王淑华固体答案五学习教案

1、会计学1王淑华固体王淑华固体(gt)答案五答案五第一页，共75页。 xeaxkiknak 由此得由此得（1） xasinaxasin xasinexasin1iknan 于是于是(ysh) nikna1e 因此因此(ync)得得 n12skna 所以所以(suy) 0,1,2.s a12sk 第2页/共75页第二页，共75页。（2） axcosexaicosaxaicosikna 即即 niknaie 得得n232skna 所以所以(suy) 0,1,2.s a232sk 第3页/共75页第三页，共75页。（3） llka1lxflaaxfax令令1ll 得得 xexalxfaxkiknakl

2、k 由上知由上知1eikna 可知可知(k zh)2skna 所以所以(suy) 2.1,n 0,1,2.s na2sk 第4页/共75页第四页，共75页。5.2 5.2 电子在周期场中得势能电子在周期场中得势能 0naxbm21xV222bnaxbna 当当 bnaxba1-n 当当且且4b,a 是常数。是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：解：Oa2a3axV(x)如图所示，由于势能具有如图所示，由于势能具有(jyu)周期性，因此只在一个周期内求平均周期性，因此只在一个周期内求平均第5页/共75页第五页，共75页。即可，即可，于是于是(ys

3、h)得得 dxxV4b1dxxVa1V2b2b2a2a dxxbm214b1222bb bb322x31xb8bm 22bm61 第6页/共75页第六页，共75页。5.3 用近自由电子模型用近自由电子模型(mxng)求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度宽度(kund)。解：解：在布里渊区边界上，电子的能量在布里渊区边界上，电子的能量(nngling)出现禁带，禁带宽度的表示出现禁带，禁带宽度的表示式为式为ngV2E 其中其中nV是周期势场是周期势场V(x)付里叶级数的系数，付里叶级数的系数， dxexVa1Vnxa2i2a2an 求得。求得。第一禁带宽度

4、为第一禁带宽度为 dxexVa12V2Exa2i2a2a1g1 该系数可由式该系数可由式第7页/共75页第七页，共75页。 dxexb2m4b12xa2ibb222 322bb222b8mdxx2bcosxb2m4b12 第二第二(d r)禁带宽度为禁带宽度为 dxexVa12V2Exa4i2a2a2g2 dxexb2m4b12xbibb222 222bb222bmdxxbcosxb2m4b12 第8页/共75页第八页，共75页。5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带态电子的能带 2akcos2akcos2akcos8JAEkEzyxats并求能带宽度。

5、并求能带宽度。解：解：用紧束缚方法用紧束缚方法(fngf)处理晶格的处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，的相互作用时， 是最近邻格矢是最近邻格矢nRk inatsR,eJAEkEn 对体心对体心(t xn)立方晶格，取参考格点的坐标为（立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0），），则则8个个最近最近(zujn)邻格点的坐标为邻格点的坐标为 2a,2a,2a其能带的表示式为其能带的表示式为第9页/共75页第九页，共75页。将上述将上述(shngsh)8组坐标代入能带的表示式，得组坐标代入能带的表示式，得 nRk inatseJAEkE zyx2aizy

6、x2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aiatskkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkeJAE第10页/共75页第十页，共75页。 2akcose2akcose2akcose2akcose2JAEzkk2aizkk2aizkk2aizkk2aiatsyxyxyxyx 2akcos2akcosee4JAEzyk2aik2aiatsxx2akcos2akcos2ak8JcosAEzyxats 由余弦函数由余弦函数(hnsh)的性质，用观察法即可断定，的性质，用观察法即可断定，当当0kkkzyx 时，时，能带中的能量能带中的能量(nngl

7、ing)取最小值取最小值第11页/共75页第十一页，共75页。8JAEE0min 当当a1k,a1k,a1kzyx 时，时，能量能量(nngling)取最大值取最大值8JAEE0max 因而因而(yn r)能带的宽度为能带的宽度为16JEEEminmax 第12页/共75页第十二页，共75页。5.5由由N格原子组成的三维晶体（简单晶格格原子组成的三维晶体（简单晶格),其孤立原子中的其孤立原子中的 ,e1xxat 为正的常数。为正的常数。（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；（2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有

