电路与电子技术简明教程-逻辑代数基础

1、电路与电子技术简明教程-逻辑代数基础7. 数制和数码7.数制和数码十进制十进制7.1.1一般用数字表示物理量时，一般用数字表示物理量时， 仅有一位数码往往不够，仅有一位数码往往不够， 人们经常人们经常会使用进位计数构成的多位数码来使用。人们把多位数码中每会使用进位计数构成的多位数码来使用。人们把多位数码中每一位的构成方法及从低位到高位的进位规则称为数制。一位的构成方法及从低位到高位的进位规则称为数制。第七章 逻辑代数基础日常生活中使用最多的就是十进制，日常生活中使用最多的就是十进制， 有有 十个数码，十个数码， 基数为基数为 。各个数码处于十进制的不同数位时，各个数码处于十进制的不同数位时，

2、所代表的数值不同，所代表的数值不同， 即所对应的权值即所对应的权值不同。其中低位和相邻高位之间的关系是不同。其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一逢十进一” ， 故称为十进制。故称为十进制。任何一个十进制数任何一个十进制数D 可展开为可展开为7.数制和数码八进制和十六进制八进制和十六进制7.1.3第七章 逻辑代数基础二进制数只有二进制数只有 和和 两个数值，两个数值， 运算简单，运算简单， 有布尔代数作理有布尔代数作理论基础，论基础， 所以在数字电路中常用二进制数完成运算，所以在数字电路中常用二进制数完成运算， 每位二进每位二进制数的权是制数的权是 的幂。的幂。 ，其运算规则为，其运算规则为

3、“逢逢二进一，二进一， 借一作二借一作二” 。7.数制和数码十进制与二进制之间的转换十进制与二进制之间的转换7.1.2第七章 逻辑代数基础.二进制转换为十进制二进制转换为十进制.二进制转换为十进制二进制转换为十进制 于是将一非十进制于是将一非十进制数按权展开成一个多项式，数按权展开成一个多项式， 每项是该项数码与相应权值的乘每项是该项数码与相应权值的乘积，积， 把等值的数码和权用等值十进制表示即可。把等值的数码和权用等值十进制表示即可。7.数制和数码十进制与二进制之间的转换十进制与二进制之间的转换7.1.4第七章 逻辑代数基础.十进制转换为二进制） 整数部分的转换整数部分的转换整数部分的转换采

4、用基数连除法。所谓基数连除法就是用目的整数部分的转换采用基数连除法。所谓基数连除法就是用目的数制的基数去除十进制整数，数制的基数去除十进制整数， 第一次所得余数为目的数的最第一次所得余数为目的数的最低位，低位， 得到的商再除基数，得到的商再除基数， 直到所得商为直到所得商为 ， 所得余数为目所得余数为目的数最高位。的数最高位。） 小数部分的转换小数部分的转换小数部分的转换采用基数连乘法。所谓基数连乘法，小数部分的转换采用基数连乘法。所谓基数连乘法， 就是用就是用该小数乘目的数制的基数，该小数乘目的数制的基数， 第一次乘的结果的整数部分为目第一次乘的结果的整数部分为目的数的小数的最高位，的数的小

5、数的最高位， 其小数部分再乘基数，其小数部分再乘基数， 所得结果的整所得结果的整数部分为目的数小数的次高位，数部分为目的数小数的次高位， 以此类推，以此类推， 直到小数部分为直到小数部分为 ， 或达到要求精度为止。或达到要求精度为止。7.数制和数码BCD 编码编码7.1.5第七章 逻辑代数基础1. 编码在数字系统中，在数字系统中， 各种数值需要转换为二进制代码才能进行处各种数值需要转换为二进制代码才能进行处理，理， 而人们习惯使用的是十进制数。这样就产生了用而人们习惯使用的是十进制数。这样就产生了用 位二位二进制来表示进制来表示 位十进制的编码方法。这种用于表示十进制的位十进制的编码方法。这种

6、用于表示十进制的二进制代码称为二十进制代码（二进制代码称为二十进制代码（Binary Coded Decimal） ， 简称为简称为BCD 码码8421 编码是编码是BCD 编码中使用最多的一种编码形式，编码中使用最多的一种编码形式， 是有权是有权码（从高位到低位）码（从高位到低位） 其四位的权分别是其四位的权分别是 、 、 、 。如果把每一个码看成如果把每一个码看成 个个 位二进制，位二进制， 则代码的数值正好则代码的数值正好等于其所代表的十进制大小。等于其所代表的十进制大小。7.数制和数码BCD 编码编码7.1.5第七章 逻辑代数基础2. 编码 码也是一种有权码，码也是一种有权码， 该码也

