现代控制理论基础线性定常系统的综合学习教案

1、会计学1现代控制现代控制(kngzh)理论基础线性定常系理论基础线性定常系统的综合统的综合第一页，共47页。2一、带输出反馈一、带输出反馈(fnku)结构的控制系统结构的控制系统原受控系统原受控系统 ：CxyBuAxx ),(0CBA Hyvu AB uxx Hv Cy 将系统的输出量乘以相应将系统的输出量乘以相应(xingyng)的反馈系数馈送到输入端的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。输出反馈控制规律输出反馈控制规律 CxyBvxBHCAx)(输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：第2页/共47页第

2、二页，共47页。3原受控系统原受控系统 ： CxyBuAxx ),(0CBA HyBvu AB uxx Hv Cy 将系统的输出量乘以相应的负反馈系数将系统的输出量乘以相应的负反馈系数(xsh)，馈送到状态微，馈送到状态微分处。分处。输出反馈控制输出反馈控制(kngzh)规律：规律： CxyBvxHCAx)(输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：第3页/共47页第三页，共47页。4 状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应(xingyng)的反馈系数馈的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。送到输入端与参考输人相加

3、，其和作为受控系统的控制输入。5.3 带状态带状态(zhungti)反馈系反馈系统的综合统的综合原受控系统原受控系统 ： DuCxyBuAxx ),(0CBA 线性反馈线性反馈(fnku)规律：规律：Kxvu AB uxx Kv CDy 第4页/共47页第四页，共47页。5)(tuBC)(tyA-x K观观测测器器态态状状 )(tX)(t第5页/共47页第五页，共47页。6如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的量系统的 组合。目的是使一个输入组合。目的是使一个输入(shr)仅控制一个输出仅控制一个输出。mmGGGDBAsIC

4、sUsYsG00)()()()(22111第6页/共47页第六页，共47页。7原受控系统原受控系统 ： CxyBuAxx ),(0CBA HyBvu AB uxx Hv Cy 将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送(ku sn)到状态微分处到状态微分处。输出反馈输出反馈(fnku)控制规律：控制规律： CxyBvxHCAx)(输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：第7页/共47页第七页，共47页。8能观测标准能观测标准II型：型： ),(CBA ),(TTTBCATTTHCA TTTHCA ( () )HCAHCATTTT ),(CB

5、AHCA 100,100010101010TT1210212LLMMLCAAnooaaaa第8页/共47页第八页，共47页。9 11221100100001001000nnhhhhCHAa aa aa aa aLMMML能观测标准型下输出能观测标准型下输出到状态到状态(zhungti)微分微分的反馈系统矩阵：的反馈系统矩阵：反馈后，仍然为能观测标准反馈后，仍然为能观测标准II型。其输出型。其输出(shch)到状态微分到状态微分的反馈系统特征方程为：的反馈系统特征方程为：0)()()()()(0011111 hahahaCHAIfnnnn L由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。由于反

6、馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。引入反馈引入反馈(fnku)阵：阵： TnhhhH110 L：同状态反馈系统的极点配置：同状态反馈系统的极点配置。求求出出反反馈馈阵阵用用H0)()()(* fHCAIf：输出到状态微分的反馈不该变系统能观性，不改变系统的零点。任意输出到状态微分的反馈不该变系统能观性，不改变系统的零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化第9页/共47页第九页，共47页。10原受控系统原受控系统 ： DuCxyBuAxx ),(0CBA Hyvu AB uxx Hv Cy 将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参

7、考将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考(cnko)输人相加，其和作为受控系统的控制输入。输人相加，其和作为受控系统的控制输入。输出反馈输出反馈(fnku)控制规律：控制规律： CxyBvxBHCAx)(输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：第10页/共47页第十页，共47页。11输出反馈增益输出反馈增益(zngy)矩阵：矩阵： rmrrmmhhhhhhhhhHLMMMLL212222111211BBHCAsICsH1)()(W闭环传递函数矩阵闭环传递函数矩阵(j zhn)为：为：当：当HCK时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即时，输出到参考输入的反馈与状态

8、反馈等价。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈。故对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈。故输出到参考输入的反馈不改变系统的能控性。输出到参考输入的反馈不改变系统的能控性。：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，所以输：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，所以输出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反馈差。出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反馈差。第11页/共47页第十一页，共47页。12 状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数(xsh)馈馈送到输入端与参考输人相

9、加，其和作为受控系统的控制输入。送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。一、系统的数学一、系统的数学(shxu)描述描述5.3 带状态带状态(zhungti)反馈系统反馈系统的综合的综合AB uxx Kv CDy 原受控系统原受控系统 ： DuCxyBuAxx ),(0CBA 线性反馈规律：线性反馈规律：Kxvu 第12页/共47页第十二页，共47页。13状态状态(zhungti)反馈闭环系统：反馈闭环系统：反馈反馈(fnku)增益矩阵：增益矩阵：BBKAsICsk1)()(W状态状态(zhungti)反馈闭环传递函数矩阵为：反馈闭环传递函数矩阵为： CxyBvxBKAx)( 一

