专题六 距离空间基本概念(tou)

1、泛函分析基本内容泛函分析基本内容 一、引言 “实数的极限理论实数的极限理论”是是“数学分析数学分析”（即有限维分析）（即有限维分析）的基础的基础, 用用“极限思想极限思想”研究函数是实分析的主要特点。研究函数是实分析的主要特点。包括包括: 1）实数序列的极限概念：）实数序列的极限概念：xnx (n) 2）函数序列的各种收敛问题）函数序列的各种收敛问题: fn(x)f(x)(n) (一致收敛、一致收敛、处处收敛、几乎处处收敛、近一致收敛、依测度收敛处处收敛、几乎处处收敛、近一致收敛、依测度收敛等等) 3）函数的极限：）函数的极限：f(x)A （xx0 或或x） 这些这些“极限极限”概念的一个共性

2、概念的一个共性-“距离距离”概念的渗透概念的渗透(仅限于实直线上两点之间的距离仅限于实直线上两点之间的距离) )： |xn-x|0是指是指xn与与x之间的之间的“距离距离”无限地减小；无限地减小； |fn(x)-f(x)|0是指在是指在x点处两个函数值点处两个函数值fn(x)与与f(x)之间的之间的“距离距离”无限地减小。无限地减小。 |f(x)-A|0是指函数值是指函数值f(x)与数与数A之间的之间的“距离距离”无限无限地减小。地减小。二、泛函分析的基本内容 在泛函分析中在泛函分析中, 将定义一种更具有一般意义的将定义一种更具有一般意义的抽象的抽象的“距离距离”概念概念，它将实直线上的，它将

3、实直线上的“数列的收敛数列的收敛”、“函函数列的收敛数列的收敛”及及 “函数的极限函数的极限”等概念都包括在等概念都包括在“按距按距离收敛离收敛”、“距离函数的极限距离函数的极限”等概念之中，并建立起等概念之中，并建立起“距离空间及其极限理论距离空间及其极限理论-按距离收敛、距离函数的极按距离收敛、距离函数的极限等限等”，使我们更容易认识那些使我们更容易认识那些“初看起来似乎毫无关初看起来似乎毫无关系的某些极限过程系的某些极限过程”之间的本质联系。之间的本质联系。 “泛函分析泛函分析”以以“距离空间及其极限理论距离空间及其极限理论” 为基础，为基础， 综合运用分析、代数和几何的观点和方法，研究

4、了综合运用分析、代数和几何的观点和方法，研究了“函函数的函数数的函数”、“函数空间函数空间”及及“各种函数空间之间的关各种函数空间之间的关系系”等内容等内容,归属于归属于“无穷维分析无穷维分析”。 泛函分析的主要内容包括泛函分析的主要内容包括: 三大空间及其线性算子理三大空间及其线性算子理论论, 三大基本定理，不动点理论，最佳逼近理论及线性三大基本定理，不动点理论，最佳逼近理论及线性算子谱论初步，抽象空间的微积分。算子谱论初步，抽象空间的微积分。三大空间：距离空间三大空间：距离空间 线性赋泛空间线性赋泛空间(巴拿赫空间巴拿赫空间) 内积空间内积空间(希尔伯特空间希尔伯特空间)2) 三大空间上的

5、线性算子理论：三大空间上的线性算子理论： 距离空间上的连续映射距离空间上的连续映射(算子算子) 巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函、共轭算子巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函、共轭算子 希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子3) 三大基本定理：汉恩三大基本定理：汉恩-巴拿赫基本定理，巴拿赫基本定理， 一致有界定理，一致有界定理， 逆算子定理与闭图象定理逆算子定理与闭图象定理4）不动点理论与最佳逼近理论）不动点理论与最佳逼近理论5）线性算子谱论初步：线性算子的谱）线性算子谱论初步：线性算子的谱 自共轭算子谱自共轭算子谱6）抽象空间的微积分：抽象函数的导算子及微分理论