7、是用该码也是用 位二进制代码位二进制代码来表示来表示 位十进制数，位十进制数， 从高位到低位的权分别是从高位到低位的权分别是 、 、 、 。 的权展开式可写成：的权展开式可写成：7.数制和数码BCD 编码编码7.1.5第七章 逻辑代数基础.余 码余余 码也是用码也是用 位二进制代码表示位二进制代码表示 位十进制数，位十进制数， 由于它由于它是在是在BCD 码上加码上加 得到的，得到的， 所以这种编码所以这种编码方式称为余方式称为余 码。码。第七章 逻辑代数基础7.2 基本逻辑关系7.2 基本逻辑关系与逻辑与逻辑7.2.1第七章 逻辑代数基础图（图（a） 表示一个简单的与逻辑电路，表示一个简单的

8、与逻辑电路， 只有当只有当A 和和B 同时接同时接通时，通时， 灯才会亮。灯才会亮。7.2 基本逻辑关系与逻辑与逻辑7.2.1第七章 逻辑代数基础A 和和B 只要有只要有 个不接通或者二者均不通，个不接通或者二者均不通， 灯不亮，灯不亮， 其真其真值表如图（值表如图（b） 表示。表示。7.2 基本逻辑关系与逻辑与逻辑7.2.1第七章 逻辑代数基础如果用二值逻辑如果用二值逻辑 和和 来表示，来表示， 并设开关不通和灯不亮均并设开关不通和灯不亮均用用 表示，表示， 开关接通和灯亮用开关接通和灯亮用 表示，表示， 则得图（则得图（c） ， 其其中中F 表示灯的状态。用逻辑表达式来描述，表示灯的状态。

9、用逻辑表达式来描述， 可写为可写为7.2 基本逻辑关系与逻辑与逻辑7.2.1第七章 逻辑代数基础也有用符号也有用符号 、 表示与运算的。用与逻辑门实现与运算，表示与运算的。用与逻辑门实现与运算， 其逻辑符号如图（其逻辑符号如图（d） 所示。所示。7.2 基本逻辑关系或逻辑或逻辑7.2.2第七章 逻辑代数基础图（图（a） 表示一个简单的或逻辑电路，表示一个简单的或逻辑电路， 电压通过开关电压通过开关A 或者或者B 向灯泡供电。只要开关向灯泡供电。只要开关A 或或B 接通或二者都接通，接通或二者都接通， 则灯亮则灯亮，7.2 基本逻辑关系或逻辑或逻辑7.2.2第七章 逻辑代数基础当当A 和和B 都

10、不通，都不通， 则灯不亮。其真值表如图（则灯不亮。其真值表如图（b） 所示。所示。7.2 基本逻辑关系或逻辑或逻辑7.2.2第七章 逻辑代数基础用用 和和 真值表表示，真值表表示， 则得则得图（图（c） 。若用逻辑表达式来。若用逻辑表达式来描述，描述， 则可写为则可写为式中式中“ ” 表示表示A 与与B 的或运的或运算，算， 也表示逻辑加。在某些文也表示逻辑加。在某些文献里，献里， 也有用符号也有用符号 、表示表示或运算的。用与逻辑门实现或或运算的。用与逻辑门实现或运算，运算， 其逻辑符号如图（其逻辑符号如图（d） 所示。所示。7.2 基本逻辑关系或逻辑或逻辑7.2.2第七章 逻辑代数基础用用

11、 和和 真值表表示，真值表表示， 则得则得图（图（c） 。若用逻辑表达式来。若用逻辑表达式来描述，描述， 则可写为则可写为式中式中“ ” 表示表示A 与与B 的或运的或运算，算， 也表示逻辑加。在某些文也表示逻辑加。在某些文献里，献里， 也有用符号也有用符号 、表示表示或运算的。用与逻辑门实现或或运算的。用与逻辑门实现或运算，运算， 其逻辑符号如图（其逻辑符号如图（d） 所示。所示。7.2 基本逻辑关系非逻辑非逻辑7.2.3第七章 逻辑代数基础如图（如图（a） 所示，所示， 电压通过开关电压通过开关A 向灯供电。当开关向灯供电。当开关A 接通，接通， 灯不亮，灯不亮， 当当A 不通，不通， 则

