电磁场理论第四章

1、第第4章章 静磁场静磁场 何广强何广强 电话：电话：Email: 第第4章章 静磁场静磁场静磁场：由恒定电流（或永久磁铁）建立的磁场。静磁场：由恒定电流（或永久磁铁）建立的磁场。主要内容主要内容l静磁场的基本方程静磁场的基本方程l静磁场的矢量磁位及其方程静磁场的矢量磁位及其方程l磁介质中的静磁场磁介质中的静磁场l静磁场的边界条件静磁场的边界条件l电感电感l静磁场的能量、能量密度及磁场力静磁场的能量、能量密度及磁场力4.1 4.1 静磁场的基本方程静磁场的基本方程0; 0SBB dS磁通连续性原理：0022004411()()044RRSSllSlSlVIdlIdla

2、adSB dSdSRRIdlIdldSdVRR 00 lBJB dlI安培环路定律：物理意义物理意义：磁通量密度为无散场，磁力线总是闭合曲线：磁通量密度为无散场，磁力线总是闭合曲线VssAdVA dSdSA 旋度定理：4.2 4.2 静磁场的矢量磁位及其方程静磁场的矢量磁位及其方程00020001 ()444444()RVVVVSSlSSlBAJaJBdVJ dVdVRRRJAdVRJAdSRIdlARB dSA dSA dl 体电流：面电流：线电流）矢量磁位：12) 2)矢量磁位方程矢量磁位方程2020iiAJAJ 矢量磁位的泊松方程（库仑规范）：02020()0AJAAJAAJ 推导过程：

3、20A 矢量磁位的拉普拉斯方程：例例4 41 1 2zlIxoyplp 求沿 轴放置，长为 ，载直流为的直导线在平面上任一点 处的矢量磁位，并导出情况下 处的矢量磁位及磁通量密度。00222222022222044 ln()ln()42, (12 ,ln()22) llzzzzzllzzIIdzdzAa AaaRrzIallrlrlIrllr llrllrlAIaAlrz 分析： ， 向，解：,lA 不合理！例例4 41 102222020000200011(2)lim4( )1 ( )limln| ln()22()1 ()2lzlllzzlzIAadzrzrzzzIIrrraarzzrrIA

4、pBAaarr 点： 例 4-2 真空中有一载流为 I，半径为R的圆环，试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。根据圆环电流对 P 点的对称性，0d sinddyxBBBrR/sin )(42sindd220 xRIBl解：元电流 在 P 点产生的 为 IdlB204ddrIrelB)d(rIel图4-2 圆形载流回路xlxRIeldsin)(4220图4-2 圆形载流回路轴线上的磁场分布xRxRRxRIe2)(422220 xxRIRe2/32220)(2sin)(42sindd220 xRlIBxxxB eB 根据对称性, By = 0)(2d2dcos2dd22000yxxKyyxKx

5、KBx解：取宽度 dx 的一条无限长线电流xB)(d2220yxxKy020yKxe020yKxe B 例 4-3 无限大导体平面通有面电流 , 试求磁感应强度 B 分布。zK eK K图4-3 无限大电流片及 B 的分布4.3 4.3 磁介质中的静磁场磁介质中的静磁场1, , ,b IxoypAB）磁偶极子磁偶极子是指半径很小的圆形平面载流回路。位于平面 中心与坐标原点重合。求空间任一点 处的然后求 。121201122, -:( , ,0 ), /; /IzAA RApxozIdlIdldldldlbdp RdAdldAdl分析：选择球坐标系， 关于 轴旋转对称，只有分量。 （）。根据特点

6、，假设 点位于平面，且远离载流圆环。解： ：；磁偶极子磁偶极子001111021012100100(sincos )44(sincos )4cos2cos21(1sincos )cos2xyxyyyyyIIdldldAaaRRIdldAaaRIbdAdAdAd aRIbAadRIbbadRRa 2000222sinsin444RyI bISm aaRRR 磁偶极子磁偶极子03(2cossin )4RmmBAaaSRII 磁偶极矩：方向与电流 成磁偶极子的磁力线与电偶极子的电力线分布形状外部相同，右手螺旋关系内部不同。30(2cossin )4RpEaaR 3. 介质的磁化（magnetizat