6、）抽象空间的微积分：抽象函数的导算子及微分理论 抽象函数的极值抽象函数的极值 抽象函数的积分抽象函数的积分距离与距离空间的定义距离与距离空间的定义专题六专题六 距离空间的基本概念距离空间的基本概念距离空间的极限理论距离空间的极限理论距离空间中的开集、闭集与有界集距离空间中的开集、闭集与有界集距离空间上的连续映射距离空间上的连续映射定义定义2 (2 (子空间）子空间）如果如果A A X X，且且A A按照按照X X中距离中距离 (x,y)(x,y) 也是一个距离空间，则称也是一个距离空间，则称A A为为X X的的子空间子空间.定义定义1 1 （距离与距离空间）（距离与距离空间）设设X是任一集合，

7、是任一集合， x,y X, 若若能定义实函数能定义实函数 (x,y)，满足距离公理：，满足距离公理： 1) 非负性非负性： (x,y) 0， 2) 对称性：对称性： (x,y)= (y, x)， 3) 三角不等式：三角不等式： (x,y)(x,z)+ (z,y) ( z X) 则称则称X是是距离空间距离空间， (x,y)是距离空间是距离空间X中点中点x与与y的距离的距离 一、距离与距离空间的定义1.1.距离、距离空间及子空间的定义距离、距离空间及子空间的定义 注注: : 1 1）要证集合）要证集合X X是距离空间是距离空间, ,只要证明定义在只要证明定义在X X上的函数满足距上的函数满足距 离

8、公理条件。离公理条件。 2 2）距离空间即定义了距离的集合）距离空间即定义了距离的集合. .（距离空间（距离空间=集合集合+ +距离）距离） 3 3）要证）要证A A是是X X的子空间的子空间, ,只要证只要证X X上的距离对上的距离对A A中任两点都适合中任两点都适合1）直线R,按距离(x,y)=x-y -一维空间Rxx,x ,xxRinn214）全体n元有序数组集合:2.2.常见的几个距离空间常见的几个距离空间 222211yxyxy , x2）平面R2,按距离 -二维空间 233222211yxyxyxy , x3）空间R3,按距离 -三维空间三维空间 按距离 也构成距离空间 niiiy

9、xyx12,iiniyxyx13max, 按距离 也构成距离空间证证： z=(z1,z2,zn Rn (或或Cn)， i(x,y) 0, i(x,y)= i(y,x)211221121,niiiiiniiiyzzxyxyx21122112niiiniiiyzzx),(),(yzzx(Minkowski不等式不等式(k=2)niiiyxyx121, 按距离 -n维欧氏空间 上连续函数是b ,atxtxb ,aC-连续函数空间Ca,b tytxyxbat,max,按距离5 5）闭区间）闭区间a,b上的全体连续函数的集合上的全体连续函数的集合Ca,b：也构成另一距离空间 badttytxyx,1按距

10、离)()()()(max)()(max,tytztztxtytxyxbatbat),(),()()(max)()(max,yzzxtytztztxbatbat证证： z=z(t) Ca,b，非负性与对称性显然，非负性与对称性显然 babadttytztztxdttytxyx)()(,1 ),(),()()(11yzzxdttytzdttztxbaba badttytxyx2122)(,按距离也构成另一距离空间2121,i ,kx,x ,x ,xxmxin6）有界数列全体构成的集合m（c m c是是m的子空间）的子空间）iiiyxsupy, x按距离函数 -有界数列空间m021,xxxxxxcn

11、n7）收敛数列全体构成的集合按距离函数-收敛数列空间ciiiyxsupy, x Mtx,AttxAB tytxsupy, xAt8）有界函数集合 构成距离空间 -有界函数空间B(A)按函数yx ,yx ,y, x109)任一非空集合X按函数 构成距离空间-离散距离空间注注: 在任一非空集合上都可以定义距离函数，使之成为距离空间。在任一非空集合上都可以定义距离函数，使之成为距离空间。 在同一集合中在同一集合中,可以构据需要定义不同的距离函数使之成为不可以构据需要定义不同的距离函数使之成为不 同的距离空间。同的距离空间。iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyzyzzxzxyzzxyzzxyxy

12、x11)()(1)()(1证证：级数：级数 显然收敛，故显然收敛，故 (x,y)有意义，且有意义，且Szn,21iiiiii1211 (x,y) 0， (x,y) = (y,x)，iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyzyzzxzxyzzxyzzxyxyx121121)()(1)()(21121),(),(),(yzzxyxCR,xSin或21iiiiiiy, x121110）全体序列集合-序列空间S 按函数 构成距离空间 mXLXtftfXm可测，上在11）可测函数集合 dmtgtftgtfy, xX1按函数 构成距离空间-可测函数空间m(X) 这里,把几乎处处相等的函数看作是同

13、一函数 dmtgthtgthdmthtfthtfdmtgtftgtfXXX111 tgthtgththtfthtftgtftgtf111),(),(),(ghhfgf证证：)()(Xmthh12）可测集ER上的p幂可积函数f (x)的全体构成的集合 EppdmtxtxEL)()()(按函数 构成距离空间pEpdmtytxyx1)()(),(-p幂L可积函数空间Lp(E)这里,把几乎处处相等的函数看作是同一函数证证： pEppEppEpdmtydmtxdmtytxyx111)()()()(),(故故 (x,y)有意义。有意义。 z=z(t) Lp(E)pEppEpdmtytztztxdmtytx

14、yx11)()()()()()(),(pEppEpdmtytzdmtztx11)()()()(),(),(yzzx(Minkowski不等式不等式)(Minkowski不等式不等式)13）p幂可和序列的全体构成的集合 121,.),.,(ipiipxl按函数构成距离空间-p幂可和序列空间lp111p,y, xpipii证证：,111111pipipipipipiiyx故故 (x,y)有意义。有意义。 z=( 1, 2, n) lppipiiiipipiiyx1111,yzzxpipiipipii,1111(Minkowski不等式不等式) ELp附注：附注：空间空间 的重要性质的重要性质 （l

15、p也有同样性质）也有同样性质） ELgfELfpp, ELgELfpp, ELp2) 对于线性运算是封闭的，即 ELELmEp则如果,) 1 则令证：设,1,1,fBfEAELfpBpABAEdmdmfdmfdmfdmfmEdmfEp ELgfp ELfdmfdmfppEppE证：ppppppgfgfgfgf2,max2EEppppEdmgdmfdmgf2 ELp3) 满足Holder不等式和Minkowski不等式 ELf nxxxxnnn，或lim定理定理1（极限的性质）（极限的性质） 设（设（X,d)是距离空间，是距离空间，xn X.1) xn收敛收敛其极限唯一其极限唯一 )(,) 3k

16、xxxxnxxkknnnn2) xn收敛收敛xn一定是有界的一定是有界的 二、距离中的极限理论1.1.极限定义与性质极限定义与性质 定义定义3(极限极限) 设设(X,d)是一个距离空间是一个距离空间, xn X, x X,如果如果 (xn,x)0 (n),则称点列则称点列xn按距离按距离 收敛于收敛于x,也称也称xn为距离空间为距离空间(X,d)中的一个极限为中的一个极限为x的收敛点列的收敛点列,注：注：在距离空间中，在距离空间中，0),(limlimxxxxnnnn记作记作: : ),(),(),(yxxxyxnn),(, 0 xxNnNn时，当),(, 0 xxNnNxxnn),(,xxx

17、xKknKkNKkknnk证：证：2. 2. 常见距离空间中点列收敛的意义常见距离空间中点列收敛的意义 kxxxxxxxxnknkkk,21)()(2)(1),.2 , 1(0)(nikxxiki(1) (1) 欧氏距离空间欧氏距离空间Rn,21121,niiiyxyxkxxkxxiikik00,12)(),.2 , 1()(nikxxikin维向量序列维向量序列xk即按坐标收敛于即按坐标收敛于x (2) (2) 连续函数空间连续函数空间Ca,b, tytxyxbat,max,txxtxxkk 0max,txtxxxkbatk txtxNkNNkbat,max, 0有当 txtxbatNnNn