8、布洛赫波函数（3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及电子基态波函数为电子基态波函数为的性质；的性质；能量的特征。能量的特征。解：解：（1）按紧束缚近似）按紧束缚近似(jn s)，三维晶体电子的波函数为，三维晶体电子的波函数为 latRk iRatRkeN1r , kll 第13页/共75页第十三页，共75页。一维晶体情况下，晶格常数一维晶体情况下，晶格常数a，naRl 所以所以(suy) naxeN1x, katnak in 又又 xate1x 得得 naxnak ineeN1x, k （2）按正交化平面波方法按正交化平面波方法(fn

9、gf)，三维晶体电子的波函数为，三维晶体电子的波函数为第14页/共75页第十四页，共75页。 reN1xiikkj,ijM1jrkki deRr1liiRrkkilatjkk ,kij latjRk ilk jRreN1l 对于一维晶体情况下，晶格常数对于一维晶体情况下，晶格常数a，naRl ，a xeNa1xiikkj,ijM1jxkki dxenaxa1naxkkiaatjkk ,kijii 第15页/共75页第十五页，共75页。此处此处 xate1x dxeea1naxan2kianaxkk ,kiji naxiknanjkeeN1 若只取一项，则若只取一项，则 nnaxeiknaedx

10、naxikeanaxeNa1ikxeNa10 x第16页/共75页第十六页，共75页。5.6 一矩形晶格，原胞边长一矩形晶格，原胞边长 ma10102 ， mb10104 （1）画出倒格子图；）画出倒格子图；（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区；第二布里渊区；（3）画出自由电子的费密面。）画出自由电子的费密面。(设每个原胞有两个电子。）设每个原胞有两个电子。）解：解：jAjbbiAiaa0042 倒格子倒格子(g zi)基矢为基矢为jAbiAaoo4121* (1)因为因为(yn wi)第17页/共75页第十七页，共75页

11、。以以*,ba如图如图6-11所示所示,图中图中“。”代表倒格点。由图可见，代表倒格点。由图可见，矩形矩形(jxng)晶格的倒格子也是晶格的倒格子也是矩形矩形(jxng)格子。格子。为基矢构成为基矢构成(guchng)的倒格子的倒格子第一区第一区第二区第二区xkyk a bo1A2A3A4A1B2B3B4B第18页/共75页第十八页，共75页。（2）其结果其结果(ji gu)如图所示。如图所示。iA、次近邻、次近邻 iB的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图如上图)，这，这是布里渊区的广延图。是布里渊区的广延图。取任意倒格点取任意倒格点o作为原点，

12、由原点至其最近邻作为原点，由原点至其最近邻如采用简约形式如采用简约形式(xngsh)，将第二区移入第一区，将第二区移入第一区，xkyk第19页/共75页第十九页，共75页。（3）简约简约(jinyu)布里渊区的面积布里渊区的面积 便有便有2N个状态个状态(zhungti)。2*)(81oAbaA 而状态而状态(zhungti)密度密度2*)(162)(oANANkg 当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为 201622FkkNkdkkgNF 设晶体共有设晶体共有N个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中第20页/共75页

13、第二十页，共75页。所以所以(suy)11112/11022 . 081 mAkoF 这就是费米这就是费米(fi m)圆的圆的半径，据此做出半径，据此做出费米费米(fi m)圆如图所示。圆如图所示。xkykoFk第21页/共75页第二十一页，共75页。5.7 有一平面有一平面(pngmin)正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为a（见图），试画出此晶体的第一（见图），试画出此晶体的第一(dy)、第二、第三布里渊区。若、第二、第三布里渊区。若每个原胞有每个原胞有2个电子试画出其费米个电子试画出其费米(fi m)圆周。圆周。解：解：如图所示，平面六角晶格如

