二课控制系统数学模型

1、二课控制系统数学模型第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 2.1 数学模型的特点及类型数学模型的特点及类型2.2 2.2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程微分方程 2.5 2.5 控制系统的结构图及其化简控制系统的结构图及其化简2.4 2.4 典型环节传递函数典型环节传递函数2.3 2.3 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数传递函数2.62.6 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式2.7 2.7 小结小结2.1 2.1 数学模型的特点及类型数学模型的特点及类型系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。系统是指相互联系又相互作用着

2、的对象之间的有机组合。 若系统当前输出仅由当前的输入所决定，称为静态系若系统当前输出仅由当前的输入所决定，称为静态系统或稳态系统。统或稳态系统。数学模型：描述系统动态特性及各变量之间关系的数学数学模型：描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。表达式。 若当前输出不仅由当前输入所决定，而且还受到过去若当前输出不仅由当前输入所决定，而且还受到过去输入的影响，这样的系统称为动态系统。输入的影响，这样的系统称为动态系统。2.1.12.1.1数学模型的特点数学模型的特点1 1）相似性）相似性 数学模型可能相同，即具有相同的运动规律。数学模型可能相同，即具有相同的运动规律。方程的符号抽象为变量，系数

3、抽象为参数。结论具有一般方程的符号抽象为变量，系数抽象为参数。结论具有一般性。性。2 2）简化性和准确性）简化性和准确性 常在误差允许的条件下忽略一些对特性影响较小的物常在误差允许的条件下忽略一些对特性影响较小的物理因素，用简化的数学模型来表达实际系统。理因素，用简化的数学模型来表达实际系统。3 3）动态模型）动态模型: : 描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述变量各阶导数之间关系的微分方程。4 4）静态模型）静态模型: : 在静态条件下（即变量的各阶导数为零）在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述变量之间的代数方程。，描述变量之间的代数方程。2.1.22.1.2数学模型的类型数学模型

4、的类型3 3）用比较直观的方块图模型进行描述。）用比较直观的方块图模型进行描述。 2 2）状态变量描述或内部描述。它特别适用于多输入、多）状态变量描述或内部描述。它特别适用于多输入、多输出系统，也适用时变系统、非线性系统和随机控制系统输出系统，也适用时变系统、非线性系统和随机控制系统1 1）输入）输入- -输出描述或外部描述。如微分方程、传递函数和输出描述或外部描述。如微分方程、传递函数和差分方程差分方程. . 2.2 2.2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程微分方程 2.2.12.2.1列写微分方程式的一般步骤列写微分方程式的一般步骤1.1.分析系统运动的因果关系，确定系

5、统的输入量、输出量分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。2.2.作出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题作出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题简化。简化。3.3.根据支配系统动态特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。根据支配系统动态特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。牛顿定律、能量守恒定律、克希牛顿定律、能量守恒定律、克希霍夫定律、物质守恒定律以及由霍夫定律、物质守恒定律以及由它们导出的各专业应用公式。它们导出的各专业应用公式。4.4.列写各中间变量与其它变量的因果式，称为辅助方程式。

6、至此，列写各中间变量与其它变量的因果式，称为辅助方程式。至此，方程的数目应与所设的变量（除输入外）数目相等。方程的数目应与所设的变量（除输入外）数目相等。与输入量有关的各项放在方程式的与输入量有关的各项放在方程式的右边，与输出量有关的各项放在左右边，与输出量有关的各项放在左边，各导数项按降阶排列，各项系边，各导数项按降阶排列，各项系数化成有物理意义的形式数化成有物理意义的形式5.5.连立上述方程，消去中间变量，最终得到只包含系统输入量与输连立上述方程，消去中间变量，最终得到只包含系统输入量与输出量的方程式。出量的方程式。6.6.将方程式化成标准型。将方程式化成标准型。一般从系统的输入端开始，依