18、有对当对, 0, 0 tx txn函数列函数列xk(t)在在a,b上上一致收敛于一致收敛于x(t)(3) (3) 有界数列空间有界数列空间m,iiiyxsupy, x,21)()(2)(1nknkkkxx kxxkiik0sup,)(,.)2 , 1(0)(ikki, 2 , 1)(ikki点列点列 xk 即按坐标收敛即按坐标收敛x, , 且对且对i是一致是一致) ) xxk按坐标收敛于点列(4) (4) 序列空间序列空间S,iiiiiiy, x1211,21)()(2)(1nknkkkxx0121,)()(1ikiikiiikxx, 2 , 10)(ikiki(5) 可测函数空间m(X) ，

19、tftfnffXmfftftfmnnnn00),()()(Xdmtgtftgtfgf)()(1)()(),( txptxn幂平均收敛于以函数列(7) p幂L可积函数空间Lp(E)(p 1),pEpdmtytxyx1)()(),( txtxxxnn ndmtxtxxxpEpnn0,1 ndmtxtxpEn0 xpxk幂平均收敛于按坐标以点列(6) p幂可和序列空间lp (p 1),pipiiyx11,21)()(2)(1nknkkkxx0),(11)(pipikikxxkipiki01)(定义定义4(4(开球开球( (或点的邻域或点的邻域) )与闭球与闭球) ) 设(X,d)是距离空间, x0

20、X, r0 XxrxxxrxS,002) 称集合称集合 是以是以x x0 0为中心，为中心，r r为半径的为半径的闭球闭球r ,xS0注注：对于不同的距离空间对于不同的距离空间X，x0及的意义不同，从而开球及的意义不同，从而开球S(x0,r)或闭球或闭球 的意义也不同的意义也不同.例如：例如：1.1.距离空间中的开球（点的邻域）、闭球距离空间中的开球（点的邻域）、闭球 三、距离空间的开集、闭集及有界集1 1）称集合）称集合S(x0,r)=x (x,x0)1 1时，时，, 1),(,0),(,),(1 , 1),(,),(,00000000 xxXxxxxxXxxxxXxxrxxXxxxxXxx

21、rxxXxxrxS2.2.距离空间中的有界集、开集与闭集距离空间中的有界集、开集与闭集直线上点集有关概念直线上点集有关概念推广推广距离空间中点集的有关概念距离空间中点集的有关概念定理定理2(开集的性质开集的性质) 设设X距离空间距离空间. (1) 空集空集 与全空间与全空间X是开集。是开集。 (2) X中任意多个开集的并是开集。中任意多个开集的并是开集。 (3) X中有限个开集的交是开集。中有限个开集的交是开集。定义定义5(5(有界集有界集) ) 设设A X,若存在一个开球若存在一个开球S(x0,r) A， 则称则称A是是X中的中的有界集有界集.定义定义6(6(内点与开集内点与开集) ) 设设

22、X X是距离空间是距离空间, ,G X,x0 X.(1)若存在若存在x0的邻域的邻域(开球开球)S(x0,r) G,则称则称x0为为G的的内点内点。(2) 如果如果G的每个点都是内点则称的每个点都是内点则称G为为开集开集例例1 1 任一任一开球开球S(xS(x0 0,r),r)都是开集。都是开集。 证证: x S(x0,r) (x,x0)r, 取取0r- (x,x0), y S(x, ) (x,y)r- (x,x0)(y,x0)(y,x)+ (x,x0)0, x0的邻域的邻域S(x0, )内总含有内总含有A中异于中异于x0的点，的点，则称则称x0为为A的的极限点极限点( (或聚点或聚点) )。

23、(2) A=x|x是是A的聚点的聚点称为称为A的导集的导集(3) 集合集合A=A A 称称为为A的的闭包闭包。(4) 如果如果0,使使S(x0, )内除内除x0之外之外, 不含不含A中任何其他点，中任何其他点，则称则称x0为为A的的孤立点孤立点。 孤立点的全体所成集合称为孤立点的全体所成集合称为孤孤立点集立点集.(x是是A的孤立的孤立点点x A，x A)定理定理3 (闭集的性质闭集的性质) 设设X距离空间距离空间.(1) 空集空集 与全空间与全空间X都是闭集。都是闭集。(2) X中有限个闭集的并是闭集。中有限个闭集的并是闭集。(3) X中任意多个闭集的交是闭集。中任意多个闭集的交是闭集。定理定