10、般一般D=0，可化简为：，可化简为：状态反馈闭环系统表示：状态反馈闭环系统表示：0)( BKAI 状态反馈系统的特征方程为：状态反馈系统的特征方程为：nrK 维数是维数是rnrrnnkkkkkkkkkKLMMMLL212222111211DvxDKCyBvxBKAx)()(),(CBBKAk 第13页/共47页第十三页，共47页。14矩阵矩阵 的特征值就是所期望的闭环极点。的特征值就是所期望的闭环极点。),(0CBA ),(0CBA BKA 第14页/共47页第十四页，共47页。15(2)求状态求状态(zhungti)反馈后闭环系统的特征多项式：反馈后闭环系统的特征多项式：(3)根据根据(gn

11、j)给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。项式。(4)由由 确定确定(qudng)反馈矩阵反馈矩阵K：(1)(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。)()(* ff 21nkkkKL* * * * * 011121*)(aaafnnnn LL（)(det)(BKAIf 第15页/共47页第十五页，共47页。16该系统是状态完全能控的，通过状态反馈该系统是状态完全能控的，通过状态反馈(fnku)，可任意进行，可任意进行极点配置。极点配置。试设计状态反馈矩阵试设计状态反馈矩阵(

12、j zhn)K，使闭环系统的极点为，使闭环系统的极点为-2j4和和-10。：（1）先判断该系统的能控性先判断该系统的能控性BuAxx其中：其中：100,651100010BA33161610100M2rankBAABBrankrankMM第16页/共47页第十六页，共47页。17由由 得：得：（4）确定）确定(qudng)K阵阵求得：求得：所以状态反馈所以状态反馈(fnku)矩阵矩阵K为：为：（2）计算）计算(j sun)闭环系统的特征多项式闭环系统的特征多项式设状态反馈增益矩阵为：设状态反馈增益矩阵为：（3）计算期望的特征多项式计算期望的特征多项式321kkkK 122333213211)5

13、()6(6511001100651100010000000|)(kkkkkkkkkBKAIf 2006014)10)(42)(42()(23* jjf)()(* ff 1232001,605,146 kkk8,55,199321 kkk855199 K第17页/共47页第十七页，共47页。18镇定的概念：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环镇定的概念：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点系统极点(jdin)具有负实部，则称该系统是能镇定的。如具有负实部，则称该系统是能镇定的。如果采用状态反馈来实现这种渐近稳定，则称系统是状态反果采用状态反馈来实现这种渐近

14、稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。馈能镇定的。按照能控性分解：按照能控性分解：引入状态反馈后，系统矩阵变为：引入状态反馈后，系统矩阵变为： 22121110AAAARRAcc 011BBRBc 22211211110AkBAkBAKBA第18页/共47页第十八页，共47页。19闭环系统闭环系统(xtng)特征多项式为：特征多项式为：22211111222211211111)(0)()()(AsIkBAsIAsIkBAkBAsIKBAsI 能控部分，总可以通过能控部分，总可以通过(tnggu)状态反馈使之状态反馈使之镇定。镇定。要求渐近稳定要求渐近稳定第19页/共47页第十九页，共47页。20的

15、模拟动力学系统。的模拟动力学系统。第20页/共47页第二十页，共47页。21如果如果 是状态完全能观测的，那么根据输出是状态完全能观测的，那么根据输出y的测量的测量，可以唯一地确定系统的初始状态，可以唯一地确定系统的初始状态 ，而系统任意时刻的状态：，而系统任意时刻的状态：所以只要所以只要(zhyo)满足一定的条件，即可从可测量满足一定的条件，即可从可测量y和和u中把中把x间接重构间接重构出来。出来。0)()()()(00 tdButxttxt 0 xCxyBuAxx ,第21页/共47页第二十一页，共47页。22B x CAyB xCAy eK xx u 0 g第22页/共47页第二十二页，

16、共47页。23 存在性定理：线性定常系统存在性定理：线性定常系统(xt(xtng)ng)不能观测的部不能观测的部分是渐近稳定的。分是渐近稳定的。存在条件存在条件 0)( xxLimt第23页/共47页第二十三页，共47页。24由状态观测器存在性定理，可以由状态观测器存在性定理，可以(ky(ky) )得到以下定理：得到以下定理：定理定理5-65-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为状态有任意逼近速度的充要条件是，原系统为状态完全能观测。完全能观测。第24页/共47页第二十四页，共47页。25能观测能观测(g