7、ion）2）介质的磁化 无外磁场作用时，介质对外不显磁性，nii10m1）磁偶极子 (magnetic dipole)nii10m 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，SmdIAm2 磁偶极矩( magnetic dipole moment )图 介质的磁化图 磁偶极子m=IdSdS 转矩为 Ti=miB ，旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。磁化强度（magnetization Intensity）VniiV10limmM（A/m）图 磁偶极子受磁 场力而转动3） 磁化电流体磁化电流MJmnmeMK面磁化电流例 判断磁化电流的方向。 有磁介质存在时，场中的 B

8、是自由电流和磁化电流共同作用，在真空中产生的。磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。002000001()441()4 ()44()44RVVVnVVMMaRdAdVdVRAMdVRMMdVdVRRMaMdVdSRR 推导过程：2 2）磁介质中的静磁场）磁介质中的静磁场011 limniVibbsnMmVJMJMa 磁介质在外部磁场的作用下会产生磁化现象，磁化的磁介质中的磁场由外磁场和由分子电流产生的磁场叠加而成。磁化强度：单位体积内分子电流磁偶极矩的矢量和。束缚体电流密度：束缚面电流密度：002000001()441()4 ()44()44RVVVnVVMMaRdAdVdVRAMdVRMMdV

9、dVRRMaMdVdSRR 推导过程：4） 磁偶极子与电偶极子对比模 型极化与磁化 电场与磁场电偶极子磁偶极子dpqSmdIMJmnbsJaMnePpP- p0,(0,0, )zlazMa MpzB真空中，长 ，半径为均匀磁化的圆柱形磁棒沿 放置。磁化强度，求磁棒外轴线上点出的 。00020022 3/2200222 3/22002222002()2()222()()22bbsnbsnzrbbszllzzJMJMaJMaM aaM adIJ dzM dzM a dzdBazzaM a dzBazzallzzMallzaza 2 2）磁介质中的静磁场）磁介质中的静磁场000 () () blBJ

10、JBMHJH dlIBHM 磁化的磁介质中的磁场由传导电流产生的外磁场和磁化电流产生的磁场叠加。安培环路定路的微分形式： 积分形式：磁场强度。000 () (1)11;11 mmrrrrrBHMMHBHHH 在线性、各向同性媒质中，。真空 ；顺磁:抗磁：；铁磁：。4.4 4.4 静磁场的边界条件静磁场的边界条件12121212121212121)()0, (), 0,2)()011()nnnnsttssttnnsBHaBBBBaHHJHHJJHHAaAAaAAJ和 的边界条件若的边界条件例例4 42 2, aI一半径为通有电流为 的无限长的直导线，其下部分垂直埋入导磁率为 的均匀磁介质中。求在

11、空气和磁介质的两个区域中磁感应强度和磁场强度以及各分界面处的束缚面电流密度。1010122220, ()2()2()()22(1)2()(1) ()(1)22lrnr arrr arzIH dlIHarIBHarIIHaBarrBIMHarIIMaaaara bs解：空气中：磁介质中：，磁化强度:导体与介质的分界面,束缚面电流密度：J空气与介质的分界面上0()(1)(1)22nzrzrrIIMaaaarrbsJ4.6 4.6 电感电感02000 , 4SRliiNNB dSIdlaBLRILLLLII 在恒定电流产生的静磁场中，穿过导体系统的磁链与产生该磁链的电流之比为导体的电感，电感分为自感

12、和互感。1）自感若导体回路由 匝线圈绕成，磁链为各匝导线回路的磁通量之和。若各匝导线密绕：线性介质：的大小决定于回路的尺寸、形状、导磁率，与电流无关。外磁链，内磁链外自感及内自感 ：0iiiiiSLLIIdI 内磁链4. 6 .1 自感 回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。dSNLIBS即H（亨利）IL L = 内自感 Li + 外自感 L0求自感的一般步骤：设),(0iLLLIBHA图 内磁链与外磁链022222304300400 2,2288iiiiiiiiaiiSiiuaIzrIrBaarrdBdSBldr IIIaaIr lIdddrIar lIlIddraLlI 求半径为 的