14、图所示，平面六角晶格1a2aoxya取六角形的中心为坐标原点，取六角形的中心为坐标原点，原胞也如图中画出。原胞也如图中画出。每个原胞中包含有两个原子。每个原胞中包含有两个原子。是一个复式格子。是一个复式格子。基矢基矢可由下式给出可由下式给出21a,a第22页/共75页第二十二页，共75页。 j a23i a23aj a23i a23a21，可得到，可得到(d do)倒格基矢倒格基矢 j a23i a232aa2bj a23i a232aa2b132321在二维晶格在二维晶格(jn )下，取下，取ka3 其中其中(qzhng)由由 2321a233aaa 给出。给出。第23页/共75页第二十三页

15、，共75页。所以所以(suy) j31i33a2bj31i33a2b21根据根据(gnj)倒格基矢就可以倒格基矢就可以画出个倒格点，从而画出个倒格点，从而画出布里渊区如图。画出布里渊区如图。当每个原子有当每个原子有2个电子个电子(dinz)时，则二维晶格的价时，则二维晶格的价电子电子(dinz)面密度为面密度为1b2b第24页/共75页第二十四页，共75页。可算出费米可算出费米(fi m)圆的半径圆的半径a3.1a3316n2k2F 由此可以由此可以(ky)画出自由电子的画出自由电子的费米圆，如图中的所示。费米圆，如图中的所示。2Ca338A4n 考虑周期势场的微扰，对自由电子的费米圆作两点修

16、正：（考虑周期势场的微扰，对自由电子的费米圆作两点修正：（1）在布里渊区的边界线处发生分裂。（）在布里渊区的边界线处发生分裂。（2）费米圆与布里渊区边界线间的交角进行）费米圆与布里渊区边界线间的交角进行(jnxng)钝化。钝化。1b2b第25页/共75页第二十五页，共75页。5.8 平面正三角形晶格（见图），相邻原子间距为平面正三角形晶格（见图），相邻原子间距为a。试求。试求（1）正格矢和倒格矢；）正格矢和倒格矢；（2）画出第一布里渊区，并求此区域的内接圆的半径。）画出第一布里渊区，并求此区域的内接圆的半径。1a2aa解：解：（1）正格正格(zhn )原胞的基矢原胞的基矢如图所示取为如图所示取

17、为j23i2aa, i aa21 其中其中 和和 是相互是相互(xingh)垂直的垂直的单位单位(dnwi)矢量。矢量。ij第26页/共75页第二十六页，共75页。取单位矢量取单位矢量 垂直于垂直于 和和 ，则，则 和和 构成的体积构成的体积ijk21a,ak3a23 倒格原胞的基矢为倒格原胞的基矢为 ja34ak2bja32ia2ka2b1221 （2）选定一倒格点为原点，原点的最近选定一倒格点为原点，原点的最近(zujn)邻倒格矢有邻倒格矢有6个，它们个，它们是是 2121bb,b,b 第27页/共75页第二十七页，共75页。这这6个倒格矢的中垂线围成的区间构成个倒格矢的中垂线围成的区间构

18、成(guchng)了两部分，以原点为对称心的正六边形是第一布里渊区。了两部分，以原点为对称心的正六边形是第一布里渊区。第一第一(dy)布里渊区内切圆的半径为布里渊区内切圆的半径为a322bk2 21bb 21bb- 1b1b-2b2b-第28页/共75页第二十八页，共75页。5.9 证明：体心立方晶格第一布里渊区的界面对应于证明：体心立方晶格第一布里渊区的界面对应于 110晶面的布拉格反射。晶面的布拉格反射。证明证明(zhngmng)： , 3 , 2 , 1sin2 nnd 对于对于(duy)一级反射，一级反射，n=1,则有则有 sin2d (1) 式中，式中，d为反射为反射(fnsh)晶面

19、族的面间距，晶面族的面间距， 为布拉格角。为布拉格角。在第一布里渊区边界面上，必有在第一布里渊区边界面上，必有 2sinnKk 根据布拉格衍射公式根据布拉格衍射公式第29页/共75页第二十九页，共75页。此处此处nK为被界面为被界面(jimin)垂直平分的倒格矢，垂直平分的倒格矢，nKk sin21 (2) 令令(1)(2)两式右边两式右边(yu bian)相等，便得相等，便得2221lkhaKdn (3) 式中式中a为立方晶系的晶格为立方晶系的晶格(jn )常数，常数，h,k,l为晶面指数。为晶面指数。 对于体心立方结构，其倒格子原胞是边长为对于体心立方结构，其倒格子原胞是边长为2/a的面心