17、unc)标准标准II型：型：能观测能观测(gunc)标准型下状态观标准型下状态观测测(gunc)器的器的系统矩阵：系统矩阵： )(1000)(10)(001)(0001322110enneeeekkkkCKAa aa aa aa aLMMMLL与输出到状态微分的反馈与输出到状态微分的反馈(fnku)相似相似。100T,100010001000TT21210212LLMMMLLonooCCAAaaaa第25页/共47页第二十五页，共47页。26(2)确定将原系统化为第二能观测确定将原系统化为第二能观测(gunc)标准型标准型 的变换阵的变换阵 。若给定的状态方程已是能观测标准型，那么若给定的状态

18、方程已是能观测标准型，那么 ，无需转换。，无需转换。 不用求。和即可，然后确定只需求出系统不变量CBoi12T,a(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。0111)(aaaAIfnnn L：系系统统不不变变量量由由此此式式求求出出CCACACAnnnnoMLMML21121211210001Taaaaa12To ),(CBAIo12T第26页/共47页第二十六页，共47页。27(4)直接写出在第二直接写出在第二(d r)能观测标准型下观测器的反馈矩阵：能观测标准型下观测器的反馈矩阵：(5)求未变换求未变换(binhun)

19、前系统状态观测器的反馈前系统状态观测器的反馈矩阵：矩阵：(3)指定的状态指定的状态(zhungti)观测器的特征值，写出期望的特征多项式：观测器的特征值，写出期望的特征多项式：* * * * * 011121*)(aaafnnnn LL（ TnnTeneeeaakkkK11110021 * * * * * a aa aa aa aLL( )eoeoeKKK1122TT第27页/共47页第二十七页，共47页。28(3)写出状态写出状态(zhungti)观测器的期望特征多项观测器的期望特征多项式：式：(2)求观测器的特征求观测器的特征(tzhng)多项式：多项式：(4)由由 确定状态观测器的反馈矩

20、阵：确定状态观测器的反馈矩阵：(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。)()(CKAIfe * * * * * 011121*)(aaafnnnn LL（)()(* ff TeneeekkkKL21 第28页/共47页第二十八页，共47页。29在在n个状态中，个状态中，m个状态可直接测量得到，其余个状态可直接测量得到，其余n-m个状态需要个状态需要(xyo)借助观借助观测器进行重构，为建立观测器，先求这部分的状态空间描述。测器进行重构，为建立观测器，先求这部分的状态空间描述。二、降维观测器二、降维观测器0)()(0)(0

21、 tdBuexetxttAAt 第29页/共47页第二十九页，共47页。30则存在则存在(cnzi)非奇异变换：非奇异变换：xTx 则：则： 21212122211211210 xxIyuBBxxAAAAxxmmn 2111211200CCITCCCITT为：为：变换阵变换阵则：则：uBxAxAxuBxAxAx2222121212121111 vmnxyu维向量维向量引入引入可以直接测量得到，故可以直接测量得到，故是已知的输入，是已知的输入，其中，其中， 2uByAuBxAv1121212 vxAx 1111第30页/共47页第三十页，共47页。31对对(1)式设计全维状态观测器：式设计全维状

22、态观测器：1 1x11Az 1H 1xv 0 g21Az 11A21A11 x1 x121xAz 令令）（为输出的状态描述：为输出的状态描述：为状态向量，以为状态向量，以维向量维向量则得到以则得到以112111111 xAzvxAxzxmn第31页/共47页第三十一页，共47页。32含有含有y的导数的导数(do sh)项，需要消去：项，需要消去：消掉消掉z和和v：仿照仿照(fngzho)全维状态观测器的设计，由图写出降维观测器方程：全维状态观测器的设计，由图写出降维观测器方程：zHvxAHAx11211111)( )2()()()()()()(2221112121111222221112121

23、1111uByAyHuByAxAHAuBxAxHuByAxAHAx yHxww11 ，且，且令观测器的状态向量为令观测器的状态向量为 uBHByAHAHAHAwAHAyHxw)()()()(211221121211112111111 量量由观测器重构的状态向由观测器重构的状态向 yHwx11第32页/共47页第三十二页，共47页。33则误差则误差(wch)方方程为：程为：降维状态降维状态(zhungti)观测器的特征多项观测器的特征多项式为：式为：| )(|)(21111AHAIf 态。态。使估计使估计(gj)(gj)状态逼近系统状状态逼近系统状达到满意的衰减速度，达到满意的衰减速度，使误差使

24、误差e得到任意配置。得到任意配置。，从而使观测器的极点，从而使观测器的极点选择选择所以，可以通过合理地所以，可以通过合理地1HeAHAxxAHAxxexxe)()(2111111211111111 x1yIHwIyyHwyxxxxmmn 1112110为：为：整个系统的状态整个系统的状态。维观测器中的反馈矩阵维观测器中的反馈矩阵为为维列向量，维列向量，为为其中：其中：mmnHmnw )(1第33页/共47页第三十三页，共47页。34(5)：由下式设计：由下式设计(shj)降维状态观测器：降维状态观测器：(1)：求非奇异变换阵：求非奇异变换阵T，对系统进行，对系统进行(jnxng)结构分解。结构

