雷达通信仿真

1、我们考虑一种双功能 MIMO雷达通信系统，该系统同时向目标传输雷达探测波形和向下行 用户传输通信符号。联合系统采用N根天线的均匀线性阵列（ULA）,为K个单天线用户服务, 同时探测雷达目标。如下图所示UE 1 UE 2RatICom Base StationA:通信模型下行链路用户接收到的符号矩阵可表示为：Y =HX W其中：H =h，儿，"T w|_ K对为信道矩阵，X=Li, X2，Xl k|JN乩是发射信号矩阵，L是通信帧的长度，W=w1,正,，wL w|_1K乩是噪声矩阵， w j CN （0,N01 N ）,Vj根据25,我们基于以下假设：1）发射信号矩阵X被用作雷达和通信

2、操作的双功能波形。在这种情况下，每个通信符号也是雷达脉冲的快照；2）下行信道H为平坦瑞利衰落，单帧/雷达脉冲保持不变；3）假设彳t道H由导频符号完美估计。给定所需星座符号矩阵S W 中对于下行用户，接收到的信号可以重写为Y = S +/HX -S） +WMU I对于每个用户，S的条目被认为是来自相同的星座。（2）中的第二项表示 MUI信号。总MUI能量可测量为：PMui = IlHX -S 晅在27中已经证明了（3）中的MUI能量直接链接到下行用户的可达和速率。对于第 i个用户， 每帧的信噪比为27:2E«W,j|）v =1T2E（ hTxj-S,j ）+N0_一YMUI energ

3、y其中s,j表示S的第（i, j）项，E表示相对于时间指标的 总体平均值。由此可得用户的可达K总和率为：R = %，log2 1 i i 122对于给定的具有固定能量的星座，有用信号的功率ES" 也是固定的。因此，和速率可以通过最小化MUI能量来最大化。B雷达模型众所周知，MIMO雷达采用非相关波形，比传统相控阵雷达35、36具有更高的自由度（DoFs）。已有的文献表明，这种波束模式的设计等价于探测信号的协方差矩阵的设计，其中可以采用凸优化。我们建议读者参考3638以获得关于这个主题的更多细节。这里我们重点设计了双功能波形矩阵X,它具有以下空间协方差矩阵：RX iXXX HL为了 R

4、x保证是正定的，我们假设LAN。此外，雷达系统的发射波束模式可以表示为：R（e）=aHRxa（日），其中表示探测角度e , aH （6）二一12地sin田，ej2JT（N）凝由T是发射天线阵的方向矢量 是相邻天线之间的间距（按波长归一化）。在下面，我们将阐述在MIMO特定的雷达约束下最小化Pmui的优化问题III给生了雷达波束模式的闭环解在本节中，我们首先考虑全向波束设计，它通常用于 MIMO雷达的初始探测。然后，我们考虑 指向感兴趣方向的定向波束模式设计。A全向波束模式设计对于一个全向波束， 发射的波形矩阵 X必须是正交的，即，相应的协方差矩阵必须是单位矩阵。为了最小化 MUI能量，优化问题

5、表示为：minx IlHX -S lF1 hPT（8）s.t. XX H = T INLN N其中P是总传输功率，I n是单位矩阵，由于等式约束，问题（8）显然是非凸的，这表明X是Stiefel流形上的一个点。 幸运的是，已经证明了（8）可以归为所谓的正交匹配追踪（OPP）,它有一个简单的基于奇异值分解（SVD）的封闭形式的全局解，其表达式为39:其中UN H =H H S是H HS的奇异值分解（SVD）, U W|_ N'N和V W|_ L*作为酉矩阵，I n也是NmL的矩形矩阵，由 NmN的单位矩阵和 Nx（LN）矩阵构成。B.定向波束设计给出一个协方差矩阵 Rd相当于一个理想的

6、MIMO雷达波束 MUI最小化问题如下所示:minX IlHX -S IF1 H（10）st XX H = RdL其中是理想的Hermitian positive semidefinite covariance matrix （厄米特正半定协方差矩阵）tr（Rd ）= PT ,我们考虑它的（Choleskydecomposition ）切列斯基分解:Rd =FF H其中F w|_Na是一个下三角矩阵，我们假设Rd是正定的以保证 F是非负的。因此，（10）中的 1约束可以等价地写成： -F XX H F = I N。 L表示X = J1 F A X ,问题（10）可以重新表述为:IIVlHF X