12、灯亮。则灯亮。7.2 基本逻辑关系非逻辑非逻辑7.2.3第七章 逻辑代数基础其真值表如图（其真值表如图（b） 所示。因此可总结出第三种逻辑关系：所示。因此可总结出第三种逻辑关系： 一个事件（灯亮）一个事件（灯亮） 的发生是以其相反的条件作为依据。的发生是以其相反的条件作为依据。7.2 基本逻辑关系非逻辑非逻辑7.2.3第七章 逻辑代数基础用用 和和 真值表表示，真值表表示， 则得则得图（图（c） 。若用逻辑表达式来。若用逻辑表达式来描述，描述， 则可写为则可写为式中，式中， 字母字母A 上方的短划线上方的短划线“ ” 表示非运算表示非运算7.2 基本逻辑关系非逻辑非逻辑7.2.3第七章 逻辑代

13、数基础用与逻辑门实现或运算，用与逻辑门实现或运算， 其逻辑符号如图（其逻辑符号如图（d） 所示。所示。7.2 基本逻辑关系其他逻辑关系其他逻辑关系7.2.4第七章 逻辑代数基础在数字系统中，在数字系统中， 除了与门、或门、非门外，除了与门、或门、非门外， 还有广泛使用的与还有广泛使用的与非门、或非门、与或非门、异或门、同或门等复合门电路。这非门、或非门、与或非门、异或门、同或门等复合门电路。这些门的逻辑关系都是由些门的逻辑关系都是由“与与” 、“或或” 、“非非” 三种基本逻三种基本逻辑关系组合得到的，辑关系组合得到的， 故称为复合逻辑。故称为复合逻辑。“与非与非” 逻辑（逻辑（NAND Lo

14、gic） 运算实现先运算实现先“与与” 后后“非非” 的的逻辑运算。其表达式为逻辑运算。其表达式为.“与非与非” 逻辑逻辑7.2 基本逻辑关系其他逻辑关系其他逻辑关系7.2.4第七章 逻辑代数基础“或非或非” 逻辑（逻辑（NOR Logic） 运算实现先运算实现先“或或” 后后“非非” 的的逻辑运算。其表达式为逻辑运算。其表达式为其逻辑符号如图（其逻辑符号如图（a） ， 真值表如图（真值表如图（b） 所示，所示， 其逻辑关系其逻辑关系为：为： “有有 出出 ，全，全 为为”2. “或非或非” 逻辑逻辑7.2 基本逻辑关系其他逻辑关系其他逻辑关系7.2.4第七章 逻辑代数基础“与或非与或非” 逻

15、辑运算实现先逻辑运算实现先“与与” 后后“或或” 再再“非非” 的逻辑的逻辑运算。其表达式为运算。其表达式为其逻辑符号如图所示。其逻辑符号如图所示。3. “与或非与或非” 逻辑逻辑7.2 基本逻辑关系其他逻辑关系其他逻辑关系7.2.4第七章 逻辑代数基础“异或异或” 逻辑（逻辑（XOR Logic） 运算时将两路输入进行比较，运算时将两路输入进行比较， 不相同输出为不相同输出为 ， 相同输相同输出为出为 。异或对应的逻辑。异或对应的逻辑表达式为表达式为实现异或运算的电路称为异实现异或运算的电路称为异或门，或门， 逻辑符号如图所示。逻辑符号如图所示。4. “异或异或” 逻辑逻辑7.2 基本逻辑关

16、系集成逻辑元件集成逻辑元件7.2.5第七章 逻辑代数基础TTL 集成电路产品主要有集成电路产品主要有 、H 、S 、LS 等等系列，系列， S 系列传输速度最快（系列传输速度最快（ms） ， LS 功耗最功耗最低（低（mW） 。这里仅介绍。这里仅介绍LS 。它是。它是 输入四输入四与非门。此元件的封装是双排列直插式，与非门。此元件的封装是双排列直插式， 共有共有 个管脚，个管脚， 集成有四组集成有四组 输入端的与非门，输入端的与非门， 脚为电源。脚为电源。Vcc V ， 脚为地。其余为各组输入、输出端，脚为地。其余为各组输入、输出端， 如图如图 所示。所示。1.常用常用TTL 集成门电路简介集

