高中数学必修第二册《空间几何体》解答题专项练习（含答案）

1、高中数学必修第二册空间几何体解答题专项练习如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点，连接MN.(1)证明：直线MN平面PCD；(2)若点Q为PC中点，BAD=120°，PA=，AB=1，求三棱锥A­QCD的体积如图，四棱锥P­ABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，且MC=2PM.(1)证明：BM平面PAD；(2)若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离.在四棱锥P­ABCD中，ABC=ACD=90°，B

2、AC=CAD=60°，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2.(1)求证：CE平面PAB；(2)若F为PC的中点，求三棱锥F­AEC的体积.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB=60°，PD平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PC的中点，连接EF，BF.(1)求证：直线EF平面PAD.(2)求三棱锥F­PEB的体积.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点求证：直线EG平面BDD1B1.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD

3、=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.如图，ABC中，AC=BC=AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点(1)求证：GF底面ABC；(2)求几何体ADEBC的体积如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2.(1)若点E在对角线BD1上移动，求证：D1EA1D；(2)当E为棱AB中点时，求点E到平面ACD1的距离.如图，已知AF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB=90

4、6;，ABCD，AD=AF=CD=2，AB=4.(1)求证：AC平面BCE；(2)求三棱锥E­BCF的体积.如图，在三棱柱ABFDCE中，ABC=120°，BC=2CD, AD=AF, AF平面ABCD.(1)求证：BDEC；(2)若AB=1，求四棱锥BADEF的体积.如图，AB是O的直径，点C是上一点，VC垂直O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点.(1)求证：DE平面VBC；(2)若VC=CA=6，O的半径为5，求点E到平面BCD的距离.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，BCC1=60°.(1

5、)求证：BC1平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E­ABC的体积为，求线段CE的长.如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.求证：AEBE.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC平面ABCD，E为PD的中点，PA=PC，AB=2BC=2，ABC=60°.(1)求证：PB平面ACE；(2)求证：平面PBC平面PAC.如图所示，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，DAB=60°，PA=PB=PD=a.(1)求证：BDPC；(2)求点A到平面PBC的距离.如图，四棱

6、锥P­ABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD.(1)求证：AF平面PEC；(2)求证：平面PEC平面PCD.如图，在四棱锥E­ABCD中，EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足ABCD，AD=DC=AB，且AEBD.(1)证明：平面EBD平面EAD；(2)若EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，ADBC，ABC=90°，PA平面ABCD，ACBD=E，AD=2，AB=2，BC=6.求证：平面PBD平面PAC.如图，在四棱锥S­ABCD中，底面

7、ABCD是梯形，ABDC，ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA=120°，且三棱锥S­BCD的体积为，求侧面SAB的面积.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F.如图，四棱锥SABC

8、D的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.如图，直棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB求二面角DA1CE的正弦值答案解析解：(1)取PD中点R，连接MR，RC(图略)，MRAD，NCAD，MR=AD，NC=AD，MRNC，MR=NC，四边形MNCR为平行四边形，MNRC，又RC平面PCD，MN平面PCD，直线MN平面PCD.(2)由已知条件

9、得AC=AD=CD=1，SACD=，VA­QCD=VQ­ACD=×SACD×PA=.解：(1)证明：如图，过点M作MECD交PD于E，连接AE，因为ABCD，所以ABEM.又MC=2PM，CD=3，故=，得EM=1.由AB=1知EM綊AB，故四边形ABME为平行四边形，因此BMAE，又AE平面PAD，所以BM平面PAD.(2)连接BD，由已知AD=2，AB=1，BAD=，可得DB2=AD2AB22AD·AB·cosBAD=3，即DB=.因为DB2AB2=AD2，所以ABD为直角三角形，ABD=，因为ABCD，所以BDC=.又DC=3，

10、故BC=2.由PD底面ABCD，得PDDB，PDDC，故PB=2，PC=3.因为BC=PB，所以PBC为等腰三角形，SPBC=·PC·=×3×=.设点D到平面PBC的距离为h，则VD­PBC=·SPBC·h=h.而SBDC=·DC·DB=×3×=，所以VP­BDC=·SBCD·PD=××3=.因为VD­PBC=VP­BDC，即h=，故h=.所以点D到平面PBC的距离为.解：(1)证明：在RtABC中，AB=1，BAC

