统计学第6章方差分析法

1、第第6章章方差分析方差分析Analysis of Variance （ANOVA )学习目标学习目标n掌握方差分析中的基本概念；掌握方差分析中的基本概念；n掌握方差分析的基本思想和原理；掌握方差分析的基本思想和原理；n掌握单因素方差分析的方法及应用；掌握单因素方差分析的方法及应用；n初步了解多重比较方法的应用；初步了解多重比较方法的应用；学习内容学习内容第一节第一节 方差分析简介方差分析简介常用术语常用术语 基本假定基本假定第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析 分析模型分析模型 基本思想基本思想 分析步骤分析步骤 多重比较多重比较7.1 方差分析简介方差分析简介n7.1.1 方差分析中的

2、基本概念方差分析中的基本概念n7.1.2 方差分析中的基本假设与检验方差分析中的基本假设与检验失业保险案例：为什么要进行方差分析？ 为了减小失业保险支出、促进就业，政府试图为失业者提供再就业奖励：如果失业者可以在限定的时间内重新就业，他将可以获得一定数额的奖金。政策会有效吗？ 试验数据试验数据不同奖金水平失业者的再就业时间（天）不同奖金水平失业者的再就业时间（天） 无奖金无奖金低奖金低奖金中奖金中奖金高奖金高奖金92869678100108927585939076888877878989797390757183947882828072756878798172要研究的问题要研究的问题总体总体1

3、1，1 1（奖金（奖金=1=1）总体总体2 2，2 2 （奖金（奖金=2=2）总体总体3 3，3 3（奖金（奖金=3=3）样本样本1 1样本样本2 2样本样本3 3样本样本4 4总体总体4 4，4 4（奖金（奖金=4=4）211, sx222, sx233, sx244, sx01234:?H各个总体的均值相等吗？各个总体的均值相等吗？Xf(X)1 2 3 4Xf(X)3 1 2 4 失业保险案例：实验结果失业保险案例：实验结果1=无奖金无奖金 2=低奖金低奖金 3=中奖金中奖金 4=高奖金。根据实验高奖金。根据实验结果，可以认为各总体的平均失业时间相同吗？结果，可以认为各总体的平均失业时间相

4、同吗？4321奖金水平奖金水平110100908070失失业业时时间间研究方法：两样本的研究方法：两样本的t检验？检验？n如果采用如果采用t检验法对多个总体均值进行差异显检验法对多个总体均值进行差异显著性检验著性检验 ，会出现如下问题：，会出现如下问题：n全部检验过程烦琐，做法不经济全部检验过程烦琐，做法不经济 n无统一的总体方差估计无统一的总体方差估计 ，检验的精度降低，检验的精度降低n犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降低低 方差分析可以用来比较多个均值方差分析可以用来比较多个均值n方差分析（方差分析（Analysis of variance，ANO

5、VA）的主要目）的主要目的是通过对的是通过对方差方差的比较来的比较来同时同时检验多个检验多个均值均值之间差异之间差异的显著性。的显著性。n可以看作可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时与检验的扩展，只比较两个均值时与t检验等价。检验等价。n20世纪世纪20年代由英国统计学家费喧（年代由英国统计学家费喧（R. A. Fisher）最）最早提出的，开始应用于生物和农业田间试验，以后在早提出的，开始应用于生物和农业田间试验，以后在许多学科中得到了广泛应用。许多学科中得到了广泛应用。ANOVA (analysis of variance)n由于方差分析法是通过比较有关方差的大小而由于方差分析法是通过比

6、较有关方差的大小而得到结论的，所以在统计中，常常把运用方差得到结论的，所以在统计中，常常把运用方差分析法的活动称为方差分析。分析法的活动称为方差分析。n方差分析的内容很广泛，既涉及到实验设计的方差分析的内容很广泛，既涉及到实验设计的模式，又关乎数据分析模型中因素效应的性质。模式，又关乎数据分析模型中因素效应的性质。本章在完全随机试验设计下，讨论固定效应模本章在完全随机试验设计下，讨论固定效应模型方差分析的基本原理与方法，重点介绍单因型方差分析的基本原理与方法，重点介绍单因素方差分析及两因素方差分析的内容。素方差分析及两因素方差分析的内容。 7.1.1 方差分析中的几个基本概念方差分析中的几个基