17、成门电路简介7.2 基本逻辑关系集成逻辑元件集成逻辑元件7.2.5第七章 逻辑代数基础由于使用了场效应管的结果，由于使用了场效应管的结果， CMOS 门的输入电阻大、功耗门的输入电阻大、功耗低、电压范围广（低、电压范围广（V DD 318V） 、抗干扰性能强。其输出、抗干扰性能强。其输出低电压低于低电压低于0.05V ， 输出高电压大于（输出高电压大于（VDD 0.05） V ， 输输入高电平时允许的最低电压为畅入高电平时允许的最低电压为畅V DD ， 输入低电平时输入低电平时允许的最高电压为允许的最高电压为0.3V DD 。噪声容限近。噪声容限近0.3V DD ， 表示干扰信表示干扰信号小于

18、号小于0.3VDD 时，时， 不会使门逻辑出错。不会使门逻辑出错。图图7-10所示为二输入四或非所示为二输入四或非CMOS 门，门， 型号为型号为4001 。2.常用集成常用集成CMOS 门电路简介门电路简介第七章 逻辑代数基础7.3 逻辑函数的运算7.3逻辑函数的运算基本定律和规则基本定律和规则7.3.1第七章 逻辑代数基础1.基本定律基本定律7.3逻辑函数的运算基本定律和规则基本定律和规则7.3.1第七章 逻辑代数基础.若干常用公式若干常用公式下面给出几个常用公式，下面给出几个常用公式， 这些公式都是通过基本定律推出的。在公式法化这些公式都是通过基本定律推出的。在公式法化简时，简时， 直接

19、运用这些公式可以给化简逻辑函数带来方便。直接运用这些公式可以给化简逻辑函数带来方便。上式表明，上式表明， 当两个与项相加，当两个与项相加， 若一项以另一项为因子，若一项以另一项为因子， 则该项多余则该项多余。该表达式说明，该表达式说明， 当一项取反以后是另一项的因子，当一项取反以后是另一项的因子， 则该因子是多则该因子是多余的，余的， 可以去掉。可以去掉。该证明表示，该证明表示， 当两个乘积项分别含有当两个乘积项分别含有 两个因子，两个因子， 则则这两个与项的其他因子组成的第三项多余。这两个与项的其他因子组成的第三项多余。7.3逻辑函数的运算基本定律和规则基本定律和规则7.3.1第七章 逻辑代

20、数基础3.逻辑函数运算规则逻辑函数运算规则） 代入规则代入规则对于任何一个含有变量对于任何一个含有变量A 的等式，的等式， 如果所有出现如果所有出现A 的地方都以另一个逻辑的地方都以另一个逻辑式代替，则等式仍然成立。式代替，则等式仍然成立。） 反演规则反演规则对于逻辑函数对于逻辑函数F ， 将表达式中的所有将表达式中的所有“ ” 换成换成“ ” ， “ ” 换成换成“ . ” ， 常量换成常量换成 ， 常量常量 换成换成 ， 所有原变量换成反变量，所有原变量换成反变量， 所所有反变量换成原变量，有反变量换成原变量， 即得反函数即得反函数 。在求反演式过程中还需遵循以下。在求反演式过程中还需遵循

21、以下两个原则：两个原则：（）（） 仍遵循仍遵循“先括号，先括号， 然后乘，然后乘， 最后加最后加” 的运算次序，的运算次序， 且运算顺序与且运算顺序与原式相同。原式相同。（）（） 两个变量以上的反号保留。两个变量以上的反号保留。7.3逻辑函数的运算基本定律和规则基本定律和规则7.3.1第七章 逻辑代数基础3.逻辑函数运算规则逻辑函数运算规则） 代入规则代入规则对于任何一个含有变量对于任何一个含有变量A 的等式，的等式， 如果所有出现如果所有出现A 的地方都以另一个逻辑的地方都以另一个逻辑式代替，则等式仍然成立。式代替，则等式仍然成立。） 反演规则反演规则对于逻辑函数对于逻辑函数F ， 将表达式

