高考数学圆锥曲线重难点专题训练专题14抛物线中的定点、定值、定直线问题（含答案）

1、专题14 抛物线中的定点、定值、定直线问题一、单选题1已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，与分别交于，则直线过定点（ ）ABCD2已知直线与抛物线交于不同的两点，直线，的斜率分别为，且，则直线恒过定点（ ）ABCD3已知曲线：，过它的焦点作直线交曲线于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，可证明是一个定值，则（ ）AB1C2D4已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是（ ）A1B2C3D45抛物线x22y与过点P(0，1)的直线l交于A，B两点，如果OA与OB的斜率之和为1，则直线l的方程是()AY=x1BY=x1CY=x1DY=x16设点为抛

2、物线的焦点，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线（点在第一象限），则对角线所在的直线方程为ABCD7已知动点，关于坐标原点对称，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（ ）ABCD8已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（ ）ABCD二、多选题9抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）A直线恒过定点BCD若于点，则点的轨迹是圆10已知抛物线方程为，直线，点为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为AB，则以下选项正确的是（ ）A当时，直线方程为B直线过定点C中点轨迹为抛物线D的面

3、积的最小值为11已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（ ）A没有最大值也没有最小值BCDE.若直线l的倾斜角为，则12已知点在拋物线的准线上，是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）A拋物线方程为B直线的方程为CD三、填空题13经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线_上（写出此直线的方程）14已知点P为直线l：x2上任意一点，过点P作抛物线y22px(p0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2为定值，则该定值为_15过抛物线上一点P(

4、4，4)作两条直线PA，PB，且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点_.16已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为_四、解答题17在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离比到x轴的距离大1.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点作斜率为的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且.证明：直线恒过定点.18设抛物线的焦点为，过且斜率k的直线与交于A，D两点，.（1）求；（2）若在上，过点作的弦，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标.19已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.（1）求C的方程.（2）若直线与C交于M，N两点，且

5、与相交于点T，证明：点T在定直线上.20已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1.（1）求曲线的方程；（2）过作斜率为的直线交曲线于两点；若，求直线的方程；过两点分别作曲线的切线，求证：的交点恒在一条定直线上.21在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22已知抛物线的焦点为点在上， （1）求;（2）过作两条互相

6、垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由专题14 抛物线中的定点、定值、定直线问题一、单选题1已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，与分别交于，则直线过定点（ ）ABCD【解析】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，解得：，则抛物线的方程为，由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，即，设，则，解得：或；又与坐标原点不重合，当时，直线恒过定点.故选：A.2已知直线与抛物线交于不同的两点，直线，的斜率分别为，且，则直线恒过定点（ ）ABCD【解析】设直线为,联立,消去可得,设,所以,因为,即,所以,所以,所以,所以直

7、线一定过点,故选:C3已知曲线：，过它的焦点作直线交曲线于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，可证明是一个定值，则（ ）AB1C2D【解析】设过焦点的直线方程为，代入整理得. 设，则，设的中点为，则，所以，弦的垂直平分线方程为，令得，所以，又，显然，即.故选：A.4已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是（ ）A1B2C3D4【解析】设直线的方程为（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程得，此值与的取值无关，则，即故选：A5抛物线x22y与过点P(0，1)的直线l交于A，B两点，如果OA与OB的斜率之和为1，则直线l的方程是()Ay=x1By=x1Cy=x1Dy=x1【解析

8、】由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为联立直线与抛物线，可得，和的斜率之和为，即，直线的方程为，故选C.6设点为抛物线的焦点，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线（点在第一象限），则对角线所在的直线方程为ABCD【解析】如图所示，设点的坐标为，则，所以，点的坐标为.所以线段的中点的坐标为.设，.有，且.所以，所以，所以.对角线所在的直线方程为，即.故选：B.7已知动点，关于坐标原点对称，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（ ）ABCD【解析】设，因为点关于坐标原点对称，所以是线段的中点，又因为以为圆心的圆过两点，所以有，因此有，因为点关于坐标原点对称，所以.

9、又因为以为圆心的圆与直线相切，所以有，把、代入中，得：，化简得：，因此点的轨迹是抛物线，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，由抛物线的定义可知：，所以有，由题意可知存在定点，使得当运动时，为定值，因此一定有，此时定点是该抛物线的焦点.故选：B.8已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（ ）ABCD【解析】当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点在抛物线上，所以设，所以，解得或又因为两点位于轴的两侧，所以联立得，所以，即，所以直线的方程为，所以直线一定过点故选：A二、多选题9抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两