20、立方的面心立方格子，布里渊区则是从坐标原点到最近邻的格子，布里渊区则是从坐标原点到最近邻的12个面心的倒个面心的倒格矢的中垂面围成的十二面体，这些倒格矢的长度格矢的中垂面围成的十二面体，这些倒格矢的长度nK由此得由此得第30页/共75页第三十页，共75页。正好等于正好等于(dngy)面对角线长度的一半，面对角线长度的一半， 即即 aaKn22221 于是于是(ysh)从从(3)式给出式给出21aKdn (4) 根据衍射理论，对于体心立方格子，只有晶面指数之和为偶数根据衍射理论，对于体心立方格子，只有晶面指数之和为偶数的晶面族才能产生的晶面族才能产生1级反射，因此从级反射，因此从(3)(4)两式

21、容易两式容易(rngy)看出，与布看出，与布里渊区边界面相对应的反射晶面族的面指数为里渊区边界面相对应的反射晶面族的面指数为 . 110第31页/共75页第三十一页，共75页。解：解： snRRRki0JeAEkEnsn 最最近近临临(1) 式中式中sR和和nR分别为参考分别为参考(cnko)原子及其最近邻的位矢。原子及其最近邻的位矢。 在面心立方格子在面心立方格子(g zi)中，有中，有12个最近邻。个最近邻。=0,12个最近邻的坐标个最近邻的坐标(zubio)分别是分别是sR5.10 用紧束缚方法处理面心立方晶格的用紧束缚方法处理面心立方晶格的s态电子，若只计最态电子，若只计最近邻的相互作

22、用，试导出其能带表达式。近邻的相互作用，试导出其能带表达式。原点时，原点时，晶体中晶体中s态电子的能量表示为态电子的能量表示为若只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似所得的结果，若只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似所得的结果，当取参考原子为坐标当取参考原子为坐标第32页/共75页第三十二页，共75页。对于对于s态电子态电子(dinz)，原子与各个最近邻的交迭积分皆相等，原子与各个最近邻的交迭积分皆相等，JJsn ，则从，则从(1)式得式得 1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 1, 02,1 , 1, 02,1, 1 , 02,1 , 1

23、 , 02,0 , 1, 12,0 , 1 , 12,0 , 1, 12,0 , 1 , 12aaaaaaaaaaaa )kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai0zxzxzxzxzyzyzyzyyxyxyxyxeeeeeeeeeeeeJAEkE令令第33页/共75页第三十三页，共75页。 zyzxyx0k2acosk2acosk2acosk2acosk2acosk2acos4JAE zzyyxxzzyyxxk2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2a

24、ik2aik2aik2aik2ai0eeeeeeeeeeeeJAE第34页/共75页第三十四页，共75页。5.11 证明：在三维晶格中，电子的能量在证明：在三维晶格中，电子的能量在k空间中具有空间中具有 hKkEkE , ,式中式中hK为任一倒格矢。为任一倒格矢。周期性：周期性：证明证明(zhngmng)： ruerkrkik 2(1) 波函数波函数 rk 具有如下具有如下(rxi)性质：性质： reTrrTkTkikk 2(2) 代表代表(dibio)平移算符。平移算符。 T显然，平面波显然，平面波可写成可写成按照布洛赫定理，在周期性势场中运动的电子的波函数按照布洛赫定理，在周期性势场中运动

25、的电子的波函数第35页/共75页第三十五页，共75页。 riKkhKkhCer 2满足满足(mnz)(2)式，式， hK为任意为任意(rny)倒格矢。倒格矢。 因此，电子因此，电子(dinz)波函数应当是所有波函数应当是所有 rhKk 的线性叠加，即的线性叠加，即 rArhhhKkKKkk rKi2KKkrki2rKki2KKkhhhhhheBeeB (3) 其中其中 hhKkKkCAB 。 对比对比(1)(3)两式可知两式可知 rKiKKkkhhheBru 2(4) 第36页/共75页第三十六页，共75页。容易容易(rngy)看出，看出， ruk具有具有(jyu)晶格的周期性。晶格的周期性。