11、=60°，所以BC=，AC=2.取AD的中点M，连接EM，CM，则EMPA.因为EM平面PAB，PA平面PAB，所以EM平面PAB.在RtACD中，CAD=60°，AC=2，所以AD=4，AM=2=AC，所以ACM=60°.而BAC=60°，所以MCAB.因为MC平面PAB，AB平面PAB，所以MC平面PAB.因为EMMC=M，所以平面EMC平面PAB.因为CE平面EMC，所以CE平面PAB.(2)因为PA=AC=2，F为PC的中点，所以AFPC.因为PA平面ABCD，所以PACD.因为ACCD，PAAC=A，所以CD平面PAC.又EFCD，所以EF平面

12、PAC，即EF为三棱锥E­AFC的高.因为CD=2，所以EF=，从而VE­AFC=××AC×PA×EF=×××2×2×=.因为VE­AFC=VF­AEC，所以VF­AEC=.解：(1)如图，作FMCD交PD于点M，连接AM.因为点F为PC中点，所以FM=CD.因为点E为AB的中点，所以AE=AB=FM.又AEFM，所以四边形AEFM为平行四边形，又EF平面PAD，AM平面PAD.所以EFAM.所以直线EF平面PAD.(2)连接EC.已知DAB=60

13、6;，AE=，AD=1，由余弦定理，得DEAB，又ABDC，则DEDC，设F到平面BEC的距离为h.因为点F为PC的中点，所以h=PD.从而有VF­PBE=VP­BEF=VP­BECVF­BEC=SBEC·(PDh)=SBEC·PD=×××××1=.证明：如图所示，连接SB.E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.解析：(1)证明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC

14、,TN=12BC=2.又ADBC,故TN􀱀AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=12×4×5=25.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=13·SBCM·PA2=453.解：(1)证明：如图，取BC的中点M，AB的中点N，连接GM，FN，MN.G，F分别是EC，BD

15、的中点，GMBE，且GM=BE，NFDA，且NF=DA.又四边形ABED为正方形，BEAD，BE=AD，GMNF且GM=NF.四边形MNFG为平行四边形GFMN，又MN平面ABC，GF平面ABC，GF平面ABC.(2)连接CN，AC=BC，CNAB，又平面ABED平面ABC，CN平面ABC，CN平面ABED.易知ABC是等腰直角三角形，CN=AB=，C­ABED是四棱锥，VC­ABED=S四边形ABED·CN=×1×=.解：(1)证明：由长方体ABCD­A1B1C1D1，得AB平面ADD1A1，而A1D平面ADD1A1，所以ABA1D

16、，即A1DAB，又由正方形ADD1A1，得A1DAD1，而AD1AB=A，所以A1D平面ABD1，于是A1DBD1，而EBD1，所以A1DD1E，即D1EA1D.(2)由已知得CD1=AC，AD1=，过C作CF垂直AD1于F，则CF= =，所以SACD1=××=，设点E到平面ACD1的距离为h，则由VE­ACD1=VD1­AEC有××h=××1，得h=，故点E到平面ACD1的距离为.解：(1)证明：过点C作CMAB，垂足为M，因为ADDC，所以四边形ADCM为矩形，所以AM=MB=2，又AD=2，AB=4，所以AC

17、=2，CM=2，BC=2，所以AC2BC2=AB2，所以ACBC，因为AF平面ABCD，AFBE，所以BE平面ABCD，所以BEAC.又BE平面BCE，BC平面BCE，且BEBC=B，所以AC平面BCE.(2)因为AF平面ABCD，所以AFCM，又CMAB，AF平面ABEF，AB平面ABEF，AFAB=A，所以CM平面ABEF.VE­BCF=VC­BEF=××BE×EF×CM=×2×4×2=. (1)证明：已知ABFDCE为三棱柱，且AF平面ABCD，DEAF，ED平面ABCD.BD平面ABCD，EDBD

18、，又ABCD为平行四边形，ABC=120°，故BCD=60°，又BC=2CD，故BDC=90°，故BDCD，EDCD=D，ED，CD平面ECD，BD平面ECD，EC平面ECD，故BDEC.(2)解：由BC=2CD得AD=2AB，AB=1，故AD=2，作BHAD于点H，AF平面ABCD，BH平面ABCD，AFBH，又ADAF=A，AD，AF平面ADEF，BH平面ADEF，又ABC=120°，在ABH中，BAH=60°，又AB=1，BH=，VBADEF=×(2×2)×=.解：(1)证明：因为AB是O的直径，C是上一点，