7、次列写一般从系统的输入端开始，依次列写系统各组成部分的运动方程式，兼顾系统各组成部分的运动方程式，兼顾相邻元件的负载效应问题。相邻元件的负载效应问题。例例2-12-1电路系统举例：电路系统举例：电阻电阻- -电感电感- -电容串联系统，如图电容串联系统，如图2-12-1所示。列出以所示。列出以u ur r(t)(t)为输入量，为输入量，u uc c(t)(t)为输出量的网络微分方程式。为输出量的网络微分方程式。解：按照列写微分方程式的一般步骤有：解：按照列写微分方程式的一般步骤有：1）确定输入量、输出量、中间变量）确定输入量、输出量、中间变量i（t）；）；2）网络按线性集总参数考虑，且忽略输出

8、端负载效应；）网络按线性集总参数考虑，且忽略输出端负载效应；3）由克希霍夫定律写原始方程：）由克希霍夫定律写原始方程： （2-1）4）列写中间变量与输出变量的关系式：）列写中间变量与输出变量的关系式： （2-2）5）将上式代入原始方程消中间变量得：）将上式代入原始方程消中间变量得：6） 整理成标准型：令整理成标准型：令T1=L/R,T2=RC,则方程化为：则方程化为：rcuuRidtdiLdtduCicrcccuudtduRCdtudLC22 （2-32-3）rcccuudtduTdtudTT22221 （2-42-4）T1、T2的量纲：的量纲：T1=L/R=秒秒 T2=RC=秒秒 则则T1、

9、T2是电路网是电路网络两个时间常数，络两个时间常数，ucurCLRi图图2-1RLC2-1RLC电路系统电路系统例例2-22-2机械系统举例：机械系统举例：弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器串联系统，如图阻尼器串联系统，如图2-22-2所示。列出以外力所示。列出以外力F(t)F(t)为输为输入量，以质量的位移入量，以质量的位移y(t)y(t)为输出量的运动方程式。为输出量的运动方程式。2）系统按线性集总参数考虑，且当无外力作用时，）系统按线性集总参数考虑，且当无外力作用时，系统处于平衡状态；系统处于平衡状态；3）由牛顿第二定律写原始方程：）由牛顿第二定律写原始方程： （2-5）4）写中间变量与

10、输出变量的关系式：）写中间变量与输出变量的关系式： （2-6）5）将上式代入原始方程消中间变量得：）将上式代入原始方程消中间变量得：6）整理成标准型：）整理成标准型： 该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。解：按照列写微分方程式的一般步骤有：解：按照列写微分方程式的一般步骤有：1）确定输入量、输出量，作用于质量）确定输入量、输出量，作用于质量m的力还有的力还有弹性阻力弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t) ，均作为中间变量；，均作为中间

11、变量；mfKy(t)F(t)图2-2机械系统22)()()(dtydmtFtFtFFfkdtdyftFkytFfk)()(（2-72-7）（2-82-8）令）令)(22tFdtdyfkydtydm)(122tFkydtdykfdtydkmkfTkmTfm2)(1222tFkydtdyTdtydTfm（2-92-9）则方程化为：则方程化为：方程系数的物理意义：方程系数的物理意义： 可见可见Tm、Tf 具有时间的量纲，故称为系统的时间常数。时间常具有时间的量纲，故称为系统的时间常数。时间常数可决定方程的解随时间变化的快慢。数可决定方程的解随时间变化的快慢。 另外，从静态方程的描述可知，另外，从静态

12、方程的描述可知，（2-10）故，故，1/k又称为系统静态放大倍数。又称为系统静态放大倍数。)(1)(tfkty 牛顿米米牛顿秒米牛顿秒）（米牛顿秒米）秒米（千克千克米牛顿千克/11/222kkfTkmTfm 1/k的量纲是输出与输入的量纲比。则的量纲是输出与输入的量纲比。则1/k的量纲代表了两种物的量纲代表了两种物理量的转换关系。理量的转换关系。2.2.22.2.2实际物理系统线性微分方程的一般特征实际物理系统线性微分方程的一般特征 线性定常方程形式：线性定常方程形式：rbrbrbcacacammmnnn) 1(1)(0) 1(1)(0r(t) 输入量输入量 c(t) 输出量输出量 从工程可实