10、点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）A直线恒过定点BCD若于点，则点的轨迹是圆【解析】由题意，若，则，即，又联立直线与抛物线有，则，而，即，故过定点，A正确；若，由：，可得，则；由：，可得，则；，而且，故，B正确；，C错误；在直线上，又过定点且，故在以为直径的圆上，D正确；故选：ABD10已知抛物线方程为，直线，点为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为AB，则以下选项正确的是（ ）A当时，直线方程为B直线过定点C中点轨迹为抛物线D的面积的最小值为【解析】，设，则，即，同理，都过点，直线，即，当时，.故A正确；，直线过定点，故B错误；联立，消去得，中点坐标为，故其

11、轨迹方程为，故C正确；，当时，故D正确；故选：ACD11已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（ ）A没有最大值也没有最小值 BC D【解析】由题意知，直线AB的斜率不可能为0，故可设其方程为，联立，消去x，得，即选项C正确；由抛物线的定义知，即选项B正确；，有最小值，即选项A错误；又，即选项D正确；故选：BCD.12已知点在拋物线的准线上，是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）A拋物线方程为B直线的方程为CD【解析】因为点在抛物线的准线上，所以，抛物线的方程为，故A错误.设，则抛物线在，两点处的切线方程分别为，根

12、据，化简可得，同理可得，因为两直线均过点，所以，则点，均在直线上，所以直线的方程为，即，故B正确.联立直线与拋物线的方程得得，所以，所以，所以，故C正确.又，所以，所以，所以.故选：BCD.三、填空题13经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线_上（写出此直线的方程）【解析】抛物线中，焦点为，设直线方程为，代入抛物线整理得，设，则，由得，过点切线斜率为，切线方程为，即，同理过点切线方程为，两式相除得，整理得，解得，所以点在准线上故答案为：14已知点P为直线l：x2上任意一点，过点P作抛物线y22px(p0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，

13、B(x2，y2)，若x1x2为定值，则该定值为_【解析】设过A(x1，y1)的切线方程为xmymy1x1由得y22pmy2pmy12px10，4p2m24×2p(my1x1)0，解得m因此切线方程为y1ypxpx1，同理，过B(x2，y2)的切线方程为y2ypxpx2，又两切线的交点P在直线l：x2上，故设P(2，t)，则消去t得从而，化简得(x1x24)(x2x1)0，又x2x1不恒为0，故x1x240恒成立故x1x2为定值415过抛物线上一点P(4，4)作两条直线PA，PB，且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点_.【解析】设A，B，则kPA=，同理，kPB=，kAB=.因

14、为kPA·kPB=4，所以·=4，所以y1y2+4(y1+y2)+12=0.所以y1y2=-12-4(y1+y2).直线AB的方程为y-y1=，即(y1+y2)y-y1y2=4x.将y1y2=-12 -4(y1+y2)代入上式得:(y1+y2)(y+4)=4(x-3)，所以直线AB恒过定点(3,-4).16已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为_【解析】由题设，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，将它们联立抛物线方程，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，有，.四、解答题17在平面直

15、角坐标系中，已知动点到定点的距离比到x轴的距离大1.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点作斜率为的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且.证明：直线恒过定点.【解析】（1）解：由题意可知：，化简可得曲线.（2）证明：由题意可知，是曲线上的点，设，则，联立直线的方程与抛物线C的方程，解得，同理可得，而，又，由整理可得，故直线恒过定点.18设抛物线的焦点为，过且斜率k的直线与交于A，D两点，.（1）求；（2）若在上，过点作的弦，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）由题意得，的方程为，设，由，得，故，所以，解得(舍)，.（2）因为在上，所以，设直线的方程为，.联立，得，由得

16、，.因为，所以.所以，又因为，所以，所以或，所以或.因为恒成立，所以，所以直线的方程，所以直线过定点.19已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.（1）求C的方程.（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.【解析】（1）解：设，由，得，则，从而，解得，故的方程为.（2）证明：设，.因为，所以.根据得，则，同理得.又两式相加得，即，由于，所以.故点在定直线上.20已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1.（1）求曲线的方程；（2）过作斜率为的直线交曲线于两点；若，求直线的方程；过两点分别作曲线的切线，求证：的交点恒在一条定直线上.【解析】（1）设曲线上的点，由

17、题可知到的距离与到直线的距离相等，所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，的方程为：.（2）设：过的斜率为的直线方程为：，由消可得.令，由题可知：若，即，即得，消去，得：，所求直线的方程为：.证明由题知：，令，设与相交于点.方程为：，方程为：，相减得：，代入相加得：，的交点恒在一条定直线上.21在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）连接，则，则根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线则点的轨迹的方程为（2）设直线的方程为，联立,整理得，直线的方程为，同理：直线的方程为，令得，设中点的坐标为，则，所以圆的半径为所以为直径的圆的方程为展开可得，令，可得，解得或所以以为直径的圆经过定点和22已知