19、所以ACCB.又因为VC垂直O所在平面，所以VCAC，又VCBC=C，所以AC平面VCB.又因为D，E分别为VA，VC的中点，所以DEAC，所以DE平面VCB.(2)由(1)知，ACCB，又VC垂直O所在的平面，所以VCBC，又VCAC=C，所以BC平面VAC，又CD平面VAC，所以BCCD，在RtACB中可求得BC=8，在RtDEC中，由DE=AC=3，CE=VC=3，DEC=得CD=3，设点E到平面BCD的距离为d，由VE­BCD=VB­CDE得d·SBCD=·BC·SCDE，即d·BC·CD=·BC·

20、;DE·CE，代入数据得d·×8×3=×8××3×3，所以d=，即点E到平面BCD的距离为.解：(1)证明：AB平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，ABBC1，在CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，BCC1=60°，由余弦定理得BC=BC2CC2BC·CC1·cosBCC1=12222×1×2cos60°=3，BC1=，BC2BC=CC，BCBC1，又AB，BC平面ABC，BCAB=B，BC1平面ABC.(2)AB平面BB1C1C，VE

21、3;ABC=VA­EBC=SBCE·AB=SBCE·1=，SBCE=CE·(BC·sin)=CE·，CE=1.证明：AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE.又AE平面ABE，AEBC.BF平面ACE，AE平面ACE，AEBF.又BF平面BCE，BC平面BCE，BFBCB，AE平面BCE.又BE平面BCE，AEBE.解：(1)连接BD，交AC于点O，连接OE.底面ABCD是平行四边形，O为BD的中点.又E为PD的中点，OEPB.又OE平面ACE，PB平面ACE，PB平面ACE.(2)PA=PC，O为AC的中点，POAC.又平面PAC平

22、面ABCD，平面PAC平面ABCD=AC，PO平面PAC，PO平面ABCD.又BC平面ABCD，POBC.在ABC中，AB=2BC=2，ABC=60°，AC=，AB2=AC2BC2，BCAC.又PO平面PAC，AC平面PAC，POAC=O，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PBC平面PAC.解：(1)证明：连接AC和BD，交点为O.因为四边形ABCD是菱形，且DAB=60°，所以AO是等边ABD的底边BD的高线.过点P作PH平面ABCD于H.因为PA=PB=PD=a，所以H是ABD的外心，又ABD是等边三角形，所以HAO，从而HAC.因为PH平面ABCD，BD平面ABC

23、D，所以PHBD.又ACBD，ACPH=H，所以BD平面PAC.因为PC平面PAC，所以BDPC.(2)由(1)可知AO=a，AH=a，CH=a，PH=a，所以PC=a.在PBC中，PB=BC=a，所以PBC=90°，所以SPBC=a·a=.SABC=a·a·sin 120°=a2.对于四面体P­ABC，记A到平面PBC之间的距离为h.因为VP­ABC=VA­PBC，所以·a2·a=··h，解得h=a.所以点A到平面PBC的距离为a.证明：(1)取PC的中点G，连接FG、EG

24、，F为PD的中点，G为PC的中点，FG为CDP的中位线，FGCD，FG=CD.四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，AECD，AE=CD.FG=AE，FGAE，四边形AEGF是平行四边形，AFEG，又EG平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC.(2)PA=AD，F为PD中点，AFPD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又CDAD，ADPA=A，CD平面PAD，AF平面PAD，CDAF，又PDCD=D，AF平面PCD，由(1)知EGAF，EG平面PCD，又EG平面PEC，平面PEC平面PCD.解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则DMBC，DM=AB，即点D在以线段A

25、B为直径的圆上，BDAD，又AEBD，且AEAD=A，BD平面EAD.BD平面EBD，平面EBD平面EAD.(2)BD平面EAD，且BD平面ABCD，平面ABCD平面EAD.等边EAD的面积为，AD=AE=ED=2，取AD的中点O，连接EO，则EOAD，EO=，平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCD=AD，EO平面ABCD.由(1)知ABD，EBD都是直角三角形，BD=2，SEBD=ED·BD=2，SBCD=BC·CDsin120°=.设点C到平面EBD的距离为h，由VC­EBD=VE­BCD，得SEBD·h=SBCD·EO，解得h=.点C到平面EBD的距离为.证明：PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tan ABD=，tan BAC=，ABD=30°，BAC=60°，AEB=90°，即BDAC.又PAAC=A，BD平面PAC.又BD平面PBD，平面PBD平面PAC.解：(1)证明：设BC=a，则CD=a，AB=2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD=90°，则BD=a，CBD=45°，所以ABD=ABCCBD=45°，在ABD