13、现的角度来说，该方程满足以下的要求：从工程可实现的角度来说，该方程满足以下的要求：1.方程的系数为实常数，由物理系统自身参数决定。方程的系数为实常数，由物理系统自身参数决定。2. 输出的阶次都高于或等于输入的阶次。输出的阶次都高于或等于输入的阶次。3.方程两端各项的量纲都是一致的。方程两端各项的量纲都是一致的。定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式，定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式，就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量，就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量，叫做相似量。叫做相似量。弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统机械系统机械系统 电系统电系统力力F质量

14、质量m黏性摩擦系数黏性摩擦系数f弹簧系数弹簧系数k位移位移x速度速度v转矩转矩T转动惯量转动惯量J黏性摩擦系数黏性摩擦系数f扭转系数扭转系数k角位移角位移 角速度角速度 电压电压u电感电感L电阻电阻R电容的倒数电容的倒数1/C电荷电荷q电流电流I表表2-1 2-1 相似系统中的相似变量相似系统中的相似变量线性系统线性系统 满足叠加原理满足叠加原理物理系统物理系统r(t)c(t)激励激励响应响应(2)齐次性：保持比例因子齐次性：保持比例因子 ar(t) ac(t)非线性系统非线性系统(1)叠加性：线性系统内各个激励产生的响应互不影响叠加性：线性系统内各个激励产生的响应互不影响 r1(t)+r2(

15、t) c1(t)+c2(t) r1(t) c1(t) r2(t) c2(t)2.3 2.3 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数传递函数 传递函数：在线性定常系统传递函数：在线性定常系统中中, , 当当初始条件为零时初始条件为零时, , 输出量的拉输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比. .2.3.12.3.1传递函数的定义传递函数的定义设单输入单输出线性定常系统设单输入单输出线性定常系统: : r(t) 输入量输入量 c(t)c(t) 输出量输出量 在零初始条件下在零初始条件下: : 0)0()0()0()1(nccc0)0()0(

16、)0()1(mrrr)()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnnnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(拉氏变换拉氏变换:传递函数传递函数:n个m个nmG(s)r(s)c(s)方框图方框图 C(s)=G(s)R(s)rbrbrbcacacammmnnn) 1(1)(0) 1(1)(02.3.22.3.2传递函数的实际意义传递函数的实际意义1 1）现实的控制系统多是零初始条件。现实的控制系统多是零初始条件。2）在输入没加入之前，认为输入恒等于零。）在输入没加入之前，认为输入恒等于零。3）对于非零初始条件所产生的影响，可用

17、叠加原理来进行处理。）对于非零初始条件所产生的影响，可用叠加原理来进行处理。2.3.32.3.3传递函数的性质传递函数的性质1) 1) 传递函数是一种数学模型传递函数是一种数学模型, , 与系统的微分方程相对应。与系统的微分方程相对应。2) 2) 是系统本身的一种属性是系统本身的一种属性, , 与输入量的大小和性质无关。与输入量的大小和性质无关。3) 3) 只适用于线性定常系统只适用于线性定常系统. .4) 4) 传递函数是单变量系统描述传递函数是单变量系统描述, ,外部描述。外部描述。5) 5) 传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是在零初始条件下定义的, , 不能反映在非零初始条件不能反

18、映在非零初始条件下系统的运动情况。下系统的运动情况。6) 6) 一般为复变量一般为复变量 S S 的有理分式的有理分式, , 即即 n n m m。且所有的系数均为实数。且所有的系数均为实数。7 7）如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统）如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。的输出或响应。8 8）如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出）如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。量的实验方法，确定系统的传递函数。9) 9) 传递函数与脉冲响应函数一一对应传递函数与脉冲响应函数一一对应.

19、. 脉冲响应函数是指系统在脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。单位脉冲输入量作用下的输出。当单位脉冲输入系统时，当单位脉冲输入系统时，R(s)=L (t)=1 因此系统的输出为因此系统的输出为C(s)=G(s)C(s)=G(S)反变换得脉冲响应：反变换得脉冲响应：L-1G(s)=g(t) (2-12)1)()(000)(tdtttt（2-11）G(s)0tr(t)(t)(t)g(t)g(t)0tc(t)图图2-32-3系统的脉冲响应系统的脉冲响应2.3.42.3.4传递函数的微观结构传递函数的微观结构线性定常系统的传递函数都是复变量线性定常系统的传递函数都是复变量 S S 的有理

