勾股定理证明的探讨与教学思考_图文

1、20中学数学教学 2011年第1期勾股定理证明的探讨与教学思考安徽省合肥市第四十五中学 李光武孔云 (邮编:230001勾股定理的证明方法有很多种,目前教材给出的几种证明方法是面积法.如下图所示:利 用若干个全等的直角=三角形和一个小正方形,拼 成一个大正方形(图1是邹元治的证明拼图法、图 2是赵爽的证明拼图法;利用两个全等的直角 三角形和一个等腰直角三角形,拼成一个直角梯 形(图3是1876年美国总统Garfield的证明拼图 法.教材选用这几种证明方法,都是利用几个简 单的直角三角形和一个正方形或等腰直角三角 形,拼成一个学生比较熟悉,而且它们的面积也 是很容易求解的一种几何图形.够珞 图

2、1图2图3然后,教材给出学生比较熟悉的证明方法 面积法,即先算出整个图形的面积,再算出 各个部分的图形面积,利用图形分割前后的面积 相等,构成一个等式,最后经过整式的化简、整理o,c9co'070?o_c'coc,t70oooo,o_。,oe'c.,e_,oooo,oo_,070ooo't,c'o,o,o讳,3,07.。,亡oo,>7龇一5一(学钿+(学2” (学2州+(学2州一(学4州 +(学(学卜学+(学 (学卜学+(学4州一5一 (1+54计1+(1一54井1. 歹r¨.L2,lL2什2一L2。L 2神l一5.给Lucas数列赋于美

3、丽的生活意义:假如有 一对新生兔子,经过一个月变成一对成熟兔子并 且开始繁殖,第三个月它们生下一对小兔子(此 时共2对兔子,第四个月时新生小兔子的爸妈又 生下一对小兔子(此时共3对兔子,第五个月时 共5对兔子,.这就是1202年由意大利出版的、 意大利数学家斐波那契(Fibonacci的著作珠算 原理中的一段记载.由此可得如下著名的 Fibonacci数列:1。l。2。3,5,8,13,若记厂。一1,厂-一1,=2,一3,4=5, ,那么当,z3时有一A。+I。.实际上, Fibonacci数列可以看成是给Lucas数列加了一 个初始条件L。一1得到的.显然,当咒3时, I。ucas数列和Fi

4、bonacci数列有相同的递推关系. 关于Fibonacci数列和I.ucas数列的进一步研究 及应用的文章限于篇幅,这里不在提及,有兴趣 的朋友可以在数学网上去查找.数学是一座宝山,新数学课本是宝山里的一 脉矿床,我们可不能进宝山而空返啊!参考文献1Homer W.Austin.Columns of Fibonacci or Lucas NumbersJ.Mathematical spectrum,Volume 37, 2004/2005Number 2,pp.6772.2张 赘.高中新教材中两类问题的思考和探究尝试 J.中学数学教学参考(上半月,2009,5.3张 赘.一个数学小资料的探究

5、价值J.中学数学 教学参考(上半月,2009,8.(收稿日期:2010一11_02万方数据2011年第1期 中学数学教学 21得到直角三角形=三边的关系式:即n2+62= r2(其中口、6表示直角三角形的两直角边,c表示 斜边.教材选取了这j种证明方法,一是图形拼 接并不繁琐;二是面积求解也很简单,并不需要 学生在原来的图形中添加辅助线,构造新的几何 图形.在众多的解法里,只有这三种解法符合学 生的认知规律,符合新形势下的课程改革需要, 只要学生通过自己的动手操作,利用已有的知 识,经过简单的整式化简、整理,就可以很快得到 定理的结论.对于沪科版教材,笔者在上第19章第一节 二次根式之前进行备

6、课时,发现问题2是秦九 韶一海伦“三斜求积”公式, 即s一 一. 一l 户(户一口(p一6(户一c,这里的户=÷(口+6厶+f,(其中n、6、f分别是三角形的三条边长.此 时,我们就产生这样一种想法,既然秦九韶一海 伦“三斜求积”公式是用来求三角形面积的,而勾 股定理的证明也是用面积法来证明的,那么,这 两者之间能否建立一种联系呢?能用秦九韶一海 伦“乏斜求积”公式,来证明勾股定理吗?如果能, 图形怎么拼?在拼图时能否使所需要的直角三角 形的个数更少一些呢?这一系列的问题促使笔者 去思考、假想、构图、证明.经过反反复复的思考、 构图、证明等一系列活动后.最后,我们发现这种 想法是成立

7、的.同时,经过证明也是合理的.现将 我们得到的拼图方法、思路以及具体的证明过程 陈述如下:首先取两个全等的直角三角形,把他 们的两条对应的直角边重叠在一起,同时使另外 的两条对应的直角边在一条直线上,拼成如下右 图4所示一个等腰=三角形.拼图之后的这个等腰 三角形的底边长为2n,高为6,然后利用三角形的 面积公式来求出它的面积,则这个等腰二角形的11面积为:5=÷×2n×6=曲,且户=寺(2a+f 厶 厶+c=n+c.再利用秦九韶一海伦“三斜求积” 公式:s=/瓦歹二i汀歹=万巧而,其中户=1÷(日+6+f,可以求出,把j'一日+f带人秦九韶 厶

8、一海伦“三斜求积”公式.5=/p(p(户一6(户('一、,厅万干了瓦iFi=万石1i=i灭i干了=乏万=/n2(f2一口2.最后,根据三角形的面积不变,即c16一/“2(c2一n2,再根据二次根式的性质,两边平方得:口262一n2(f2一口2,因为口O,所以等式两边同除以口2得:62一f2一n2,即口2+炉=f2./图4这种证明方法得出以后,我们并没有急于向 学生去渗透、去讲解,把这种拼图方法以及利用 秦九韶一海伦“三斜求积”公式运用于勾股定理 的证明.因为学生对于二次根式的化简及运算还 不熟悉、不熟练,等到学生学完第19章之后,我们 把这个问题抛向学生,希望同学们在周末的时 候,抽出

9、一点时间来思考:能否用更少的直角三 角形拼图,并利用秦九韶一海伦“三斜求积”公 式来证明勾股定理的结论成立.学生在我们的鼓励下,绝大部分同学都能利 用周末的时间去思考、去探索、去动手拼图。虽然 大多数学生没有探索出这种拼图途径和证明的 结论.但是可喜之处是绝大多数同学都参与了这 种探索的过程。这种主动参与学习的积极性是最 值得老师欣慰的,并且有一些学生探索出正确的 拼图方法,并给出正确的证明过程,最后我们利 用班级自习课的时间让同学们自己来讲解和分 析他们探索的拼图方法、证明结论的准确性,使 更多的学生了解这种拼图和证明的方法,并给出 激励的评价.目的是想借助这种简明的拼图、章 节之间衔接知识点的学习,来调动学生的学习兴 趣和热爱数学的激情.通过学生的自己动手操 作、老师的引导,这样的教学使学生能更加主动 学习。比“填鸭式”的讲解和满堂灌的课堂教学效 果更好!在此也希望我们在教育一线工作的老师 们。要相信孩子们,大胆地放手,让学生自己去动 手、去思考、去检验、去探索.要相信孩子们,只要 我们敢于放手,学生就会有无限的遐想空间,就 会想象出许多我们无法预测的结果,因为未来属 于他们,需要他们去尝试、去探索、去实践.只要 我