第6节无穷小量的比较ppt课件

1、一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较二、等价无穷小量代换二、等价无穷小量代换引引 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量，两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量，但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？ 一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较 观察下列极限xxx3lim20 xxxsinlim0, 0 , 1 当 x 0时, 3x, x2, sinx都是无穷小,203lim,xxx 上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 但不同比的极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢水平.下面给出无穷小量比较的几个概念.定义定义1 1 ,设设是自变量同一变化过程中的

2、无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小, ,0lim（1假假设设则称则称 是比是比 高阶的无穷高阶的无穷小小,)(o,lim（2假假设设（3假假设设,0limC记作记作则称则称 是比是比 低阶的无穷低阶的无穷小小;则称则称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小;（4假假设设)0( ,0limkCk则称则称 是是 的的k阶无穷小阶无穷小., 1lim假假设设或或则称则称 是是 的等价无穷的等价无穷小小,记作记作例如例如 , 当当)(o0 x时时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故故0 x时时xcos1是关于是关于

3、 x 的二阶无穷小的二阶无穷小,xcos1221x且且例例1. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例2. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那那么么, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当当, ea 时时, 有有0 x)1ln(x1xexx1)1ln(lim0 xxx. 11lim0 xexx例例3. 证明证明: 当当0 x时时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(b

4、a1(naban 2)1nbsin, arcsin,xxxx常用的等价无穷小：当常用的等价无穷小：当x x 0 0时时tan, arctan,xxxxln(1) ,xx,ln)1 (logaxxaaxaxln1111,nxxn+-211 cos,2xx1,xex1 cosx222x()11.xxaa+-一一般般形形式式) 0)()()(1ln(xfxfxf如如其他公式类似其他公式类似10sinxax如如cos1, 03xx1231523xx时，时，0 x)23(5123xx axlnsin26x定理定理1 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, , ,lim 且存在，则且存在，则

5、limlim.二、等价无穷小量代换二、等价无穷小量代换lim)lim(limlimlim lim .证证例例4 4 求求解解 因为当因为当 .2tansinlim0 xxx,22tan,sin,0 xxxxx时所以所以.212lim2tansinlim00 xxxxxx例例5 5 求求解解.3tanlim20 xxxx.313lim3tanlim2020 xxxxxxxx例例6 6 求求解解.sintanlim30 xxxx210,1 cos,2xxx时故故3300tan1 costansinlimlimxxxxxxxx32021limxxxx.2130limxxxx原式注意：等价无穷小替换忌

6、注意：等价无穷小替换忌“加减加减”。即对于代数和。即对于代数和各各 无穷小不能分别替换。无穷小不能分别替换。231x221x例例7. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32.sinlimsin0 xxeeIxxx解解: .sin1limsinsin0 xxeeIxxxxxxexxsin1sin1例例9. 求求例例8 83220sin)1ln() 12)(cos1 (limxxxxx32402ln2limxxxxx.22ln例例10. 求求. )1(lim2xxxx解解 ) 111(lim22xxx2221limxxx2122121111xx 作作 业业 P57 3, 4例例11.113tan21lnlim3220 xxxxxIxuu2111解解32203tan21lnlim2xxxxxIx3tan21lnlim2322320 xxxxxxxx10)32(2xx221ln2233tanxx32lim23223220 xx