26、 由由(4)式还可得到式还可得到(d do) rKiKKKkKkhhmhmeBru 2其中其中 mK也为任一倒格矢。也为任一倒格矢。 令令 hmlKKK ， 则上式可以写成则上式可以写成 r)K(Ki2KKkKkmlllmeBru rKi2KKkrKi2lllmeBe ruekrKi2m (5) 第37页/共75页第三十七页，共75页。由由(1)(5)式，有式，有 ruerhhhKkrKki2Kk rueekrKi2rKki2hh rruekkrki2 (6) 即电子即电子(dinz)波函数在波函数在k空间空间(kngjin)具有平移对称性。具有平移对称性。由薛定谔方程由薛定谔方程(fngch

27、ng) rkErHkk rKkErHhhKkhKk 结合结合(6)式，立即得到式，立即得到 hKkEkE 第38页/共75页第三十八页，共75页。5.12 证明在任何能带中，波矢为证明在任何能带中，波矢为k和波矢为和波矢为k的状态有相同的状态有相同的能量，即的能量，即 kEkEnn kEn这里这里 代表简约布里渊区中第代表简约布里渊区中第n个能带的态能量。个能带的态能量。 证明证明(zhngmng)： rV表示表示(biosh)，电子波函数用，电子波函数用 rnk 表示表示(biosh)， 则薛定谔方程为则薛定谔方程为 rkErrVrmhnknnknk 222从布洛赫定理知道，波函数从布洛赫定

28、理知道，波函数 ruernkrkink 2若周期性势场用若周期性势场用第39页/共75页第三十九页，共75页。代入薛定谔方程代入薛定谔方程(fngchng)，并由，并由 zkykxkrkzyxzyx2222222便可得到便可得到(d do)决定函数决定函数 runk的方程的方程(fngchng)： rukErurVrukk imhnknnknk 2222442 (1) 取取(1)式的共轭复式，得式的共轭复式，得 rukErurVrukk imhnknnknk*2222442 (2) 第40页/共75页第四十页，共75页。若在若在(1)式中用式中用(zhngyng) k 代替代替(dit) k，

29、则有，则有 rukErurVrukk imhknnknkn ,2222442 (3) 比较比较(2)(3)式可知，除了式可知，除了(ch le)满足满足 ruruknnk ,*之外，之外， 显然有显然有 kEkEnn 可见，在任一能带可见，在任一能带 nE中，波矢为中，波矢为 k k相同的能量。相同的能量。和和 的两状态具有的两状态具有第41页/共75页第四十一页，共75页。5.13 证明：二维正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由证明：二维正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大倍。电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大倍。 对三维简单立方晶格，其相应

30、的倍数是多少？对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？证明证明(zhngmng)：角隅处角隅处C和侧边和侧边(c bin)中点处中点处A的的波矢分别为波矢分别为ACoxkyka1akakCA22,21 k空间空间 中一个边长为中一个边长为1/a的正方形的正方形(如图如图 )。 对边长为对边长为a的二维正方格子的二维正方格子, 其第一布里渊区是其第一布里渊区是第42页/共75页第四十二页，共75页。相应相应(xingyng)的自由电子能量为的自由电子能量为222222224282mahmkhEmahmkhECCAA 可见可见(kjin)， ACEE2 对于三维简单立方对于三维简单立方晶格，若晶格

31、常数为晶格，若晶格常数为a，第一第一(dy)布里渊区是一个边布里渊区是一个边长为长为1/a的立方体的立方体(如图如图)，akakCA23,21 。ACoxkykzka1此时此时第43页/共75页第四十三页，共75页。相应相应(xingyng)的自由电子能量为的自由电子能量为2222222283282mahmkhEmahmkhECCAA 可见可见(kjin)， ACEE3 即对简单立方即对简单立方(lfng)晶格，第一布里渊区角隅晶格，第一布里渊区角隅 处一个自由电子的能量等于侧面中点处能量的处一个自由电子的能量等于侧面中点处能量的3倍。倍。第44页/共75页第四十四页，共75页。5.14 应用