7、本概念n因变量因变量：我们实际测量的、作为结果的变量，：我们实际测量的、作为结果的变量，例如失业持续时间。因变量也称试验指标，其例如失业持续时间。因变量也称试验指标，其不同的取值常称为观察值或试验数据。不同的取值常称为观察值或试验数据。n自变量自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组：作为原因的、把观测结果分成几个组以进行比较的变量例如奖金水平。以进行比较的变量例如奖金水平。n在方差分析中，自变量也被称为在方差分析中，自变量也被称为因素因素(factor)。n因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称为因素的为因素的水平水平。2022-5-7147.1.1

8、 方差分析中的几个基本概念方差分析中的几个基本概念n方差分析主要用来研究一个方差分析主要用来研究一个定量因变量定量因变量与一个与一个或多个或多个定性自变量定性自变量的关系的关系n只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分析。析。n研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为多因素方差分析，其中最简单的情况是双因素多因素方差分析，其中最简单的情况是双因素方差分析。方差分析。 n为便于理解，在单因素方差分析中，将因为便于理解，在单因素方差分析中，将因 素素 的任何一个水平（处理）的任何一个水平（处理） 看作是一个总体，该水平

9、（处理）下试验看作是一个总体，该水平（处理）下试验 得到的数据可看成是从总体得到的数据可看成是从总体 中抽出的中抽出的 一个样本，处理的重复数即为样本容量。一个样本，处理的重复数即为样本容量。1,2,iA ikA7.1.1 ：固定效应与随机效应模型：固定效应与随机效应模型iAn若因素若因素 的每一个水平（处理）均做试验，的每一个水平（处理）均做试验，相当于对该因素进行了全面调查。此种情形下，相当于对该因素进行了全面调查。此种情形下，方差分析目的在于：对方差分析目的在于：对 比较寻优，比较寻优，即确定因素即确定因素 的显著影响水平，且该显著影的显著影响水平，且该显著影响水平仅在响水平仅在 中有效

10、，在中有效，在 外无效，一句话，试验数据不能外无效，一句话，试验数据不能对因素做推断，这属于固定效应模型方差分析对因素做推断，这属于固定效应模型方差分析范畴。范畴。n固定效应模型固定效应模型：因素的所有水平都是由实验者：因素的所有水平都是由实验者审慎安排而不是随机选择的。审慎安排而不是随机选择的。AA12,kA AA12,kA AA12,kA AA7.1.1 ：固定效应模型：固定效应模型n若只对因素若只对因素 的部分水平（处理）做试验，相的部分水平（处理）做试验，相当于对当于对 进行了抽样调查，此种情形下，方差进行了抽样调查，此种情形下，方差分析目的在于：对因素分析目的在于：对因素 的总体变量

11、所服从的的总体变量所服从的分布分布 进行差异性检验和参数估计，即样进行差异性检验和参数估计，即样本推断总体，这属于随机效应模型方差分析范畴。本推断总体，这属于随机效应模型方差分析范畴。n随机效应模型随机效应模型：因素的水平是从多个可能的水平：因素的水平是从多个可能的水平中随机选择的。中随机选择的。n固定效应和随机效应模型在假设的设置和参数估固定效应和随机效应模型在假设的设置和参数估计上有所差异，本章研究的都是固定效应模型。计上有所差异，本章研究的都是固定效应模型。AAA2,AN 7.1.1 ：随机效应模型：随机效应模型方差分析与回归分析的联系方差分析与回归分析的联系*n回归分析主要用来研究回归

12、分析主要用来研究定量自变量定量自变量和和定量因变定量因变量量之间的关系（第八章学习）。之间的关系（第八章学习）。n回归分析中方差分析常常用来检验回归方程的回归分析中方差分析常常用来检验回归方程的整体显著性。整体显著性。n回归模型中也可以包含定性自变量。这时回归回归模型中也可以包含定性自变量。这时回归模型与方差分析模型是等价的。模型与方差分析模型是等价的。7.1.2：方差分析中的基本假设：方差分析中的基本假设n（1）在各个总体中因变量都服从正态分布；）在各个总体中因变量都服从正态分布；n（2）在各个总体中因变量的方差都相等；）在各个总体中因变量的方差都相等；n（3）各个观测值之间是相互独立的。）

