h3xy9(1.3、4。2hh33qxy2(1-4勺2hh2(h)(h)图*15-32xyy=：b/2=一q=：B4cb二q在次要边界 x=0 x=0 上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在y=-b/2边界上,1 中V=xfyex2(b)(b)b/2(二x)x卫dy 一(2Ay+3Dy2)b/2二-FJ/2(c)

9、(c)b/232gx)x卫ydy=-MI1Ay22Dy32yyb/2-MM2(d)(d)b/2/2xyx/y二一F3b/2-By-Cy3,/2-F(e)(e)联立（b b）、（c c）、（d d）、（e e）式得A=互，B2bq-b2D-2M，b3将各系数据（f f）代入式（a a）, ,得应力分量解答F12Fxybyq_b2I12Mxy3F_2qybJb2Vb/【分析】本题题目中原教材给出的坐标轴有误，无法计算。x,x, y y 坐标互换后可以计算,但计算结果与题目提示解答几乎完全不同，又将 y y 轴调为水平向左为正方向，才得到提示结果。可见，在求解问题时，坐标轴的方向及原点的位置与解答关

10、系密切,完全不同的结果。坐标轴不同可得到【3-153-15】挡水墙的密度为 R,R,厚度为 b b（图 3-163-16）, ,水的密度为 P P2 2，试求应力分量。bTL b!2by=0；y=b/2边界上，Oy-p?gx,所以可以假设在区域内。y为=xfy77X7773可（2 2）推求应力函数的形式。由仃y推求中的形式x=-fyf1y(3)由相容方程求应力函数。将6Ey2F-?igx(5)考察边界条件在主要边界y=1b/2上，应精确满足应力边界条件13-21Ab-b上仆b上一A+B+C+D842).3.2.-A+B-Cb+D=03x0=6fyxfiyf2y3,4,xdfrx6dy44d4f

11、d%dy4dy4卷二。要使上式在任意的x处都成立，必须d4f犷d4f1d2f412rdydyd4f2歹f(y)=Ay3By2CyD;A5B432f1(y)-10y-?yGyHyIy;f2(y)=Ey3Fy2代入中即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数为:3A54中=(Ay3By2CyD)Xy-y-GjHIy(EyFy)6106(4)由应力函数求应力分量，将代入公式(2-24),注意体力fx=P1g,fy=0,求得应力分量表达式-fxx=xAy332.x-2Ay-2By6Cy2Hxy；：20.x产。fyy:xAy3By2CyDx22八A42B3-23Ay2ByCy一y-

12、3Gy-2Hy-I223yy+/2二0.xyy二b/2二03b2A3b4)fb4b33b2土Bb+C+ABB-G+HbI八32124842J【3-163-16】试分析简支梁受均布荷载时，平截面假设是否成立？【解答】弹性力学解答和材料力学解答的差别是由于各自的解法不同。简言之，弹性力学的解法是严格考虑区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程。以及在边界上的边界条由上式得到,4,32A至一BTTG彳蚀b-求解各系数,2一3一1一A=：2g,B=0,C=-2g,D=；-2g,H=0b32b2(a)(a)在次要边界X=0上，列出三个积分的应力边界条件b/26/2b/2二xx/y=06/2二xydy=0

13、 x-0b/2上/2xyx=0dy=0二X0b80、b22g7G(b)(b)由式(a)(a)、(b)(b)解出1=-802g,G=将各系数代入应力分量的表达式，得110bxy272gb33312g412g3-、一号刈一年功一1gx=P2gx伴一型;lb32b2J一2gx22yb24b-;?2gy上b310b80y件而求解的，因而得出的解答较精确。而在材料力学的解法中，没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似的解答。例如，材料力学引用了平面截面假设而简化了几何关系，但这个假设对于一般的梁是近似的。所以，严格地说，平截面假设不成立。【3-173-17】试证明刚体位移u0,V0和 8 80 0实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量,并应一，人,r,t-1IV/方U用3-33-3 的解答加以验证（注：微分体的转动分量值=-）2、