32、紧束缚近似证明，正交晶系的能带可表示为应用紧束缚近似证明，正交晶系的能带可表示为 3322110coscoscos2akJakJakJAEkEzyx 式中，式中， 3210，、 iJAEi对已知晶体可视为常数；对已知晶体可视为常数； 321 ， iai是晶格常数。是晶格常数。证明证明(zhngmng)： snRRRkiJeAEkEnsn 最近临 20 (1) 式中式中 nsRR,分别代表参考原子及其最近邻原子的位矢，分别代表参考原子及其最近邻原子的位矢， snJ是位矢为是位矢为 nsRR,两原子两原子s态电子波函数的交迭积分。态电子波函数的交迭积分。 在紧束缚近似条件在紧束缚近似条件(tioj

33、in)下，下，s态布洛赫电子的能带可表示为态布洛赫电子的能带可表示为第45页/共75页第四十五页，共75页。取取 0 sR，即以参考，即以参考(cnko)原子为坐标原点，原子为坐标原点，其六个最近其六个最近(zujn)邻的坐标分别为邻的坐标分别为 332211, 0 , 0, 0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0 ,0 , 0 ,aaaaaa 代入代入(1)式，得式，得 1120, 120, 10akiakixxeJeJAEkE 332220,320,320,220,2akiakiakiakizzyyeJeJeJeJ (2) 注意注意(zh y)到到 0 , 0 ,1a和和 0 ,

34、0 ,1a 两原子与原点距离相等，两原子与原点距离相等， 应有应有 则对于简单正交晶系，则对于简单正交晶系， 第46页/共75页第四十六页，共75页。10, 10, 1JJJ 同理同理 20,20,2JJJ 30,30,3JJJ 代入代入(2)式，并应用尤拉公式式，并应用尤拉公式(gngsh)进行化简即得进行化简即得 33221102cos2cos2cos2akJakJakJAEkEzyx 或统一或统一(tngy)表示为表示为 iiiiakJAEkE 2cos2310 第47页/共75页第四十七页，共75页。5.15 设电子能谱仍和自由电子一样，试采用简约能区图形式，设电子能谱仍和自由电子一样

35、，试采用简约能区图形式，粗略画出简单立方晶格第一布里渊区及其六个近邻倒格点区域粗略画出简单立方晶格第一布里渊区及其六个近邻倒格点区域内沿内沿 100方向的电子的方向的电子的 kE图。图。 解：解：k空间空间(kngjin)中一个边长为中一个边长为1/a的的简单立方简单立方(lfng)格子，如图所示。格子，如图所示。6个最近个最近(zujn)邻的倒格点，分别位于各邻近区域内，它们对应的倒格邻的倒格点，分别位于各邻近区域内，它们对应的倒格矢分别为矢分别为 0 , 0 ,1,1, 0 , 0,1, 0 , 0,0 ,1, 0,0 ,1, 0,0 , 0 ,1aaaaaa简单立方晶格的第一布里渊区是简

36、单立方晶格的第一布里渊区是取立方体中心的倒格点为原点，它有取立方体中心的倒格点为原点，它有第48页/共75页第四十八页，共75页。在简约在简约(jinyu)能区图式表示法中，能区图式表示法中，所有所有(suyu)的电子波矢的电子波矢k都要变都要变 换到第一换到第一(dy)布里渊区内。布里渊区内。 为简为简 单计，本题的计算只取原点单计，本题的计算只取原点o和界面上的点和界面上的点A,B。 这样，这样， 设设 k可取可取 100方向上所有方向上所有可能的值，其对应的能量为可能的值，其对应的能量为 222KkmhE 1E2E6543EEEE,7E kE2a1 2a1ko02040608第49页/共