25、分解。(2)：确定降维观测器的期望多项式：确定降维观测器的期望多项式：(3)：求降维观测器的特征多项式：求降维观测器的特征多项式：(4)：由：由)(* f| )(|)(21111AHAIf 1*)()(Hff，求出，求出 uBHByAHAHAHAwAHAw)()()()(2112211212111121111 yHwx11 第34页/共47页第三十四页，共47页。35如图如图5-18所示。所示。第35页/共47页第三十五页，共47页。36加入反馈控制加入反馈控制(kngzh)规律：规律：状态反馈状态反馈(fnku)部分的状态方程：部分的状态方程：观测器部分观测器部分的状态方程：的状态方程：原系

26、统状态空间描述为：原系统状态空间描述为： )1(0, xxCyvBBxxCKBKACKBKAxxee带有观测器的状态反馈组合系统带有观测器的状态反馈组合系统的状态空间描述为：的状态空间描述为：维数维数2n为方便求式（为方便求式（1）特征多项式，特作如下线性非奇异变换：）特征多项式，特作如下线性非奇异变换：CxyBuAxx ,xKvu CxyBvxBKAxxKvBAxBuAxx ,) (BvCxKxCKBKAxKvByKxCKAxeeee )() ()(第36页/共47页第三十六页，共47页。37xxx 状态估计误差为：状态估计误差为：则经过则经过(jnggu)非奇异变换后的状态空间描述为：非奇

27、异变换后的状态空间描述为： )2(0,00 xxCyvBxxCKABKBKAxxe非奇异变换不改变系统非奇异变换不改变系统(xtng)的传递函数阵、特征值和特征多项式。的传递函数阵、特征值和特征多项式。 xxIIIxxxxxxxnnn0组成的状态方程为：组成的状态方程为：和和则：由则：由 nnnnnnIIIPIII0P0PP1，则，则为：为：令非奇异变换阵令非奇异变换阵第37页/共47页第三十七页，共47页。381：组合系统的传递函数和状态反馈部分的传递函数完全相：组合系统的传递函数和状态反馈部分的传递函数完全相同，与观测器部分无关，用观测器的估计状态进行反馈同，与观测器部分无关，用观测器的估

28、计状态进行反馈，不影响系统的输入输出特性。，不影响系统的输入输出特性。2：特征值由状态反馈和观测器两部分组成，相互独立，不：特征值由状态反馈和观测器两部分组成，相互独立，不受影响。所以，只要系统能控和能观测，则状态反馈矩受影响。所以，只要系统能控和能观测，则状态反馈矩阵阵K和状态观测器的反馈矩阵和状态观测器的反馈矩阵Ke可以单独设计。可以单独设计。分离特分离特性性 )(det)(det)(0)()(CKAIBKAICKAIBKBKAIAIfee BBKAsICBCKAsIBKBKAsICBAsICsGe11)(0)(0)(0)()( 第38页/共47页第三十八页，共47页。39 方法方法(fn

29、gf)：前馈补偿器解耦；状态反馈解耦。：前馈补偿器解耦；状态反馈解耦。如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个(du )互不相关互不相关的单变量系统的的单变量系统的 组合。目的是使一个输入仅控制一个输出组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。：使传递函数阵为一个对角线矩阵。：使传递函数阵为一个对角线矩阵。mmDBAsICsUsYsW0W0W)()()()(W22111第39页/共47页第三十九页，共47页。40)(W srmyyyM21)(WspmuuuM21 方法：在需要进行解耦的系统前串联方法：在需要进行解耦的系统前串联(chunlin)一个补偿器，来一个补偿

30、器，来实现解耦。实现解耦。第40页/共47页第四十页，共47页。41有一个有一个(y )MIMO系统结构如图，求补偿器的传递函数阵系统结构如图，求补偿器的传递函数阵 ，使闭环系统的传递函数为以下的解耦形式：，使闭环系统的传递函数为以下的解耦形式：) 15/(100) 1/(1)(WsssB)(W sc第41页/共47页第四十一页，共47页。42：系统系统(xtng)结构图简化为：结构图简化为：由组合由组合(zh)系统的传递函数知道系统为串联反馈混合系统，其中：系统的传递函数知道系统为串联反馈混合系统，其中：IsHsssscccccp1001)(,WWWW)(W,) 1/(110) 12/(1)(W22211211)(W)(W)(W)(W)(W)(W)()(W)(W)(W11ssssIsssHssIscpcpcpcpB由反馈联结由反馈联结(linji)的组