22、中的所有将表达式中的所有“ ” 换成换成“ ” ， “ ” 换成换成“ . ” ， 常量换成常量换成 ， 常量常量 换成换成 ， 所有原变量换成反变量，所有原变量换成反变量， 所所有反变量换成原变量，有反变量换成原变量， 即得反函数即得反函数 。） 对偶规则对偶规则在介绍对偶规则前先定义对偶式。设在介绍对偶规则前先定义对偶式。设F 为逻辑表达式，为逻辑表达式， 如果将如果将F 中所有的中所有的“ ” 换成换成“ ” ， “ ” 换成换成“ ” ， 换成换成 ， 换成换成 ， 而变量保持不变，而变量保持不变， 则所得新的逻辑式就称为则所得新的逻辑式就称为F 的对偶式，的对偶式， 记为记为F 。7

23、.3逻辑函数的运算逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法7.3.2第七章 逻辑代数基础1.真值表真值表将输入变量所有取值情况及其相将输入变量所有取值情况及其相应的输出结果，应的输出结果， 全部列表表示，全部列表表示， 即为真值表。即为真值表。7.3逻辑函数的运算逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法7.3.2第七章 逻辑代数基础2.逻辑表达式逻辑表达式将输入输出关系写成与或非等逻辑运算的组合式，将输入输出关系写成与或非等逻辑运算的组合式， 称为逻辑称为逻辑表达式，表达式， 简称逻辑式。简称逻辑式。如图所示判决电路，如图所示判决电路， 当当A 闭合，闭合， B 和和C 中至少一个闭合，中至少一个闭合

24、， 则则可表示为可表示为A BC A B C A BC ， 故其逻辑表达式为故其逻辑表达式为F A B A C7.3逻辑函数的运算逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法7.3.2第七章 逻辑代数基础3.逻辑图逻辑图将逻辑表达式中的与或非将逻辑表达式中的与或非等运算关系用相应的逻辑等运算关系用相应的逻辑符号表示出来，符号表示出来， 即为逻辑即为逻辑图表示。如图所示的判决图表示。如图所示的判决电路，电路， 其逻辑图如图所示。其逻辑图如图所示。7.3逻辑函数的运算逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法7.3.2第七章 逻辑代数基础4.不同表示方法的相互转换不同表示方法的相互转换（1） 真值表与逻辑式之间

25、的相互转换真值表与逻辑式之间的相互转换真值表转换为逻辑表达式，真值表转换为逻辑表达式， 找出真值表中输出为找出真值表中输出为1的乘积项相的乘积项相或，或， 对应的输入变量，对应的输入变量， 1 写成原变量，写成原变量，0写成反变量。写成反变量。） 逻辑式与逻辑图之间的相互转换逻辑式与逻辑图之间的相互转换逻辑表达式转换成逻辑图的方法，将逻辑符号用逻辑图画出来。逻辑表达式转换成逻辑图的方法，将逻辑符号用逻辑图画出来。7.3逻辑函数的运算逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法7.3.2第七章 逻辑代数基础5.逻辑表达式的标准表达式逻辑表达式的标准表达式在介绍标准表达式之前， 先介绍最大项和最小项的定义

26、。） 最小项最小项对于n 个变量的逻辑函数， 存在m 个包含这n 个变量的乘积项， 这n 个变量均以原变量或反变量的形式出现一次， 则称乘积项m 为该组变量的最小项。7.3逻辑函数的运算逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法7.3.2第七章 逻辑代数基础5.逻辑表达式的标准表达式逻辑表达式的标准表达式） 最大项最大项对于n 个变量的逻辑函数， 存在m 个包含这n 个变量的或项， 这n 个变量均以原变量或反变量的形式出现一次， 则称或项m 为该组变量的最大项。7.3逻辑函数的运算逻辑函数代数法化简逻辑函数代数法化简7.3.3第七章 逻辑代数基础1.合并项法合并项法利用公式 将两项合并， 由代数规则A 和B 可以用任何复杂逻辑代替。利用公式 或者常用公式 利用公式 消去多余因子。 利用A A A 和公式.吸收法吸收法3.消因子法消因子法4.配项法配项法7.3逻辑函数的运算逻辑函数卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简7.3.4第七章 逻辑代数基础1.卡诺图构成卡诺图构成将n 个变量的全部最小项用小方格表示， 并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位