37、75页第四十九页，共75页。于是，第一区及其邻近于是，第一区及其邻近(ln jn)区域内沿区域内沿 100方向方向(fngxing)的的Ek图可分别求出图可分别求出 如下如下(rxi)： (1)第一布里渊区第一布里渊区0 K2222008,0 , 0 ,218,0 , 0 ,210, 0mahEakmahEakEkBBAA 据此可作略图，如图中的据此可作略图，如图中的 1E曲线。曲线。 图中图中 2208/ mah 取作能量的单位。取作能量的单位。第50页/共75页第五十页，共75页。(2)各邻近各邻近(ln jn)区域区域当当 0 , 0 ,1aK时，则时，则 222222222220020

38、89,0 , 0 ,238,0 , 0 ,212,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略图作略图(lt)如曲线如曲线 2E。 第51页/共75页第五十一页，共75页。当当 0 ,1, 0aK时，则时，则 22332233223003085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略图作略图(lt)如曲线如曲线 3E。 第52页/共75页第五十二页，共75页。当当 0 ,1, 0aK时，则时，则 22442244224004085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1,

39、0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略图作略图(lt)如曲线如曲线 4E。 当当 aK1, 0 , 0和和 aK1, 0 , 0时，时， 所得所得(su d)曲线曲线 65,EE与曲线与曲线(qxin) 43,EE重合。重合。 第53页/共75页第五十三页，共75页。当当 0 , 0 ,1aK时，有时，有 2277227722700708,0 , 0 ,2189,0 , 0 ,232,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略图作略图(lt)如曲线如曲线 7E。 第54页/共75页第五十四页，共75页。5.16 设有晶格

40、常数设有晶格常数(chngsh)为为a、2a、3a的简单正交晶格，试求：的简单正交晶格，试求：（1）简约布里渊区的图形）简约布里渊区的图形(txng)及体积；及体积；（2）在自由电子近似下，费密面与简约）在自由电子近似下，费密面与简约(jinyu)布里渊区的各边界面相切时所对应的价电子数与原子数之比；布里渊区的各边界面相切时所对应的价电子数与原子数之比；（3）若该晶体的费密面正好是与简约布里渊区的各边界面相切的椭球面，求该晶体的价电子数与原子数之比。）若该晶体的费密面正好是与简约布里渊区的各边界面相切的椭球面，求该晶体的价电子数与原子数之比。解：解：（1）令简单正交晶格的三个晶轴分别为）令简单

41、正交晶格的三个晶轴分别为X、Y、Z轴，则轴，则它的基矢可写成它的基矢可写成 k3aaj2aai aa321第55页/共75页第五十五页，共75页。可求出它的倒格子可求出它的倒格子(g zi)基矢基矢 k3a2bjabi2b321a由此倒格矢可写成由此倒格矢可写成 kh31jh21iha2bhbhbhK321332211h而布里渊区边界而布里渊区边界(binji)面由式面由式02KkKhh 给出给出第56页/共75页第五十六页，共75页。0k3ahkj2ahkiahkkh31jh21iha23z2y1x321 即即03ahkh312ahkh21ahkh3z32y21x1 取最短的几个倒格矢，得到

42、取最短的几个倒格矢，得到(d do)的相应边界面可列表如下：的相应边界面可列表如下：第57页/共75页第五十七页，共75页。边界面方程边界面方程边界面方程边界面方程 321h,h,h 321h,h,h 1,0,0 1,00, 10,0, 1,01, 11,0, 11,0, akx 2aky 3akz 2a5k2kyx 3a10k3kzx 6a132k3kzy 从上面的平面从上面的平面(pngmin)方程中，可以看到离原点最近的几个面是上表中方程中，可以看到离原点最近的几个面是上表中列出的最前面三个方程列出的最前面三个方程(fngchng)所表示的六个平面。所表示的六个平面。这六个平面这六个平面

43、(pngmin)围成围成一个长方体如图所示，这就是该晶格的第一布里渊区，一个长方体如图所示，这就是该晶格的第一布里渊区，它的它的第58页/共75页第五十八页，共75页。体积体积(tj)是是 3321a34bbb xkzkyk（2）在自由电子近似下，费米）在自由电子近似下，费米(fi m)面为球面。面为球面。当费米面与第一布里渊区的当费米面与第一布里渊区的三对平面三对平面(pngmin)相切时的半径分别为相切时的半径分别为 3ak2akak321FFF（1）第59页/共75页第五十九页，共75页。由由 312312Fn3VN3h 式可得各情况式可得各情况(qngkung)下的相应电子密度下的相应