7、 -S F（13）s.t.XXH=I NHH这又是一个OPP问题，其全局最优解由 X=UIN>L V 得到。U SV =F H H H S是F H H H S的奇异值分解，原问题（10）的解为X = JLFUI N>LV H oIV雷达与通信的性能权衡需要强调的是，问题（8）和（10）都实施了严格的等式约束，在这种情况下，雷达性能保证是最优的，而通信方面可能会遭受严重的性能损失。这在通信信道的协方差矩阵病态的情况下尤其明显，在 这种情况下得到的 MUI最小值仍然很高。因此，我们考虑一个折衷的设计，允许在设计的和期望的雷达波束模式之间有一个可容忍范围内的不匹配。A问题表述我们先表示由

8、式（8）或式（10）得到的最彳t解为 X 0 ,给定X 0 ,权衡问题可以表述为min X P IlHX -S-2 二 IIX1 L XLSIF -(i-；?) x -xo f(16)其中0Mp M1是一个权衡因子，确定双功能系统中雷达和通信性能的权重。为了（16）与前两个问题之间的一致性，我们（16）中对功率预算实施了一个等式约束，因为在实际应用中，通常 需要雷达以其最大可用功率进行传输。|注意，两个Frobenius norms （二次范数形式）在目标函数中可以合并为形式：P IlHX -S IF 好-P）|X -X0r=#H T, IN T X - /ST ,7X0T让我们表示A=四Tn

9、T 3（瞬，b = WsT，VTT75XTT U（Ki,问题（16）可以简写为：minX IIAX -B F 。（18）s.t. IIX F = LPT这是一种非凸 QCQP （二次规划二次约束），并利用SDR技术将其转化为半定规划 （SDP）。由于 SDR只有一个二次约束，根据 40、41可知，SDR是紧（tight）的，即， SDR的解为rank-1 解，可以得到（18）的全局最优解。然而，由于问题中的变量数量较多，SDR的计算效率一般不高。因此，我们提出了一个低复杂度的算法，以达到全局最优B.低复杂度算法我们进一步展开(18)的目标函数：II AX -B =tr( AX -B )H (A

10、X -B) ) = tr(X H A H AX )-tr (X H A H B ) tr(BH AX )+tr( B H B)定义Q=AH A , G=AH B，问题(18)可以重写为：minx tr X HQX -2Re tr X HGs.t. IIX IF = LPT因为Q是Hermitian matrix （厄密矩阵），问题（20）可以看作是可彳t域子问题（TRS）的矩阵版本,其强对偶性为42,即，对偶间隙为零。我们把拉格朗日乘子表示为：L(X,Z) =tr(XHQX )2Re(tr(X HG ) +Z( IIX F -LPT )其中九是与约束条件相关的对偶变量（拉格朗日乘子）。让X0P

11、t和pt表示零对偶间隙的原始最优值和最优的对偶点，上述 TRS的最优性条件为43:（分别对X，九求导可以得到）L X opt,' opt =2 Q opt I N X opt - 2G = 0(22a)|x opt|：=LPT (22b)Q + kpt I N ± 0 (22c)其中（22b）和（22c）分别保证了原可行性和对偶可行性。由 （22a）可知Xopt = (Q+ 儿optI N)G (23)其中表示广义矩阵求逆（ Moore-Penrose pseudoinverse）,根据（22b）和（22c）我们有:?2)G F,opt - , Amin=V( A+hptI

12、NV H g| 2 =LPt(24)其中Q =VAV H是Q的特征值分解，V和A是分别包含特征向量和特征值的正交矩阵和对角矩阵。儿是Q的最小特征值。2 V H G i,j我们可以进一步证明，方程 （24）存在唯一解。让我们定义:12 N LPS) = V( A十九I N ) V HG =zz F i d j d其中入是Q的第i个特征值，可以看出P（Z）在区间九之一儿旧是严格递减和凸的。也就是说 Apt可以通过线搜索方法例如：黄金分割搜索 44得到。由于特征值分解在每次迭代中，我们只需要 计算一个对角矩阵的求逆。一旦获得最优九，（16）的最佳的解可以通过计算（23）得到。为了清晰起见，我们在算法