13、无限长直导线的单位长度内自感解：选取圆柱坐标系，设电流 沿 方向流动。导线内部距轴线为 处的磁通量密度为IllH d例 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。1. 内导体的内自感 )0(1解:SB dd磁通,221IH 匝数212IIN8011lILii内自感因此，SiNd110212210d2lI80lI图 同轴电缆截面221I221Id2210lI2. 外导体内自感 )(32图 同轴电缆22232230022IIBddd2lBSBi)(8)()(2ln)(222232223022232302322223230lll32d12BlNILi2223223IIN匝数3. 外自感 )(21120

14、000ln2d2121lIIIL20IB d2dd000lI总自感210iiLLLLRDRxlxDxId)(1120RRDIlln0RRDlILln00)(2200 xDIxIBI设总自感为RRDllLLLiln4200002LLLi总自感解: 内自感,80lLi解法一0LB由例 试求半径为R的两平行传输线自感。图 两线传输线2) 2)互感互感222112121211121221112121221221201 1012 1112121012122122(),444SSlllllLILLMIINB dSNAdSNA dlN IN N Idldl dlARRN Ndl dlLR 线圈1对线圈2的互

15、感:线圈2对线圈1的互感:若线圈1通有电流 ，线圈 开路。穿过线圈 的总磁链为 纽曼公式4.7 4.7 静磁场的能量、能量密度及电场力静磁场的能量、能量密度及电场力1）静磁场的能量和密度能量1211121;2112211 221122mnmiiVinnnkkkjkjkkjj kmVwB HWB HdVIL IL I IWB HdVLI 磁场能量密度：静磁场的能量：单个载流回路：2011 12221122111 1112 1221 222221LN0,0;111222,2.111122221111222212mImmtiiIdeNdtdtdWeidtiNdWN idLidiLIININLI Nd

16、LdiWNINIIININININIL 1.自感为 的单个 匝线圈的储能：电源在 内做功为 两个线圈的储能221 112 1222221 12221 112221112221122IL I IL IL I IL IMI IL I211113.1122nnnnmiikkkjkjikkjj kNWIL IL I I 个载流回路的储能2211112221111111(),2()22,1iiiiiiiiI raHaBHr baIIldrlIdrdla bc dILB ldrIrI 求如图所示的长为 ，内外导体的内外半径分别为及的同轴线的自感。解：设同轴线内外导体中通有大小相等、方向相反的电流 选用圆柱

17、坐标系。采用求解各区域对应内外自感的方法求解总的自感。(1)求内导体的内自感区域 中：222222222111224422244122()()11()21() (ln)24biiararbal raLddrIrbalbaba baabaa02200022222222220222222222,221ln22(1)(),22()212cbiiiiiIIHaBarrIlcLldrIrbLIIrcdrBLaardcr dcIdrHar dcILdII (3)求外导体的内自感区域3中(2)求内外导体间的外自感域，区中222222244222442220121()21() (ln)24diciiIl dr

18、drIr dcldcdc dccdccLLLL2221112023221231231232111,22222212mimmimmmmVVVbcdmmmabcHHHWdVdVdVrldrrldrrldrLIL可以直接求出 。4.7.2 4.7.2 用虚位移法求磁场力用虚位移法求磁场力|mlconstmmlI constlmWFFWlWFFWl 或(2)回路(1)磁电流不变或通量不变2. 虚位移法电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功 常电流系统 外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁场力作功。constmddkIWgf n 个载流回路中， 当仅有一个广义坐标发生位移dg ，系统的功能守恒是mddWWF l广义力constmkIgWf111d()d()2nnkkkkkkIIF l即 常磁链系统constmddkWgf 磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克