44、电子密度 332F223332F322332F32181a3a31k31n24a2a31k31n3aa31k31n321每个原胞的体积每个原胞的体积(tj) 33216aaaa 根据以上几式可求出各个根据以上几式可求出各个(gg)原胞内所含的自由电子数原胞内所含的自由电子数（2）第60页/共75页第六十页，共75页。0.2327281a6anN0.79424a6anN6.323a6anN333333223311 因为简单正交格子因为简单正交格子(g zi)是简单格子是简单格子(g zi)，所以每个原胞中只包含一个，所以每个原胞中只包含一个原子原子(yunz)，因而上面算得的，因而上面算得的即分

45、别是三种即分别是三种(sn zhn)情况下的情况下的321N,N,N自由电子数与原子数之比。自由电子数与原子数之比。（3）如果费米面是与简约布里渊区的各个边界面相切的椭球如果费米面是与简约布里渊区的各个边界面相切的椭球面，则它的费米面方程可写成面，则它的费米面方程可写成第61页/共75页第六十一页，共75页。1kkkkkk2F2z2F2y2F2x321 这里这里(zhl)的的321FFFk,k,k分别分别(fnbi)是椭球的三个主轴长度，由（是椭球的三个主轴长度，由（2）给出。）给出。椭球椭球 V中可以中可以(ky)有有 V2V3 个轨道状态。个轨道状态。考虑自旋，则在椭球费米面内可容纳的电子

46、数为考虑自旋，则在椭球费米面内可容纳的电子数为 V22VN3因此晶体的电子密度为因此晶体的电子密度为 V22VNn3（3）第62页/共75页第六十二页，共75页。每个原胞所含的电子每个原胞所含的电子(dinz)数即为数即为 V22nN3C因为简单正交格子是简单格子，每个原胞只含一个原子因为简单正交格子是简单格子，每个原胞只含一个原子(yunz)，所以，所以CN也即是自由电子也即是自由电子(z yu din z)数与原子数之比。数与原子数之比。为了得到为了得到CN值，必须值，必须知道椭球的体积知道椭球的体积 。 V为此。令为此。令 zrkkyrkkxrkk321FzFyFx（5）由（由（3）、（

47、）、（5）两式可知）两式可知（4）第63页/共75页第六十三页，共75页。2222rzyx 即变成一个即变成一个(y )半径为半径为r的球面方程，它的体积为的球面方程，它的体积为3r34V 在作（在作（5）式的变换）式的变换(binhun)时，相对应的体积变换时，相对应的体积变换(binhun)关系为关系为3FFF3FFFzyxrkkkxyzrxyzkkkxyzkkkVV321321 所以所以(suy)321321FFF3FFFkkk34VrkkkV 第64页/共75页第六十四页，共75页。把上式代入（把上式代入（4）式，并利用）式，并利用(lyng)（1）、（）、（2）式，即可得晶体中）式，

48、即可得晶体中自由电子自由电子(z yu din z)数与原子数之比数与原子数之比 321FFF333Ckkk346a2222N 3a2aa2akkk2a23FFF23321 1.053 第65页/共75页第六十五页，共75页。5.17 体心立方晶格体心立方晶格(jn )，原子总数为，原子总数为N 。假设电子等能面为球面，。假设电子等能面为球面，试求：当费密面正好与第一布里渊区的界面相切时，第一布里试求：当费密面正好与第一布里渊区的界面相切时，第一布里渊区实际填充的电子数。渊区实际填充的电子数。解：解：因此，在第一布里渊区内因此，在第一布里渊区内(q ni)实际填充的电子数应等于同布里渊区的边界面相切的费米球内所容纳的电子数。实际填充的电子数应等于同布里渊区的边界面相切的费米球内所容纳的电子数。设体心立方的晶格设体心立方的