20、分式的有理分式, , 其分子多项其分子多项式和分母多项式经分解后可写成各种形式。式和分母多项式经分解后可写成各种形式。(1) (1) 零极点表达式零极点表达式)()()()()(212111101 -m110nmgnnnnmmmpspspszszszsKasasasabsbsbsbsG（2-13）式中式中, ,z z1 1,z,z2 2, ,z,zm m 是分子多项式等于零时的根是分子多项式等于零时的根, , 同时使同时使 G(s)=0, G(s)=0, 故称为传递函数的零点故称为传递函数的零点; ;p p1 1,p,p2 2,p,pn n 是分母多项式等于零时的根是分母多项式等于零时的根,

21、, 同时使同时使G(s)=G(s)=, , 故称为故称为传递函数的极点传递函数的极点( (又称特征根又称特征根););k kg g=b=b0 0/a/a0 0, , 称为传递系数或根轨迹增益。传递函数与它的零点、极称为传递系数或根轨迹增益。传递函数与它的零点、极点和传递系数一一对应。点和传递系数一一对应。传递函数的零点和极点同时表示在复数平面上的图形传递函数的零点和极点同时表示在复数平面上的图形, , 叫叫做传递函数的零极点分布图。做传递函数的零极点分布图。例如例如 : :) 22)(3(2)(2sssssGj0-11xx-1-2-3x图2-4零极点分布图图中零点用图中零点用“o o”表示表示

22、, , 极点用极点用“ ”表示。表示。传递函数的这种形式及零极点分布图在根轨迹法中使用较传递函数的这种形式及零极点分布图在根轨迹法中使用较多。多。(2) (2) 时间常数时间常数表达式表达式) 1() 12)(1() 1() 12)(1()(222212222111101 -m110sTsTsTsTssssKasasasabsbsbsbsGjinnnnmmmKabsGnms0)(（2-14）（2-15）由拉氏变换的终值定理由拉氏变换的终值定理, , 当当S S00时时, , 描述时域中描述时域中t t时的性能时的性能, , 此此时系统的传递函数就转化为静态放大倍数即时系统的传递函数就转化为静态

23、放大倍数即 式中式中, , i i、T Tj j称为时间常数称为时间常数; ; K K 称为传递系数或静态增益。称为传递系数或静态增益。传递函数的时间常数表示形式很容易将系统分解成一些典型环节。传递函数的时间常数表示形式很容易将系统分解成一些典型环节。2.4 2.4 典型环节传递函数典型环节传递函数控制系统的运动情况只决定于所有各组成环节的动态特性及控制系统的运动情况只决定于所有各组成环节的动态特性及连接方式连接方式, , 而与这些环节的具体结构和进行的物理过程不直接而与这些环节的具体结构和进行的物理过程不直接相关。相关。组成控制系统的环节可以抽象为组成控制系统的环节可以抽象为典型环节。典型环

24、节。不同的物理系统，可以是同一环节。不同的物理系统，可以是同一环节。同一物理系统也可能成为不同的环节。同一物理系统也可能成为不同的环节。比例环节比例环节惯性环节（一阶）惯性环节（一阶）微分环节微分环节积分环节积分环节 延迟环节延迟环节振荡环节（二阶）振荡环节（二阶）11Ts12122TssTsTi1Tse -sK运动方程为：运动方程为：c(t)=kr(t)应用实例：应用实例：放大器、测放大器、测速发电机、速发电机、电位器电位器特点：输出量延缓地反特点：输出量延缓地反映输入量的变化映输入量的变化T是惯是惯性环节的时间常数性环节的时间常数Tt010.63C(t)应用实例：应用实例：直流电机的直流电机的励磁电路励磁电路)()()(trtcdttdcTdttdrTtc)()( )()(trdttdcTtr(t)01Tc(t) 积分环节积分环节)()( trtc)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT2222)(1nnnnsssGT令令tr(t)01c(t)延迟环节延迟环节 tr(t)01c(t)振荡环节振荡环节tr(t)01Tc(t)微分环节微分环节tr(t)01kc(t)比例环节比例环节的的输出量与输入量成正比输出量与输入量成正比, , 动态关系与静态关系都一样