13、1中总结了上述方法：*算法1:输入：H,S,x 0,权重因子P, Pt输出：全局最小值X top重复以下4个步骤1 .根据相应的定义计算A,B,Q,G2 .计算Q的特征值分解，给定搜索空间-，En,b，b是一个大于或者等于0的数，是一个搜索上界。3 .使用黄金搜索法找到（24）的最优pt?4 .最后彳4到 Xopt = （Q+ 九optI N ） G*仿真结果：在本节中，我们提供数值结果来验证所提出的波形设计方法的有效性。为了方便，我们设置了 PT =1 ,以及通道矩阵 H的每个元素服从标准复高斯分布即：hi,j CN (0,1)。在所有的模拟中，我们设置 N = 16 ,并在相邻天线之间使用

14、半波长间距的ULA o为通信用户选择的星座是单位功率的QPSK字母表，即，符号矩阵 S中每一项的功率是 1。A.给定雷达波束模式的双功能波形设计我们首先在图3和图4中分别展示了不同方法获得的通信和速率以及相关的雷达波束模式，我们定义SNR =巳/N0。利用“Omni'、 "Directional和“Z城示基于问题(8)和(10)的全向波束设计、方向波束设计和强迫零编码。ia1B141210fl6Zero MLN681012Tanismit SNR (dSl* Omm-Sfrint书-n(rf»Giiorvil-Slnc1Orrnl-TiradMfr.3 Direct

15、orial-Tradeoff,r=0.1-e-ZFd216 <4Onni'SrTKa6 4 2 口 4-4-6-8o -fnrw-TiariwnR. ? 0 1- nftrhcrw kTrfl ip-.-l yt = 0 1F喀，3. Sunvmlcliir dillcivnl appnxxbeL A = 16. K 1.滁 4, Rad indillerenl appnochef. N - Ui, K进一步我们表示严格的等式约束（8）和（10）下的波形设计，权衡设计（16）分别为Strict”和Tradeoff"。通信帧/雷达脉冲的长度设为L = 20。在定向波束设计

16、中，我们考虑了三个感兴趣的目标-n/3,0,n/3 ,并利用经典的最小二乘技术38得到（10）中定义的期望的协方差矩阵Rd ,从图3可以看出，尽管这两种严格的波形设计的计算成本与我们在第三节中讨论的相同，但其性能明显优于仅限通信的零强迫预编码。合成的雷达波束图如图4所示，与期望的波束图完全一致。此外，通过引入一个小的权重因子p = 0.1到通信、权衡设计显著增加的sum-rates 接近MUI的情况下，即，AWGN能力。同时，在图 4中，对应的雷达波束模式只有轻微的性能损失。在图5和图6中，我们的目标是明确地显示通信和雷达性能之间的权衡。对于全向波束设计，检测概率PD作为度量，我们考虑到恒虚警

17、率（CFAR）检测点状目标远场，位于角度为 n/ 5。接收信噪比固定在 _6dB ,雷达的误报概率为 PFA =10工，在基础上计算了检测概率PD:PD =1 一 FxC Fx： 1 -PFAF 2八是具有2个自由度非中心卡方累积分布函数（CDF） , F；2为2自由度卡方 CDF的反函数X2（ .）X2（检测概率这里可以不用仿真）可以看出，通信速率与雷达探测性能之间存在权衡关系。对于固定PD,通信速率随用户数量的减少而增加，说明了 MUI能量，可以通过增加 DOF（天线数量）来进一步最小化。同样的趋势出现在图6的定向波束图中，我们使用期望的和获得的定向波束图之间的均方误差（MSE）作为雷达度量。这两个数字都证明了我们的方法可以在雷达和通信之间实现良好的权衡。Directional Design 105 05-10-15-201.522.533,5Average Achievable Rate (bps/Hz/user)Fig. 6. Tiadc-tiT of tlic auhituhlc rite per usa mid I he averuc