13、各个观测值之间是相互独立的。（1）正态性的检验）正态性的检验n各组数据的直方图各组数据的直方图nQ-Q图，图， K-S检验检验*4 43 32 21 1奖金水平奖金水平11010090807060失业时间失业时间11010090807060失业时间失业时间11010090807060失业时间失业时间11010090807060失业时间失业时间43210FrequencyFrequency（2）等方差性的检验）等方差性的检验n经验方法：计算各组数据的经验方法：计算各组数据的标准差标准差，如果最大值，如果最大值与最小值的比例小于与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。，则可认为是同方差的。本

14、例中，最大值和最小值的比例等于本例中，最大值和最小值的比例等于1.833.32，p-值值=0.00020.05，因此检验，因此检验的结论是采伐对林木数量有显著影响。的结论是采伐对林木数量有显著影响。 变差源变差源SSdfMSFP-valueF crit组间组间625.162312.5811.430.00023.32组内组内820.723027.36总计总计1445.88327.2.4 方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较n在方差分析中，不拒绝零假设在方差分析中，不拒绝零假设H H0 0，表示拒绝总体均数，表示拒绝总体均数相等的证据不足相等的证据不足，分析终止；当零假设分析终止；当零假设H

15、H0 0被拒绝时，被拒绝时，我们可以确定至少有两个总体的均值有显著差异。但我们可以确定至少有两个总体的均值有显著差异。但要进一步检验哪些均值之间有显著差异还需要采用多要进一步检验哪些均值之间有显著差异还需要采用多重比较的方法进行分析。这在方差分析中称为重比较的方法进行分析。这在方差分析中称为事后检事后检验验(Post Hoc test)(Post Hoc test)。 n多重比较多重比较是是同时同时对各个总体均值进行的两两比较。方对各个总体均值进行的两两比较。方法很多，如法很多，如FisherFisher最小显著差异（最小显著差异（Least Significant Least Signifi

16、cant DifferenceDifference，LSDLSD）方法、）方法、TukeyTukey的诚实显著差异（的诚实显著差异（HSDHSD）方法或方法或BonferroniBonferroni的方法等。这里我们只介绍最小显的方法等。这里我们只介绍最小显著差异方法。著差异方法。用用LSD法进行多重比较的步骤法进行多重比较的步骤n1 1、提出假设、提出假设nH0: i = jnH1: i jn2 2、计算、计算检验的统计量检验的统计量 n3a3a、 如果如果 或或 则拒绝则拒绝H H0 0。 n3b3b、计算、计算 的置信区间：的置信区间：如果如果0 0包含在该置信区间内则不能拒绝包含在该置

17、信区间内则不能拒绝H H0 0，否则拒绝，否则拒绝H H0 0。11()ijijxxtt nkkMSEnn2/tt2/tt jixx )11()(2/jijinnMSEtxx实例：失业保险实验实例：失业保险实验n根据第一个总体和第四个总体计算的根据第一个总体和第四个总体计算的t统计量统计量n利用统计软件可以计算出利用统计软件可以计算出t检验的临界值检验的临界值 由于由于 ，因此我们有证据表明，因此我们有证据表明无奖金组与高奖金组的再就业时间有显著差异。其他无奖金组与高奖金组的再就业时间有显著差异。其他奖金水平效应之间差异的显著性也可以用类似的方法奖金水平效应之间差异的显著性也可以用类似的方法计算。计算。 90. 2)9191(6 .6811.7744.88t037. 2)32(2/t037. 29 . 22/05. 0tt实例：热带雨林采伐实例：热带雨林采伐n很多统计软件都可以直接进行多重比较。下表是很多统计软件都可以直接进行多重比较。下表是SPSS对热带雨对热带雨林例子的输出结果。林例子的输出结果。n置信区间置信区间5.3114.03，3.2612.68不包括不包括0，差异显著。，差异显著。n置信区间置信区间-6.043.02包括了包括了0，差异不显著。，差异不显著。 (I) 采伐类型采伐类型(J) 采伐类型采伐类型均