24、理4 (闭集的充要条件闭集的充要条件) 设设X是距离空间，是距离空间，A X, 则则 A是闭集是闭集 A AA=A对对 xn A，xnx, 有有x A证证: (1) “” (反证法反证法) 设设 x0 A但但x0 Ax0 A且且x0 AC , A闭闭AC开开S(x0, ) ACS(x0, ) A= x0不是不是A的极限点的极限点x0 A, 矛盾矛盾. “” 设设A AAC (A)C, x ACx (A)Cx A x不是不是A的极限点的极限点 S(x, ), 使使S(x, ) A= S(x, ),使使S(x, ) ACx是是AC的内点的内点 AC开开A闭闭 (2) “” A闭闭A AA=A A=

25、A “” A=A, A A A=AA AA闭闭 (3) “” A闭闭A AA的所有极限点都属于的所有极限点都属于A x=limxn A “” xn A, xnx, x AA A2),(),2,(, 0)(1001010 xxxxxSAxAx2),(),2,(2112121xxxxxSAxAx),(),(),(211020 xxxxxx是闭集的极限点是AAAAxAxxxxSAx)(),(0002020110010,2),()2,(, 0)(xxxxxSAxAxAxAxAAAx111或是闭集若AAAAAxAx)(01定理定理5 设设X是距离空间是距离空间, A X, 则则A与与A都是闭集。都是闭集

26、。010011),()2,(,xxxSxSxAx，由于若是闭集AAAAAx)(0( (同上同上) )证证: :要证明要证明A及及A都是闭集都是闭集, ,只要证明只要证明( (A) ) A,(,(A) ) A. .注注：在直线：在直线R R上上, ,只有空集只有空集 与与R R既既是开集又是闭集是开集又是闭集; 而在距离空间中除了空集而在距离空间中除了空集 和全空间和全空间X既是开集又既是开集又 是闭集外是闭集外,还可能存在其他既开又闭的集合还可能存在其他既开又闭的集合. 例如例如, , 离散距离空间离散距离空间X中中, ,任何子集任何子集A都既开又闭都既开又闭. . 事实上事实上, ,设设x

27、X, 则则 S(x,1/2)=x是开集是开集, , 从而从而 A= x是开集是开集; ; 而而AC X是开集是开集, , 故故A A = x又是闭集又是闭集例例2 2 任一任一闭球闭球S(xS(x0 0,r),r)都是闭集；都是闭集；证证:rxxxxnn),(lim),(00,(,(00rxSrxSxrxxxxrxSxnnnn),(lim,(00是闭集是闭集. 三、距离空间上的连续映射定义定义9 9( (映射连续映射连续, ,一致连续一致连续) ) 设设(X, 1)与与(Y, 2)是两个距是两个距离空间离空间, 定义映射定义映射T:XY, x0 X.(1)如果对如果对0,0,使得当使得当 (x

28、, x0) 时时,有有 1(Tx, Tx0)0, 0, x1, x2 X, 当当 (x1,x2) 时时, 有有 1(Tx1,Tx2)0, x,y X, 1(f(x),f(y)=| (x,x0)- (y,x0)|(x,y) 取取 = 0, 当当 (x,y) 时时, 就有就有 1(f(x),f(y)0, 0, 使得当使得当 (x, x0) 时时,有有 1(Tx, Tx0)0, N, nN时时, (xn,x0) , 从而从而 1(Txn,Tx0)0, 0, 使得当使得当 (x, x0) 时时,有有 1(Tx, Tx0)0, 对对n0, xn: (xn,x0)0, 构造构造Y中开集中开集G=S(Tx0, ) Tx0 Gx0 T-1(G) 由假设由假设,G开集开集,有有T-1(G)是开集是开集 x0是是T-1(G)的内点的内点 S(x0, ) T-1(G) T(S(x0, ) G=S(Tx0, )T在在x0连续连续T在在X内连续内连续 (2) F闭闭FC开开,T-1(FC)开开, (T-1(F)C=T-1(FC)开开T连续连续3 拓扑映射拓扑映射（或（或同胚映射同胚映射）与）与拓扑同胚拓扑同胚 定义定义10 设设X与与Y都是距离空间，